Problèmes sur le second degré en première

Le second degré ne sert pas qu'à résoudre des équations : il décrit toute trajectoire soumise à la pesanteur, et toute situation où un gain augmente puis diminue. Choisir la bonne forme - développée, canonique, factorisée - fait la moitié du travail.

Choisir la forme adaptée d'un trinôme selon la question posée.
Résoudre une équation du second degré et interpréter les racines.
Déterminer un extrémum par la forme canonique.
Étudier le signe d'un trinôme pour résoudre une inéquation.

Le ballon lancé

Un ballon est lancé depuis le sol. Sa hauteur, en mètres, $t$ secondes après le lancer, est donnée par :

$$ h(t) = -5t^2 + 20t $$

Factoriser $h(t)$, et en déduire à quels instants le ballon est au sol.

$$ h(t) = -5t(t - 4) $$

Le ballon est au sol pour $t = 0$ - le lancer - et $t = 4$ - la retombée.
Donner la forme canonique de $h$, et en déduire la hauteur maximale.

$$ \alpha = -\frac{20}{2 \times (-5)} = 2 \hspace{2em} \beta = h(2) = -20 + 40 = 20 $$

$$ h(t) = -5(t - 2)^2 + 20 $$

La hauteur maximale est de $20 \ \text{m}$, atteinte au bout de $2$ secondes.
Pendant combien de temps le ballon reste-t-il au-dessus de $15 \ \text{m}$ ?

$$ -5(t-2)^2 + 20 > 15 \quad \Longleftrightarrow \quad (t-2)^2 < 1 $$

$$ -1 < t - 2 < 1 \quad \Longleftrightarrow \quad 1 < t < 3 $$

$$ \text{pendant } 2 \text{ secondes} $$
Quelle forme avez-vous utilisée à chaque question, et pourquoi ?

La forme factorisée donne les racines sans calcul, donc les instants où la hauteur est nulle.

La forme canonique donne le sommet, donc le maximum, et permet de résoudre l'inéquation sans discriminant.

Le prix de vente

Un artisan vend un objet $x$ euros. Il estime qu'il en vendra $200 - 4x$ par mois. Son coût de fabrication est de $15 \ \text{€}$ par objet.

Exprimer le bénéfice mensuel $B(x)$, et donner l'intervalle où $x$ a un sens.

Le bénéfice unitaire vaut $x - 15$, multiplié par le nombre d'objets vendus :

$$ B(x) = (x - 15)(200 - 4x) $$

$$ B(x) = -4x^2 + 260x - 3 \ 000 $$

Il faut $200 - 4x \geqslant 0$, donc $x \in \bigl[0 \ ; \ 50\bigr]$.
Pour quels prix l'artisan ne perd-il pas d'argent ?

La forme factorisée donne les racines $15$ et $50$. Le coefficient de $x^2$ est négatif, donc $B$ est positif entre les racines :

$$ x \in \bigl[15 \ ; \ 50\bigr] $$
Déterminer le prix qui maximise le bénéfice, et ce bénéfice.

$$ \alpha = -\frac{260}{2 \times (-4)} = 32.5 $$

$$ \beta = B(32.5) = -4 \times 1 \ 056.25 + 8 \ 450 - 3 \ 000 $$

$$ \beta = 1 \ 225 \ \text{€} \ \text{pour un prix de } 32.50 \ \text{€} $$
Le prix optimal est-il le milieu des deux racines ? Est-ce un hasard ?

$\frac{15 + 50}{2} = 32.5$ : c'est bien le milieu.

Ce n'est pas un hasard : la parabole est symétrique par rapport à la verticale passant par son sommet, et les deux racines sont symétriques l'une de l'autre. La somme des racines valant $-\frac{b}{a}$, leur milieu vaut $-\frac{b}{2a}$, c'est-à-dire exactement l'abscisse du sommet.

Trois trinômes, trois signes

On considère les trois fonctions suivantes :

$$ f(x) = x^2 - 6x + 5 \hspace{2em} g(x) = -2x^2 + 8x - 8 \hspace{2em} h(x) = 3x^2 - 2x + 4 $$

Calculer les trois discriminants, et en déduire le nombre de racines de chaque fonction.

$$ \Delta_f = 36 - 20 = 16 \hspace{2em} \Delta_g = 64 - 64 = 0 \hspace{2em} \Delta_h = 4 - 48 = -44 $$

$f$ a deux racines, $g$ une racine double, $h$ aucune racine réelle.
Donner le signe de chaque fonction sur $\mathbb{R}$.

$f$ : racines $1$ et $5$, coefficient positif - négative sur $\bigl] 1 \ ; \ 5 \bigr[$, positive ailleurs.

$g$ : racine double $2$, coefficient négatif - négative partout, nulle en $2$.

$h$ : aucune racine, coefficient positif - strictement positive sur tout $\mathbb{R}$.
Résoudre l'inéquation $f(x) \leqslant 0$.

$$ x \in \bigl[ 1 \ ; \ 5 \bigr] $$
Sans calcul supplémentaire, dire si l'équation $h(x) = 3$ admet des solutions.

La forme canonique de $h$ donne son minimum :

$$ \alpha = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \hspace{2em} \beta = h\left(\tfrac{1}{3}\right) = \frac{11}{3} \approx 3.67 $$

Le minimum de $h$ vaut environ $3.67$, donc $h$ ne prend jamais la valeur $3$ : l'équation n'a pas de solution.

Le plateau du menuisier

Un menuisier taille un plateau rectangulaire. Le client lui impose deux choses : une bande de chant de $3.40 \ \text{m}$, qui doit faire exactement le tour du plateau, et une surface de $0.70 \ \text{m}^2$. On note $x$ et $y$ les deux dimensions du plateau, en mètres.

Traduire les deux contraintes par une somme et un produit, puis justifier que $x$ et $y$ sont les racines d'un trinôme à préciser. On rappelle que deux nombres de somme $S$ et de produit $P$ sont les racines de $X^2 - SX + P$.

Le chant fait le tour du plateau, c'est donc son périmètre : $2(x + y) = 3.40$, d'où la somme des deux dimensions.

$$ x + y = 1.70 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} xy = 0.70 $$

$$ x \ \text{et} \ y \ \text{sont les racines de} \ X^2 - 1.7X + 0.7 $$
Résoudre, puis donner les dimensions du plateau. Justifier qu'aucun autre plateau ne convient.

$$ \Delta = 1.7^2 - 4 \times 0.7 = 2.89 - 2.80 = 0.09 \hspace{2em} \sqrt{\Delta} = 0.3 $$

$$ X_1 = \frac{1.7 - 0.3}{2} = 0.7 \hspace{2em} X_2 = \frac{1.7 + 0.3}{2} = 1 $$

$$ \text{le plateau mesure} \ 1 \ \text{m} \times 0.70 \ \text{m} $$

Un trinôme du second degré a au plus deux racines : le couple obtenu est le seul possible, à l'ordre près des deux dimensions.

Vérification : le périmètre vaut $2 \times 1.7 = 3.40 \ \text{m}$ et l'aire $1 \times 0.7 = 0.70 \ \text{m}^2$.
Le client revient et demande $0.75 \ \text{m}^2$, avec le même chant de $3.40 \ \text{m}$. Démontrer que c'est impossible.

Les deux dimensions devraient être les racines de $X^2 - 1.7X + 0.75$ :

$$ \Delta = 2.89 - 4 \times 0.75 = 2.89 - 3 = - 0.11 $$

Le discriminant est strictement négatif : ce trinôme n'a aucune racine réelle.

$$ \text{aucun rectangle de périmètre } 3.40 \ \text{m} \ \text{n'a une aire de } 0.75 \ \text{m}^2 $$
Déterminer toutes les aires réalisables avec un chant de $3.40 \ \text{m}$, et préciser la forme du plateau le plus grand.

On note $S$ l'aire visée. Les dimensions sont les racines de $X^2 - 1.7X + S$, qui existent si et seulement si :

$$ \Delta = 2.89 - 4S \geqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad S \leqslant \frac{2.89}{4} $$

Une aire est de plus strictement positive :

$$ S \in \Bigl] 0 \ ; \ 0.7225 \Bigr] $$

L'aire maximale correspond à $\Delta = 0$, donc à une racine double $X = \frac{1.7}{2} = 0.85$ : le plateau le plus grand est un carré de $0.85 \ \text{m}$ de côté, d'aire $0.85^2 = 0.7225 \ \text{m}^2$.

Les $0.75 \ \text{m}^2$ demandés à la question précédente passaient au-dessus de ce maximum : c'est pour cela que le discriminant y était négatif.

L'entrée du tunnel

Un vieux tunnel à voie unique, réglé par des feux, laisse passer un véhicule à la fois, qui roule au milieu de la chaussée. On note $x$ la distance horizontale à l'axe du tunnel, en mètres, comptée positivement à droite. La hauteur de la voûte, en mètres, est donnée par :

$$ h(x) = 5 - 0.2x^2 $$

Déterminer la largeur du tunnel au niveau du sol, ainsi que sa hauteur maximale.

$$ 5 - 0.2x^2 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 = 25 \quad \Longleftrightarrow \quad x = - 5 \ \text{ou} \ x = 5 $$

L'expression $5 - 0.2x^2$ est déjà sous forme canonique, avec un coefficient $- 0.2$ négatif : elle admet un maximum de $5$, atteint en $x = 0$.

$$ \text{largeur } 10 \ \text{m} \text{, hauteur maximale } 5 \ \text{m au milieu} $$
Une moissonneuse-batteuse mesure $4.20 \ \text{m}$ de haut et $4 \ \text{m}$ de large. Centrée, elle occupe $x \in \bigl[ - 2 \ ; \ 2 \bigr]$. Calculer $h(2)$ et conclure.

$$ h(2) = 5 - 0.2 \times 4 = 5 - 0.8 = 4.20 $$

À $2 \ \text{m}$ de l'axe, là où passent les angles supérieurs de la machine, la voûte est exactement à $4.20 \ \text{m}$.

$$ \text{la marge est nulle : le passage est refusé} $$
Résoudre $h(x) \geqslant 4.20$, puis en déduire la largeur maximale d'un véhicule de $4.20 \ \text{m}$ de haut.

$$ 5 - 0.2x^2 \geqslant 4.20 \quad \Longleftrightarrow \quad 0.2x^2 \leqslant 0.8 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 \leqslant 4 $$

L'inéquation s'écrit $x^2 - 4 \leqslant 0$. Ce trinôme a pour racines $- 2$ et $2$, et son coefficient dominant est positif : il est négatif entre les racines.

$$ x \in \bigl[ - 2 \ ; \ 2 \bigr] $$

$$ \text{largeur maximale} : 4 \ \text{m} $$
Le conducteur affirme : « la voûte monte à $5 \ \text{m}$ et ma machine à $4.20 \ \text{m}$, il me reste $80 \ \text{cm}$ ». Le mécanicien propose de dégonfler les pneus pour gagner $10 \ \text{cm}$ de hauteur. Trancher les deux affirmations.

Le conducteur : les $80 \ \text{cm}$ n'existent que sur l'axe, en $x = 0$. Ce qui compte, c'est la hauteur de la voûte là où passent les angles de la machine, et la question précédente y donne exactement $4.20 \ \text{m}$. Il a tort.

Le mécanicien : la machine mesurerait $4.10 \ \text{m}$. On reprend l'inéquation :

$$ 5 - 0.2x^2 \geqslant 4.10 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 \leqslant 4.5 $$

$$ x \in \left[ - \frac{3\sqrt{2}}{2} \ ; \ \frac{3\sqrt{2}}{2} \right] \hspace{2em} \text{avec} \hspace{2em} \frac{3\sqrt{2}}{2} \approx 2.12 $$

La largeur autorisée passe à $2 \times 2.12 \approx 4.24 \ \text{m}$, pour une machine large de $4 \ \text{m}$.

$$ \text{le mécanicien a raison : environ } 12 \ \text{cm de marge de chaque côté} $$

Gagner $10 \ \text{cm}$ de hauteur rapporte donc $24 \ \text{cm}$ de largeur : près de la voûte, la courbe descend vite, et chaque centimètre de hauteur abandonné se paie largement en largeur gagnée.