Lire le cercle trigonométrique en première

Trois gestes suffisent : ramener un réel dans le tour, lire son quart de cercle, et retrouver la valeur remarquable qui lui correspond.

Ramener un réel entre $0$ et $2\pi$

On retire ou on ajoute des tours entiers, c'est-à-dire des multiples de $2\pi$ , jusqu'à tomber dans l'intervalle voulu.

Exemple :

$$ x = \frac{17\pi}{4} $$

Un tour vaut $2\pi = \frac{8\pi}{4}$. On en retire deux :

$$ \frac{17\pi}{4} - \frac{16\pi}{4} = \frac{\pi}{4} $$

$$ \frac{17\pi}{4} \ \text{a la même image que} \ \frac{\pi}{4} $$

Le réflexe est de mettre $2\pi$ au même dénominateur que le réel de départ : la soustraction devient alors immédiate.

On repère d'abord le quart de cercle , à l'aide des quatre repères $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$ et $\frac{3\pi}{2}$.

Exemple :

Placer $\frac{5\pi}{6}$ :

$$ \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6} \qquad \text{et} \qquad \pi = \frac{6\pi}{6} $$

Comme $\frac{3\pi}{6} < \frac{5\pi}{6} < \frac{6\pi}{6}$, le point est dans le deuxième quart , juste avant $\pi$.

Ce repérage donne aussitôt les signes : deuxième quart, donc cosinus négatif et sinus positif.

On écrit le réel sous l'une des quatre formes $-x$, $\pi - x$, $\pi + x$ ou $\frac{\pi}{2} - x$, où $x$ est une valeur remarquable .

Exemple :

Calculer $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)$ :

$$ \frac{7\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6} $$

C'est le cas $\pi + x$, qui change les deux signes :

$$ \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} $$

Vérification par le dessin : $\frac{7\pi}{6}$ est dans le troisième quart, où l'ordonnée est négative . Le signe trouvé est bien le bon.

Connaissant l'un et le quart de cercle, on obtient l'autre par $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ .

Exemple :

On sait que $\cos(x) = \frac{3}{5}$, avec $x$ dans le quatrième quart. Calculer $\sin(x)$.

$$ \sin^2(x) = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $$

$$ \sin(x) = \frac{4}{5} \qquad \text{ou} \qquad \sin(x) = -\frac{4}{5} $$

Dans le quatrième quart, l'ordonnée est négative :

$$ \sin(x) = -\frac{4}{5} $$

L'équation du carré donne toujours deux solutions : c'est la position sur le cercle, et elle seule, qui tranche entre les deux.