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Problèmes de trigonométrie

Le radian n'est pas une lubie de mathématicien : c'est la mesure d'angle qui rend la longueur d'arc immédiate. Ces problèmes l'utilisent là où il sert - une grande roue, un cadran, une piste circulaire - avant de revenir aux valeurs exactes du cercle.

La grande roue

Une grande roue de \(20 \ \text{m}\) de rayon tourne à vitesse constante et fait un tour complet en \(10\) minutes. Une cabine part du point le plus bas.

  1. De quel angle, en radians, la roue tourne-t-elle en une minute ?

    Un tour complet vaut \(2\pi\) radians pour \(10\) minutes :

    $$ \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} \ \text{radian par minute} $$
  2. Quelle distance une cabine parcourt-elle en \(3\) minutes ? Arrondir au mètre.

    L'angle balayé vaut \(3 \times \frac{\pi}{5} = \frac{3\pi}{5}\).

    Sur un cercle de rayon \(r\), la longueur d'arc vaut \(r\) fois l'angle en radians :

    $$ \ell = 20 \times \frac{3\pi}{5} = 12\pi $$
    $$ \ell \approx 38 \ \text{m} $$
  3. Convertir \(\frac{3\pi}{5}\) en degrés.
    $$ \frac{d}{180} = \frac{3\pi / 5}{\pi} = \frac{3}{5} $$
    $$ d = 108° $$
  4. Au bout de \(25\) minutes, où se trouve la cabine ?

    \(25\) minutes font deux tours et demi. Les deux tours ramènent au point de départ.

    Il reste un demi-tour : la cabine est au point le plus haut.

Lire le cercle

On considère les quatre réels suivants :

$$ a = \frac{11\pi}{4} \qquad b = -\frac{2\pi}{3} \qquad c = \frac{7\pi}{6} \qquad d = \frac{9\pi}{2} $$
  1. Pour chacun, donner un réel de \(\bigl[0 \ ; \ 2\pi\bigr[\) ayant la même image.
    Réel
    Calcul
    Image équivalente
    \(a\)
    \(\frac{11\pi}{4} - \frac{8\pi}{4}\)
    \(\frac{3\pi}{4}\)
    \(b\)
    \(-\frac{2\pi}{3} + \frac{6\pi}{3}\)
    \(\frac{4\pi}{3}\)
    \(c\)
    déjà dans l'intervalle
    \(\frac{7\pi}{6}\)
    \(d\)
    \(\frac{9\pi}{2} - \frac{8\pi}{2}\)
    \(\frac{\pi}{2}\)
    chaque réel ramené dans le premier tour
  2. Pour chacun, donner le signe du cosinus et du sinus, sans les calculer.

    \(a\) est dans le deuxième quart : cosinus négatif, sinus positif.

    \(b\) et \(c\) sont dans le troisième quart : les deux négatifs.

    \(d\) est sur l'axe des ordonnées : cosinus nul, sinus égal à \(1\).

  3. Calculer les valeurs exactes de \(\cos(a)\) et \(\sin(c)\).
    $$ \frac{3\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} \quad \Longrightarrow \quad \cos(a) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) $$
    $$ \cos(a) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$
    $$ \frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6} \quad \Longrightarrow \quad \sin(c) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) $$
    $$ \sin(c) = -\frac{1}{2} $$

Le virage relevé

Sur une piste circulaire de \(45 \ \text{m}\) de rayon, un coureur parcourt un virage de \(60 \ \text{m}\) de long. On note \(\theta\) l'angle au centre correspondant.

  1. Calculer \(\theta\) en radians, arrondi au centième.

    La longueur d'arc vaut \(r\theta\), donc :

    $$ \theta = \frac{60}{45} = \frac{4}{3} $$
    $$ \theta \approx 1{,}33 \ \text{radian} $$
  2. Convertir cet angle en degrés, arrondi au degré.
    $$ \frac{d}{180} = \frac{4/3}{\pi} \quad \Longrightarrow \quad d = \frac{240}{\pi} $$
    $$ d \approx 76° $$
  3. Le coureur est-il passé au-delà du quart de tour ? Justifier de deux façons.

    En radians : le quart de tour vaut \(\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\), et \(1{,}33 < 1{,}57\).

    En degrés : le quart de tour vaut \(90°\), et \(76° < 90°\).

    Non, il n'a pas atteint le quart de tour.

  4. Quelle longueur de virage aurait-il fallu pour un quart de tour exactement ?
    $$ \ell = 45 \times \frac{\pi}{2} $$
    $$ \ell \approx 71 \ \text{m} $$