La résolution d'équations du second degré en première

Trois écritures d'un même trinôme - développée, canonique, factorisée - et ce que chacune fait lire.

Calculer le discriminant et résoudre une équation du second degré
Factoriser un trinôme à l'aide de ses racines
Mettre un trinôme sous forme canonique et en déduire le sommet de la parabole
Dresser le tableau de signes d'un trinôme
Utiliser la somme et le produit des racines

Un ballon quitte le pied à $15 \ \text{m/s}$ : sa hauteur monte, se retourne, puis retombe. Elle suit une parabole.

$$ h(t) = {-}4.9t^2 + 15t $$

Chercher l'instant où le ballon touche le sol, c'est résoudre $h(t) = 0$ ; chercher sa hauteur maximale, c'est trouver le sommet.

Le discriminant dit d'avance combien de fois la parabole coupe l'axe : deux fois, une seule, ou jamais.

Une équation du second degré est de la forme :

$$ \forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, \enspace \forall (b, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace \forall X \in \mathbb{R}, $$

$$ P_2(X) = aX^2 + bX + c = 0 \hspace{2em} (1) $$

Résolution par la recherche de racines et factorisation

Les solutions pour $ X $ lesquelles $ P_2(X) = 0 $ sont appelées les racines du polynôme.

Elles permettent d'obtenir une forme factorisée.

Trois cas sont à envisager après calcul du discriminant $ \Delta $ :

$$ \Delta = b^2 - 4ac \hspace{2em} (\Delta) $$

$ \alpha) $ si $\Delta >0 $: deux racines distinctes $ X_1, \ X_2 $

$$ X_1 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} $$

$$ X_2 = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} $$

Et $ P_2(X) $ se factorise de la sorte :

$$ P_2(X) = a(X - X_1)(X - X_2) $$
$ \beta) $ si $ \Delta =0 $ : une racine double $ X_0 $
$$ X_0 = \frac{- b}{2a} $$

Et $ P_2(X) $ se factorise de la sorte :

$$ P_2(X) = a(X - X_0)^2 $$
$ \gamma) $ si $\Delta < 0 $ : aucune racine réelle
Alors $ \sqrt{\Delta} $ n'existe pas dans $\mathbb{R}$ : l'équation n'a pas de solution, et le polynôme ne se factorise pas.

Il garde alors le signe de $a$ sur tout $\mathbb{R}$, sans jamais s'annuler.

On démarre de l'équation $ (1) $ :

$$ aX^2 + bX + c = 0 \hspace{2em} (1) $$

On factorise par $ a $ :

$$ a \left[ X^2 + \frac{b}{a}X + \frac{c}{a} \right] = 0 \hspace{2em} (2) $$

Or, on remarque que le début des crochets a le même début que $\left(X + \frac{b}{2a}\right)^2 $, car :

$$ \left(X + \frac{b}{2a}\right)^2 = X^2 + \frac{b}{a}X + \frac{b^2}{4a^2} $$

Soit que :

$$ \left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} = X^2 + \frac{b}{a}X $$

En réécrivant l'équation dans l'autre sens :

$$ X^2 + \frac{b}{a}X = \left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} \hspace{2em} (3) $$

On peut alors transformer $ (2) $ en y injectant $ (3) $ :

$$ a \left[ \left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} \right] = 0 $$

$$ a \left[ \left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \right] = 0 $$

On reconnaît alors la troisième identité remarquable du second degré :

$$ A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) $$

Avec :

$$ \begin{Bmatrix} A = X + \frac{b}{2a} \\ B = \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \end{Bmatrix} $$

Ce qui nous amène à :

$$ a \left(X + \frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \right) \left(X + \frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \right) = 0 $$

Par simplicité, on pose :

$$ \Delta = b^2 - 4ac $$

On a alors :

$$ a \left(X + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \left(X + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right) = 0 $$

Soit :

$$ a \left[ X - \left( -\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \right] \left[ X - \left( -\frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \right] = 0 $$

$$ a \left[ X - \left( \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} \right) \right] \left(X - \left( \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} \right) \right] = 0 $$

À partir de ce résultat, il y aura trois cas à prendre en compte.

$ \alpha) $ si $\Delta >0 $: deux racines distinctes $ X_1, \ X_2 $
Alors $ \sqrt{\Delta} $ existe et les solutions sont directement données par :

$$ X_1 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} $$

$$ X_2 = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} $$

Ainsi, le polynôme $P_2(X)$ admet la factorisation :

$$ P_2(X) = a(X - X_1)(X - X_2) $$
$ \beta) $ si $ \Delta =0 $ : une racine double $ X_0 $
Alors $ \sqrt{\Delta} = 0 $ et la racine est double :

$$ X_0 = \frac{- b}{2a} $$

Alors la factorisation de $P_2(X)$ devient :

$$ P_2(X) = a(X - X_0)^2 $$
$ \gamma) $ si $\Delta < 0 $ : aucune racine réelle
Alors $ \sqrt{\Delta} $ n'est pas définie sur $ \mathbb{R} $ : la factorisation obtenue plus haut n'a pas de sens.

En revenant à la forme canonique, on voit pourquoi :

$$ P_2(X) = a \left[ \left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2} \right] $$

Le carré est positif ou nul, et $-\frac{\Delta}{4a^2}$ est strictement positif puisque $\Delta$ est négatif : le crochet ne s'annule jamais.

$$ P_2(X) \ \text{a le signe de} \ a \ \text{sur tout} \ \mathbb{R} $$

L'équation $P_2(X) = 0$ n'a donc aucune solution réelle, et le polynôme ne se factorise pas.

La forme canonique

Toute fonction polynôme du second degré s'écrit sous une forme où $X$ n'apparaît qu'une fois:

$$ P_2(X) = a(X - \alpha)^2 + \beta $$

Les deux coordonnées se lisent directement, et donnent le sommet de la parabole :

$$ \alpha = -\frac{b}{2a} \hspace{2em} \beta = P_2(\alpha) $$

Exemple :

$$ P_2(X) = 2X^2 - 12X + 13 $$

$$ \alpha = \frac{12}{4} = 3 \hspace{2em} \beta = 18 - 36 + 13 = -5 $$

$$ P_2(X) = 2(X - 3)^2 - 5 $$

Le sommet est en $(3 \ ; \ -5)$. Comme $a > 0$, la parabole est tournée vers le haut : $-5$ est le minimum de la fonction, atteint en $3$.

C'est cette forme que la démonstration du discriminant fait apparaître : $\Delta$ n'est rien d'autre que $-4a\beta$. Un discriminant négatif signifie que $\beta$ a le signe de $a$, donc que la parabole ne coupe jamais l'axe.

Le signe du trinôme

Une fois les racines connues, le signe se lit sans calcul : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et du signe contraire entre elles.

$$ X $$	$$ -\infty $$		$$ X_1 $$		$$ X_2 $$		$$ +\infty $$
$$ P_2(X) $$	$$ \text{signe de } a $$		$$ 0 $$	$$ \text{signe de } -a $$		$$ 0 $$	$$ \text{signe de } a $$

signe du trinôme lorsque $\Delta > 0$

Les deux autres cas se déduisent de la forme canonique :

si $\Delta = 0$, le trinôme est du signe de $a$ partout, en s'annulant en $X_0$
si $\Delta < 0$, il est du signe de $a$ partout, sans jamais s'annuler

Une seule phrase couvre les trois cas : « du signe de $a$, sauf entre les racines quand il y en a deux ».

Lien entre coefficients et racines

Par ailleurs, on aura aussi dans le cas général ces deux relations entre les coefficients et racines :

$$ X_1 + X_2 =- \frac{b}{a} $$

$$ X_1 X_2 = \frac{c}{a} $$