La trigonométrie en première

Du triangle rectangle au cercle : le cosinus et le sinus prennent un sens pour tout réel.

Convertir une mesure d'angle entre degrés et radians
Placer sur le cercle trigonométrique le point image d'un réel
Lire le cosinus et le sinus d'un réel sur le cercle trigonométrique
Connaître les valeurs remarquables du cosinus et du sinus
Utiliser les angles associés pour se ramener au premier quart de cercle

Une nacelle de grande roue monte, redescend, remonte. Sa hauteur au fil du temps repasse par les mêmes valeurs, tour après tour.

Sa position ne dépend que de l'angle parcouru depuis le départ - et l'angle, lui, ne s'arrête jamais de croître.

Enrouler la droite des réels autour d'un cercle : c'est ce qui rend le sinus et le cosinus périodiques.

Le cercle trigonométrique

C'est le cercle de rayon $1$, centré à l'origine du repère, et orienté: le sens positif est le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Son périmètre vaut $2\pi$, puisque le périmètre d'un cercle est $2\pi R$ et que le rayon vaut $1$.

Le radian

Un angle peut se mesurer par la longueur de l'arc qu'il découpe sur le cercle trigonométrique. Cette mesure s'appelle le radian.

$$ \text{longueur d'arc} = \text{mesure de l'angle en radians} $$

Le tour complet fait $360°$ d'un côté, $2\pi$ de l'autre : la conversion est une proportionnalité.

$$ \frac{\text{angle en degrés}}{180} = \frac{\text{angle en radians}}{\pi} $$

Degrés	$0$	$30$	$45$	$60$	$90$	$180$	$360$
Radians	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$2\pi$

les conversions à connaître par cœur

Exemple :

Convertir $135°$ en radians :

$$ \frac{135}{180} = \frac{x}{\pi} \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{135\pi}{180} $$

$$ x = \frac{3\pi}{4} $$

L'enroulement de la droite

On imagine une droite graduée, tangente au cercle au point de coordonnées $(1 \ ; \ 0)$, que l'on enroule autour du cercle.

Chaque réel $x$ vient alors se poser sur un point du cercle, appelé l'image de $x$. Les réels positifs s'enroulent dans le sens direct, les négatifs dans l'autre.

Deux réels, un même point

Faire un tour complet ramène au même point : deux réels ont la même image s'ils diffèrent d'un multiple de $2\pi$.

$$ x \ \text{et} \ x + 2k\pi \ \text{ont la même image} \hspace{2em} (k \in \mathbb{Z}) $$

Exemple :

$\frac{9\pi}{4}$ et $\frac{\pi}{4}$ ont la même image, car leur différence vaut $2\pi$. Pour placer un réel, on lui retire des tours entiers jusqu'à retomber entre $0$ et $2\pi$.

Cosinus et sinus d'un réel

Cosinus et sinus

Si $M$ est l'image du réel $x$ sur le cercle trigonométrique, alors $\cos(x)$ est son abscisse et $\sin(x)$ son ordonnée.

$$ M \Bigl( \cos(x) \ ; \ \sin(x) \Bigr) $$

Le point étant sur un cercle de rayon $1$, le théorème de Pythagore donne aussitôt la relation fondamentale:

$$ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 $$

Et comme les coordonnées d'un point du cercle unité ne sortent jamais de $\bigl[-1 \ ; \ 1\bigr]$:

$$ -1 \leqslant \cos(x) \leqslant 1 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} -1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1 $$

Le lien avec le triangle rectangle

Pour un réel $x$ compris entre $0$ et $\frac{\pi}{2}$, le point $M$, son projeté sur l'axe des abscisses et l'origine forment un triangle rectangle d'hypoténuse $1$.

On retrouve alors les définitions du collège : le côté adjacent vaut $\cos(x)$, le côté opposé $\sin(x)$, et l'hypoténuse $1$.

La définition par le cercle prolonge celle du triangle rectangle : elle donne un sens à $\cos(x)$ pour tout réel, y compris négatif ou supérieur à un tour, ce que le triangle ne permettait pas.

Les valeurs remarquables

$x$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\cos(x)$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\sin(x)$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$

les cinq colonnes à savoir, et à retrouver si besoin

Une aide de lecture : les cosinus se lisent $\frac{\sqrt{4}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{0}}{2}$ - les racines décroissent de 4 à 0. Les sinus font le chemin inverse.

Les angles associés

Quatre symétries et un quart de tour du cercle permettent de tout ramener au premier quart. C'est ce qui évite d'apprendre quatre tableaux au lieu d'un.

Angle	Transformation	Cosinus	Sinus
$-x$	axe des abscisses	$\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\pi - x$	axe des ordonnées	$-\cos(x)$	$\sin(x)$
$\pi + x$	origine	$-\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\frac{\pi}{2} - x$	première bissectrice	$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\frac{\pi}{2} + x$	quart de tour direct	$-\sin(x)$	$\cos(x)$

les cinq angles associés, et la transformation du cercle dont chacun vient

Exemple :

Calculer $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ :

$$ \frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3} $$

C'est donc le cas $\pi - x$, avec $x = \frac{\pi}{3}$ :

$$ \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} $$

Le signe se retrouve toujours en regardant le quart de cercle, sans apprendre le tableau : dans le deuxième quart, l'abscisse est négative et l'ordonnée positive, donc le cosinus est négatif et le sinus positif.

\(x\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)
\(\cos(x)\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(0\)
\(\sin(x)\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)

Angle	Transformation	Cosinus	Sinus
\(-x\)	axe des abscisses	\(\cos(x)\)	\(-\sin(x)\)
\(\pi - x\)	axe des ordonnées	\(-\cos(x)\)	\(\sin(x)\)
\(\pi + x\)	origine	\(-\cos(x)\)	\(-\sin(x)\)
\(\frac{\pi}{2} - x\)	première bissectrice	\(\sin(x)\)	\(\cos(x)\)
\(\frac{\pi}{2} + x\)	quart de tour direct	\(-\sin(x)\)	\(\cos(x)\)