La trigonométrie en première

Le cercle trigonométrique

C'est le cercle de rayon $1$, centré à l'origine du repère, et orienté: le sens positif est le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Son périmètre vaut $2\pi$, puisque le périmètre d'un cercle est $2\pi r$ et que le rayon vaut $1$.

Le radian

Un angle peut se mesurer par la longueur de l'arc qu'il découpe sur le cercle trigonométrique. Cette mesure s'appelle le radian.

$$ \text{longueur d'arc} = \text{mesure de l'angle en radians} $$

Le tour complet fait $360°$ d'un côté, $2\pi$ de l'autre : la conversion est une proportionnalité.

$$ \frac{\text{angle en degrés}}{180} = \frac{\text{angle en radians}}{\pi} $$

Degrés	$0$	$30$	$45$	$60$	$90$	$180$	$360$
Radians	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$2\pi$

les conversions à connaître par cœur

Exemple :

Convertir $135°$ en radians :

$$ \frac{135}{180} = \frac{x}{\pi} \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{135\pi}{180} $$

$$ x = \frac{3\pi}{4} $$

L'enroulement de la droite

On imagine une droite graduée, tangente au cercle au point de coordonnées $(1 \ ; \ 0)$, que l'on enroule autour du cercle.

Chaque réel $x$ vient alors se poser sur un point du cercle, appelé l'image de $x$. Les réels positifs s'enroulent dans le sens direct, les négatifs dans l'autre.

Deux réels, un même point

Faire un tour complet ramène au même point : deux réels ont la même image s'ils diffèrent d'un multiple de $2\pi$.

$$ x \ \text{et} \ x + 2k\pi \ \text{ont la même image}, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Exemple :

$\frac{9\pi}{4}$ et $\frac{\pi}{4}$ ont la même image, car leur différence vaut $2\pi$. Pour placer un réel, on lui retire des tours entiers jusqu'à retomber entre $0$ et $2\pi$.

Cosinus et sinus d'un réel

Cosinus et sinus

Si $M$ est l'image du réel $x$ sur le cercle trigonométrique, alors $\cos(x)$ est son abscisse et $\sin(x)$ son ordonnée.

$$ M \Bigl( \cos(x) \ ; \ \sin(x) \Bigr) $$

Le point étant sur un cercle de rayon $1$, le théorème de Pythagore donne aussitôt la relation fondamentale:

$$ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 $$

Et comme les coordonnées d'un point du cercle unité ne sortent jamais de $\bigl[-1 \ ; \ 1\bigr]$:

$$ -1 \leqslant \cos(x) \leqslant 1 \qquad \text{et} \qquad -1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1 $$

Le lien avec le triangle rectangle

Pour un réel $x$ compris entre $0$ et $\frac{\pi}{2}$, le point $M$, son projeté sur l'axe des abscisses et l'origine forment un triangle rectangle d'hypoténuse $1$.

On retrouve alors les définitions du collège : le côté adjacent vaut $\cos(x)$, le côté opposé $\sin(x)$, et l'hypoténuse $1$.

La définition par le cercle prolonge celle du triangle rectangle : elle donne un sens à $\cos(x)$ pour tout réel, y compris négatif ou supérieur à un tour, ce que le triangle ne permettait pas.

Les valeurs remarquables

$x$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\cos(x)$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\sin(x)$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$

les cinq colonnes à savoir, et à retrouver si besoin

Une aide de lecture : les cosinus se lisent $\frac{\sqrt{4}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{0}}{2}$ - les racines décroissent de 4 à 0. Les sinus font le chemin inverse.

Retrouver $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$ et $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$

L'angle $\frac{\pi}{4}$ vaut $45°$ : il partage le quart de cercle en deux parts égales, donc le point image est sur la bissectrice, où abscisse et ordonnée sont égales.

$$ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) $$

En reportant dans la relation fondamentale :

$$ 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \quad \Longrightarrow \quad \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} $$

Le cosinus est positif dans ce quart de cercle, donc :

$$ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Retrouver $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$

Soit $M$ l'image de $\frac{\pi}{3}$, c'est-à-dire de $60°$. Le triangle formé par l'origine $O$, le point $A(1 \ ; \ 0)$ et le point $M$ a deux côtés de longueur $1$ - ce sont deux rayons - et un angle de $60°$ entre eux.

Un triangle isocèle ayant un angle de $60°$ est équilatéral : ses trois côtés valent $1$.

Le projeté de $M$ sur l'axe des abscisses est donc le milieu de $\bigl[OA\bigr]$ :

$$ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $$

La relation fondamentale donne alors le sinus :

$$ \sin^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $$

$$ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Les angles associés

Quatre symétries du cercle permettent de tout ramener au premier quart. C'est ce qui évite d'apprendre quatre tableaux au lieu d'un.

Angle	Symétrie	Cosinus	Sinus
$-x$	axe des abscisses	$\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\pi - x$	axe des ordonnées	$-\cos(x)$	$\sin(x)$
$\pi + x$	origine	$-\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\frac{\pi}{2} - x$	première bissectrice	$\sin(x)$	$\cos(x)$

les quatre angles associés, et la symétrie dont chacun vient

Exemple :

Calculer $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ :

$$ \frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3} $$

C'est donc le cas $\pi - x$, avec $x = \frac{\pi}{3}$ :

$$ \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} $$

Le signe se retrouve toujours en regardant le quart de cercle, sans apprendre le tableau : dans le deuxième quart, l'abscisse est négative et l'ordonnée positive, donc le cosinus est négatif et le sinus positif.

\(x\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)
\(\cos(x)\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(0\)
\(\sin(x)\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)

Angle	Symétrie	Cosinus	Sinus
\(-x\)	axe des abscisses	\(\cos(x)\)	\(-\sin(x)\)
\(\pi - x\)	axe des ordonnées	\(-\cos(x)\)	\(\sin(x)\)
\(\pi + x\)	origine	\(-\cos(x)\)	\(-\sin(x)\)
\(\frac{\pi}{2} - x\)	première bissectrice	\(\sin(x)\)	\(\cos(x)\)