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Variations et courbes représentatives

Parité d'une fonction

Une fonction peut présenter une symétrie, lisible sur son expression avant même de tracer sa courbe.

Fonction paire, fonction impaire

Soit \(f\) définie sur un ensemble symétrique par rapport à zéro.

$$ f \ \text{est paire} \Longleftrightarrow \forall x, \ f(-x) = f(x) $$
$$ f \ \text{est impaire} \Longleftrightarrow \forall x, \ f(-x) = -f(x) $$

La traduction est géométrique:

  1. une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
  2. une fonction impaire a une courbe symétrique par rapport à l'origine

Exemples :

$$ f(x) = x^2 \quad \text{car} \quad (-x)^2 = x^2 \qquad \text{(paire)} $$
$$ g(x) = x^3 \quad \text{car} \quad (-x)^3 = -x^3 \qquad \text{(impaire)} $$

Une fonction n'est pas forcément l'une ou l'autre : \(h(x) = x^2 + x\) n'est ni paire ni impaire. C'est même le cas le plus fréquent.

Dérivée et sens de variation

C'est le résultat central de l'année : le signe de la dérivée donne le sens de variation.

Le lien entre \(f'\) et les variations de \(f\)

Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\).

Signe de \(f'\) sur \(I\)
Sens de variation de \(f\) sur \(I\)
\(f'(x) > 0\)
\(f\) est strictement croissante
\(f'(x) < 0\)
\(f\) est strictement décroissante
\(f'(x) = 0\) sur tout \(I\)
\(f\) est constante
le signe de la dérivée décide du sens de variation

La troisième ligne est une caractérisation : une fonction est constante sur un intervalle si et seulement si sa dérivée y est nulle. C'est elle qui sert à démontrer qu'une fonction en est une autre.

Le tableau de variations

Étudier une fonction, c'est toujours la même suite de gestes :

  1. calculer \(f'(x)\)
  2. étudier le signe de \(f'\), en la factorisant si besoin
  3. en déduire les variations, et calculer les valeurs aux bornes et aux extrémums

Exemple :

$$ f(x) = x^2 - 6x + 5 \qquad \text{sur} \ \mathbb{R} $$
$$ f'(x) = 2x - 6 $$

Cette dérivée s'annule en \(3\), et change de signe puisque son coefficient directeur est positif :

$$ x $$
$$ -\infty $$
$$ 3 $$
$$ +\infty $$
$$ f'(x) $$
$$ - $$
$$ 0 $$
$$ + $$
$$ f(x) $$
Arrow
$$ -4 $$
Arrow
variations de \(f(x) = x^2 - 6x + 5\)

La valeur \(-4\) se lit en calculant \(f(3) = 9 - 18 + 5\).

Extrémums

Un extrémum

Un extrémum est un maximum ou un minimum: la fonction y change de sens de variation.

En un extrémum atteint à l'intérieur d'un intervalle, la dérivée s'annule:

$$ f'(a) = 0 $$

Géométriquement, cela signifie que la tangente y est horizontale.

La réciproque est fausse : \(f(x) = x^3\) a une dérivée nulle en \(0\) sans y admettre d'extrémum. Il faut que la dérivée change de signe, pas seulement qu'elle s'annule.

L'équation de la tangente

La tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation :

$$ y = f'(a)(x - a) + f(a) $$

Exemple :

Pour \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) au point d'abscisse \(1\) :

$$ f(1) = 0 \qquad \text{et} \qquad f'(1) = -4 $$
$$ y = -4(x - 1) + 0 $$
$$ y = -4x + 4 $$

Position relative de deux courbes

Comparer deux courbes, c'est étudier le signe de la différence des deux fonctions.

$$ \mathcal{C}_f \ \text{est au-dessus de} \ \mathcal{C}_g \Longleftrightarrow f(x) - g(x) > 0 $$

Exemple :

$$ f(x) = x^2 \qquad \text{et} \qquad g(x) = x $$
$$ d(x) = f(x) - g(x) = x^2 - x = x(x - 1) $$

Ce produit est négatif entre les racines, positif à l'extérieur :

$$ \mathcal{C}_f \ \text{est en dessous de} \ \mathcal{C}_g \ \text{sur} \ \Bigl] 0 \ ; \ 1 \Bigr[ $$

Le même raisonnement démontre une inégalité: prouver que \(f(x) \geqslant g(x)\) revient à montrer que la différence garde un signe positif.

Résoudre un problème d'optimisation

Optimiser, c'est chercher un extrémum. La difficulté n'est jamais le calcul, mais la mise en équation.

  1. nommer la variable et donner l'intervalle où elle a un sens
  2. exprimer la quantité à optimiser en fonction de cette variable
  3. dériver, dresser le tableau, et conclure par une phrase répondant à la question posée

L'intervalle de définition n'est pas une formalité : une longueur négative n'a pas de sens, et l'extrémum cherché se trouve parfois à une borne plutôt qu'en un point où la dérivée s'annule.