Problèmes sur la trigonométrie

La grande roue

Une grande roue de \(20 \ \text{m}\) de rayon tourne à vitesse constante et fait un tour complet en \(10\) minutes. Une cabine part du point le plus bas.

1. De quel angle, en radians, la roue tourne-t-elle en une minute ?

   Un tour complet vaut \(2\pi\) radians pour \(10\) minutes :

   $$ \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} \ \text{radian par minute} $$
2. Quelle distance une cabine parcourt-elle en \(3\) minutes ? Arrondir au mètre.

   L'angle balayé vaut \(3 \times \frac{\pi}{5} = \frac{3\pi}{5}\).

   Sur un cercle de rayon \(r\), la longueur d'arc vaut \(r\) fois l'angle en radians :

   $$ \ell = 20 \times \frac{3\pi}{5} = 12\pi $$

   $$ \ell \approx 38 \ \text{m} $$
3. Convertir \(\frac{3\pi}{5}\) en degrés.
   $$ \frac{d}{180} = \frac{3\pi / 5}{\pi} = \frac{3}{5} $$

   $$ d = 108° $$
4. Au bout de \(25\) minutes, où se trouve la cabine ?

   \(25\) minutes font deux tours et demi. Les deux tours ramènent au point de départ.

   Il reste un demi-tour : la cabine est au point le plus haut.

Lire le cercle

On considère les quatre réels suivants :

1. Pour chacun, donner un réel de \(\bigl[0 \ ; \ 2\pi\bigr[\) ayant la même image.

   Réel	Calcul	Image équivalente
   \(a\)	\(\frac{11\pi}{4} - \frac{8\pi}{4}\)	\(\frac{3\pi}{4}\)
   \(b\)	\(-\frac{2\pi}{3} + \frac{6\pi}{3}\)	\(\frac{4\pi}{3}\)
   \(c\)	déjà dans l'intervalle	\(\frac{7\pi}{6}\)
   \(d\)	\(\frac{9\pi}{2} - \frac{8\pi}{2}\)	\(\frac{\pi}{2}\)

2. Pour chacun, donner le signe du cosinus et du sinus, sans les calculer.

   \(a\) est dans le deuxième quart : cosinus négatif, sinus positif.

   \(b\) et \(c\) sont dans le troisième quart : les deux négatifs.

   \(d\) est sur l'axe des ordonnées : cosinus nul, sinus égal à \(1\).

3. Calculer les valeurs exactes de \(\cos(a)\) et \(\sin(c)\).
   $$ \frac{3\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} \quad \Longrightarrow \quad \cos(a) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) $$

   $$ \cos(a) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$

   $$ \frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6} \quad \Longrightarrow \quad \sin(c) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) $$

   $$ \sin(c) = -\frac{1}{2} $$

Le virage relevé

Sur une piste circulaire de \(45 \ \text{m}\) de rayon, un coureur parcourt un virage de \(60 \ \text{m}\) de long. On note \(\theta\) l'angle au centre correspondant.

1. Calculer \(\theta\) en radians, arrondi au centième.

   La longueur d'arc vaut \(r\theta\), donc :

   $$ \theta = \frac{60}{45} = \frac{4}{3} $$

   $$ \theta \approx 1.33 \ \text{radian} $$
2. Convertir cet angle en degrés, arrondi au degré.
   $$ \frac{d}{180} = \frac{4/3}{\pi} \quad \Longrightarrow \quad d = \frac{240}{\pi} $$

   $$ d \approx 76° $$
3. Le coureur est-il passé au-delà du quart de tour ? Justifier de deux façons.

   En radians : le quart de tour vaut \(\frac{\pi}{2} \approx 1.57\), et \(1.33 < 1.57\).

   En degrés : le quart de tour vaut \(90°\), et \(76° < 90°\).

   Non, il n'a pas atteint le quart de tour.

4. Quelle longueur de virage aurait-il fallu pour un quart de tour exactement ?
   $$ \ell = 45 \times \frac{\pi}{2} $$

   $$ \ell \approx 71 \ \text{m} $$

Les pales de l'éolienne

Une éolienne porte trois pales de \(40 \ \text{m}\), fixées au moyeu et régulièrement réparties autour de lui. Le moyeu est à \(80 \ \text{m}\) du sol. On se place dans un repère orthonormé d'origine le moyeu, d'unité \(1 \ \text{m}\), et on repère chaque pale par l'angle \(\theta\), en radians, qu'elle fait avec la direction horizontale, dans le sens direct.

1. Montrer que le bout d'une pale repérée par \(\theta\) est à l'altitude \(80 + 40\sin(\theta)\), en mètres. Donner l'altitude la plus haute, la plus basse, puis celle du bout d'une pale repérée par \(\frac{2\pi}{3}\).

   Le bout de pale est sur le cercle de centre le moyeu et de rayon \(40\) : ses coordonnées sont \((40\cos(\theta) \ ; \ 40\sin(\theta))\). Son ordonnée donne sa hauteur au-dessus du moyeu, à laquelle s'ajoutent les \(80 \ \text{m}\) du mât :

   $$ h(\theta) = 80 + 40\sin(\theta) $$

   Le sinus varie de \(-1\) à \(1\) :

   $$ h = 120 \ \text{m} \ \text{pour} \ \theta = \frac{\pi}{2} \hspace{2em} h = 40 \ \text{m} \ \text{pour} \ \theta = \frac{3\pi}{2} $$

   Pour \(\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}\), l'angle associé donne \(\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) :

   $$ h\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 80 + 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 80 + 20\sqrt{3} $$

   $$ h\left(\frac{2\pi}{3}\right) \approx 114.6 \ \text{m} $$
2. Déterminer tous les réels \(\theta\) de \(\bigl[ 0 \ ; \ 2\pi \bigr[\) pour lesquels le bout de pale est exactement à \(100 \ \text{m}\), et prouver qu'il n'y en a pas d'autres.
   $$ 80 + 40\sin(\theta) = 100 \iff \sin(\theta) = \frac{1}{2} $$

   Sur le cercle trigonométrique, les points d'ordonnée \(\frac{1}{2}\) sont les points d'intersection du cercle et de la droite horizontale d'ordonnée \(\frac{1}{2}\) : il y en a exactement deux, et pas un de plus.

   Le premier est l'image de \(\frac{\pi}{6}\), valeur remarquable ; le second est son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, image de \(\pi - \frac{\pi}{6}\) :

   $$ \theta = \frac{\pi}{6} \hspace{2em} \text{ou} \hspace{2em} \theta = \frac{5\pi}{6} $$

   Chaque pale passe donc deux fois par \(100 \ \text{m}\) à chaque tour : une fois en montant, une fois en descendant.

3. Les trois pales occupent les angles \(\theta\), \(\theta + \frac{2\pi}{3}\) et \(\theta + \frac{4\pi}{3}\). Déterminer toutes les positions \(\theta\) de \(\bigl[ 0 \ ; \ 2\pi \bigr[\) pour lesquelles au moins un bout de pale est à \(100 \ \text{m}\), puis dire combien de pales y sont alors.

   Une pale est à \(100 \ \text{m}\) lorsque son angle a pour image celle de \(\frac{\pi}{6}\) ou celle de \(\frac{5\pi}{6}\). On traite les trois pales :

   Première pale : \(\theta = \frac{\pi}{6}\) ou \(\theta = \frac{5\pi}{6}\).

   Deuxième pale : \(\theta + \frac{4\pi}{6}\) vaut \(\frac{\pi}{6}\) ou \(\frac{5\pi}{6}\), donc \(\theta = -\frac{\pi}{2}\), dont l'image est celle de \(\frac{3\pi}{2}\), ou \(\theta = \frac{\pi}{6}\).

   Troisième pale : \(\theta + \frac{8\pi}{6}\) vaut \(\frac{\pi}{6}\) ou \(\frac{5\pi}{6}\), donc \(\theta = -\frac{7\pi}{6}\), dont l'image est celle de \(\frac{5\pi}{6}\), ou \(\theta = -\frac{\pi}{2}\), soit encore \(\frac{3\pi}{2}\).

   En réunissant, sans compter deux fois les mêmes :

   $$ \theta = \frac{\pi}{6} \hspace{2em} \theta = \frac{5\pi}{6} \hspace{2em} \theta = \frac{3\pi}{2} $$

   Trois positions seulement, et non six : chaque valeur apparaît deux fois dans la recherche. C'est que \(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}\) est précisément l'écart entre deux pales. Pour \(\theta = \frac{\pi}{6}\), par exemple, les pales sont en \(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{5\pi}{6}\) et \(\frac{3\pi}{2}\) : les deux premières sont à \(100 \ \text{m}\), la dernière est au plus bas, à \(40 \ \text{m}\).

   $$ \text{deux bouts de pale à } 100 \ \text{m} \ \text{à chaque fois} $$
4. Le rotor tourne à \(15\) tours par minute. À quel rythme un bout de pale franchit-il l'altitude \(100 \ \text{m}\) ?

   Un tour dure \(\frac{60}{15} = 4 \ \text{s}\). Les trois positions trouvées sont espacées de \(\frac{2\pi}{3}\), soit un tiers de tour :

   $$ \frac{4}{3} \approx 1.33 \ \text{s} $$

   Toutes les \(1.33 \ \text{s}\), deux bouts de pale franchissent ensemble la barre des \(100 \ \text{m}\). Par minute :

   $$ 3 \times 15 = 45 \ \text{instants} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 6 \times 15 = 90 \ \text{passages} $$

   $$ 90 \ \text{passages par minute, deux par deux} $$

L'horloge de la gare

À midi pile, les deux aiguilles de l'horloge de la gare sont superposées sur le \(12\). Un voyageur affirme : « elles se superposent une fois par heure, donc douze fois entre midi et minuit ». On note \(t\) le temps écoulé depuis midi, en heures, et on mesure les angles en radians à partir du \(12\), dans le sens de rotation des aiguilles.

1. Exprimer, en fonction de \(t\), l'angle parcouru depuis midi par la grande aiguille, puis par la petite.

   La grande aiguille fait un tour, soit \(2\pi\), en une heure ; la petite en fait un en douze heures :

   $$ a(t) = 2\pi t \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} b(t) = \frac{2\pi t}{12} = \frac{\pi t}{6} $$

   Vérification : au bout d'une heure, la grande a fait un tour complet, et la petite \(\frac{\pi}{6}\), soit \(30°\) - une heure de cadran.

2. Traduire par une équation le fait que les deux aiguilles sont superposées.

   Les aiguilles sont superposées lorsque les deux angles ont la même image sur le cercle, c'est-à-dire lorsque leur différence est un multiple de \(2\pi\) :

   $$ 2\pi t - \frac{\pi t}{6} = 2k\pi \hspace{2em} (k \in \mathbb{Z}) $$

   $$ \frac{11\pi t}{6} = 2k\pi $$
3. Résoudre, puis trancher : combien de superpositions entre midi et minuit ? Donner l'heure de la première après midi.

   On divise par \(\pi\), puis on isole \(t\) :

   $$ \frac{11t}{6} = 2k \quad \Longrightarrow \quad t = \frac{12k}{11} $$

   On cherche les valeurs de \(t\) dans \(\bigl[ 0 \ ; \ 12 \bigr[\), c'est-à-dire \(\frac{12k}{11} < 12\), soit \(k < 11\) :

   $$ k \in \{ 0 \ ; \ 1 \ ; \ \dots \ ; \ 10 \} $$

   $$ \text{11 superpositions, et non 12} $$

   Le voyageur a tort. Entre deux superpositions il s'écoule \(\frac{12}{11}\) heure, soit un peu plus d'une heure : la grande aiguille doit rattraper la petite, qui a avancé pendant ce temps. La première a lieu pour \(k = 1\) :

   $$ t = \frac{12}{11} \ \text{h} \approx 1.0909 \ \text{h} \hspace{2em} 0.0909 \times 60 \approx 5.45 \ \text{min} \hspace{2em} 0.45 \times 60 \approx 27 \ \text{s} $$

   $$ 13 \ \text{h} \ 05 \ \text{min} \ 27 \ \text{s} $$
4. Reprendre la même méthode pour les instants où les deux aiguilles sont diamétralement opposées, et donner l'heure du premier après midi.

   Deux points diamétralement opposés du cercle correspondent à deux réels dont la différence est \(\pi\), à un nombre entier de tours près :

   $$ \frac{11\pi t}{6} = \pi + 2k\pi \quad \Longrightarrow \quad t = \frac{6(2k + 1)}{11} $$

   Pour \(k\) de \(0\) à \(10\), on obtient encore onze instants dans les douze heures. Le premier correspond à \(k = 0\) :

   $$ t = \frac{6}{11} \ \text{h} \approx 0.5455 \ \text{h} \hspace{2em} 0.5455 \times 60 \approx 32.73 \ \text{min} \hspace{2em} 0.73 \times 60 \approx 44 \ \text{s} $$

   $$ 12 \ \text{h} \ 32 \ \text{min} \ 44 \ \text{s} $$

   Cet instant tombe exactement à mi-chemin entre midi et la première superposition : \(\frac{6}{11}\) est la moitié de \(\frac{12}{11}\). Les oppositions alternent avec les superpositions, à intervalles réguliers.