Résoudre une équation du second degré (pour des nombres réels)

Une équation du second degré est du type :

$$ aX^2 + bX + c = 0 \qquad (E) $$

$$ (avec \ a \neq 0) $$

La résolution pour des nombres réels se fait en deux étapes :

trouver les racines
factoriser

Par la suite, on pourra aussi résoudre des inéquations en faisant un tableau de signes à partir de la factorisation.

Méthode par le calcul du discriminant $\Delta$

Détermination des racines

Tout d'abord, on calcule le discriminant $\Delta$ :

$$\Delta = b^2 - 4ac $$

Une fois le discriminant calculé, deux cas peuvent se présenter :
- si $\Delta > 0$ $\Longrightarrow$ deux racines distinctes : $(X_1, X_2)$
  
  $$ X_1 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} $$
  
  $$ X_2 = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} $$
- si $\Delta = 0$ $\Longrightarrow$ une racine double : $X_0$
  
  Dans ce cas, $(X_1 = X_2 )$ car $\sqrt{\Delta} $ s'annule dans les deux cas. Alors, on a une racine double :
  
  $$ X_0 = \frac{- b}{2a} $$
- si $\Delta < 0$ $\Longrightarrow$ pas de racine
Factorisation

On obtient alors une factorisation générale pour l'équation $(E)$ :

$$ a(X - X_1)(X - X_2) =0 \qquad (E') $$

Si le discriminant était nul, on a cette factorisation :

$$ a(X - X_0)^2 = 0 \qquad (E'') $$

Démonstration par le début d'un développement

Trouver le début d'un développement

En redémarrant de $(E)$ :

$$ aX^2 + bX + c = 0 \qquad (E) $$

On factorise par $a$ :

$$ a \left( \textcolor{rgb(93 183 129)}{X^2 + \frac{bX}{a}} + \frac{c}{a}\right)= 0 \qquad (E^*) $$

On remarque que le début de la parenthèse est le début du développement de $\left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 $ car :

$$ \left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 = \textcolor{rgb(93 183 129)}{X^2 + \frac{bX}{a}} + \left(\frac{b}{2a} \right)^2 $$

$$ \left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 = \textcolor{rgb(93 183 129)}{X^2 + \frac{bX}{a}} + \frac{b^2}{4a^2} $$

On met la partie en verte de côté :

$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{X^2 + \frac{bX}{a}} = \ \left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 - \ \frac{b^2}{4a^2} \qquad (C) $$
Factorisation

Maintenant, on réinjecte la partie droite de $(C)$ dans $(E^*)$ :

$$ a \left[ \left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 - \ \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\right]= 0 \qquad (E^*) $$

Puis on met au même dénominateur :

$$ a \left[ \left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 - \ \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{4a}{4a}}\right]= 0 $$

$$ a \left[ \left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 - \ \frac{b^2}{4a^2} + \frac{4ac}{4a^2}\right]= 0 $$

$$ a \left[ \left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 - \ \frac{(b^2 - 4 ac)}{4a^2} \right]= 0 $$

Soit,

$$ a \left[ \left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 - \ \left( \frac{\sqrt{b^2 - 4 ac}}{2a} \right)^2 \right]= 0 $$

Et enfin on factorise :

On factorise une différence de carré par :

$$ A^2 - B^2 = (A+B)(A-B) $$

$$ a \left[ \left(X + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2 - 4 ac}}{2a} \right)\left(X + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{b^2 - 4 ac}}{2a} \right) \right]= 0 $$

En arrangeant :

$$ a \left[ \left(X - \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 ac}}{2a} \right)\left(X - \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 ac}}{2a} \right) \right]= 0 $$

On pose :

$$ X_1 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} $$

$$ X_2 = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} $$

$$ (avec \ \Delta = b^2 - 4ac) $$

Et on obtient une forme simplifiée de la factorisation de $(E)$ :

$$ a(X - X_1)(X - X_2) =0 \qquad (E') $$

Exemples

En passant par le calcul de $\Delta$
1. Calcul de $\Delta$
  
  $$ 3X^2 -2X + 4 \leqslant 6X + 7 $$
  
  Tout d'abord, on s'arrange pour avoir 0 d'un côté de l'équation :
  
  $$ 3X^2 -8X -3 \leqslant 0 \qquad (E) $$
  
  On calcule le discriminant $\Delta$ :
  
  $$ \Delta = (-8)^2 - 4\times 3 \times (-3) $$
  
  $$ \Delta = 64 + 36 = 100 $$
2. Détermination des racines
  
  $\Delta > 0$, donc on a deux racines :
  
  $$ X_1 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2 \times 3 } X_1 = \frac{8 - 10}{6 } X_1 = -\frac{1}{3 } $$
  
  $$ X_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2 \times 3 } X_2 = \frac{8 + 10}{6} X_2 = 3 $$
  
  Alors, l'équation $(E)$ s'écrit maintenant $(E')$ :
  
  $$3 \left(X+ \frac{1}{3}\right)\Bigl(X - 3 \Bigr) \leqslant 0 \qquad (E') $$
En passant par le début d'un développement

À partir de $(E)$ :

$$ 3X^2 -8X -3 \leqslant 0 \qquad (E) $$

On s'arrange pour que $(a = 1)$

$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{X^2 -\frac{8}{3}X} -1 \leqslant 0 \qquad (E_r) $$

Puis on cherche le début de $X^2 -\frac{8}{3}X$ :

$$ \left(X - \frac{4}{3}\right)^2 = \textcolor{rgb(93 183 129)}{X^2 -\frac{8}{3}X} + \frac{16}{9} $$

$$ \left(X - \frac{4}{3}\right)^2 - \frac{16}{9} = \textcolor{rgb(93 183 129)}{X^2 -\frac{8}{3}X} $$

On réinjecte dans l'équation réduite $E_r$ :

$$ \left(X - \frac{4}{3}\right)^2 - \frac{16}{9} -1 \leqslant 0 $$

$$ \left(X - \frac{4}{3}\right)^2 - \frac{16}{9} -1\textcolor{#6187B2}{\times \frac{9}{9}} \leqslant 0 $$

$$ \left(X - \frac{4}{3}\right)^2 - \frac{25}{9} \leqslant 0 $$

$$ \left(X - \frac{4}{3}\right)^2 - \left( \frac{5}{3} \right)^2 \leqslant 0 $$

On peut maintenant factoriser :

$$ \left(X - \frac{4}{3} + \frac{5}{3} \right)\left(X - \frac{4}{3} - \frac{5}{3} \right) \leqslant 0 $$

$$ \left(X + \frac{1}{3} \right)\left(X - \frac{9}{3} \right) \leqslant 0 $$

$$\left(X + \frac{1}{3} \right)\Bigl(X - 3 \Bigr) \leqslant 0 \qquad (E_r') $$

Résolution par un tableau de signes

On peut maintenant faire un tableau de signes :

$$ X $$	$$ -\infty $$		$$ -\frac{1}{3} $$		$$ 3 $$		$$ +\infty $$
$$ X+ \frac{1}{3} $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
$$ X-3 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
$$ 3 \left(X+ \frac{1}{3}\right)(X-3) $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$

Soit comme solutions pour $(E)$ :

$$ \mathcal{S} = \biggl[-\frac{1}{3} ; 3 \biggr] $$

Méthode par le calcul du discriminant \(\Delta\)

Démonstration par le début d'un développement

Exemples