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Le second degré ne sert pas qu'à résoudre des équations : il décrit toute trajectoire soumise à la pesanteur, et toute situation où un gain augmente puis diminue. Choisir la bonne forme - développée, canonique, factorisée - fait la moitié du travail.
Choisir la forme adaptée d'un trinôme selon la question posée.
Résoudre une équation du second degré et interpréter les racines.
Déterminer un extrémum par la forme canonique.
Étudier le signe d'un trinôme pour résoudre une inéquation.
Le ballon lancé
Un ballon est lancé depuis le sol. Sa hauteur, en mètres, \(t\) secondes après le lancer, est donnée par :
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Factoriser \(h(t)\), et en déduire à quels instants le ballon est au sol.$$ h(t) = -5t(t - 4) $$
Le ballon est au sol pour \(t = 0\) - le lancer - et \(t = 4\) - la retombée.
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Donner la forme canonique de \(h\), et en déduire la hauteur maximale.$$ \alpha = -\frac{20}{2 \times (-5)} = 2 \qquad \beta = h(2) = -20 + 40 = 20 $$$$ h(t) = -5(t - 2)^2 + 20 $$
La hauteur maximale est de \(20 \ \text{m}\), atteinte au bout de \(2\) secondes.
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Pendant combien de temps le ballon reste-t-il au-dessus de \(15 \ \text{m}\) ?$$ -5(t-2)^2 + 20 > 15 \quad \Longleftrightarrow \quad (t-2)^2 < 1 $$$$ -1 < t - 2 < 1 \quad \Longleftrightarrow \quad 1 < t < 3 $$$$ \text{pendant } 2 \text{ secondes} $$
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Quelle forme avez-vous utilisée à chaque question, et pourquoi ?
La forme factorisée donne les racines sans calcul, donc les instants où la hauteur est nulle.
La forme canonique donne le sommet, donc le maximum, et permet de résoudre l'inéquation sans discriminant.
Le prix de vente
Un artisan vend un objet \(x\) euros. Il estime qu'il en vendra \(200 - 4x\) par mois. Son coût de fabrication est de \(15 \ \text{€}\) par objet.
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Exprimer le bénéfice mensuel \(B(x)\), et donner l'intervalle où \(x\) a un sens.
Le bénéfice unitaire vaut \(x - 15\), multiplié par le nombre d'objets vendus :
$$ B(x) = (x - 15)(200 - 4x) $$$$ B(x) = -4x^2 + 260x - 3 \ 000 $$Il faut \(200 - 4x \geqslant 0\), donc \(x \in \bigl[0 \ ; \ 50\bigr]\).
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Pour quels prix l'artisan ne perd-il pas d'argent ?
La forme factorisée donne les racines \(15\) et \(50\). Le coefficient de \(x^2\) est négatif, donc \(B\) est positif entre les racines :
$$ x \in \bigl[15 \ ; \ 50\bigr] $$ -
Déterminer le prix qui maximise le bénéfice, et ce bénéfice.$$ \alpha = -\frac{260}{2 \times (-4)} = 32{,}5 $$$$ \beta = B(32{,}5) = -4 \times 1 \ 056{,}25 + 8 \ 450 - 3 \ 000 $$$$ \beta = 1 \ 225 \ \text{€} \ \text{pour un prix de } 32{,}50 \ \text{€} $$
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Le prix optimal est-il le milieu des deux racines ? Est-ce un hasard ?
\(\frac{15 + 50}{2} = 32{,}5\) : c'est bien le milieu.
Ce n'est pas un hasard : la parabole est symétrique par rapport à la verticale passant par son sommet, et les deux racines sont symétriques l'une de l'autre. La somme des racines valant \(-\frac{b}{a}\), leur milieu vaut \(-\frac{b}{2a}\), c'est-à-dire exactement l'abscisse du sommet.
Trois trinômes, trois signes
On considère les trois fonctions suivantes :
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Calculer les trois discriminants, et en déduire le nombre de racines de chaque fonction.$$ \Delta_f = 36 - 20 = 16 \qquad \Delta_g = 64 - 64 = 0 \qquad \Delta_h = 4 - 48 = -44 $$
\(f\) a deux racines, \(g\) une racine double, \(h\) aucune racine réelle.
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Donner le signe de chaque fonction sur \(\mathbb{R}\).
\(f\) : racines \(1\) et \(5\), coefficient positif - négative sur \(\bigl] 1 \ ; \ 5 \bigr[\), positive ailleurs.
\(g\) : racine double \(2\), coefficient négatif - négative partout, nulle en \(2\).
\(h\) : aucune racine, coefficient positif - strictement positive sur tout \(\mathbb{R}\).
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Résoudre l'inéquation \(f(x) \leqslant 0\).$$ x \in \bigl[ 1 \ ; \ 5 \bigr] $$
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Sans calcul supplémentaire, dire si l'équation \(h(x) = 3\) admet des solutions.
La forme canonique de \(h\) donne son minimum :
$$ \alpha = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \qquad \beta = h\left(\tfrac{1}{3}\right) = \frac{11}{3} \approx 3{,}67 $$Le minimum de \(h\) vaut environ \(3{,}67\), donc \(h\) ne prend jamais la valeur \(3\) : l'équation n'a pas de solution.