Problèmes sur les variations et l'optimisation

L'enclos contre le mur

Un éleveur dispose de \(60 \ \text{m}\) de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire. L'un des côtés est un mur existant, qu'il n'a pas besoin de grillager. On note \(x\) la largeur, en mètres, des deux côtés perpendiculaires au mur.

1. Exprimer la longueur du côté parallèle au mur en fonction de \(x\).

   Le grillage couvre deux largeurs et une longueur :

   $$ L = 60 - 2x $$
2. En déduire l'aire \(\mathcal{A}(x)\) de l'enclos, et l'intervalle sur lequel \(x\) a un sens.
   $$ \mathcal{A}(x) = x(60 - 2x) = -2x^2 + 60x $$

   La largeur est positive et la longueur aussi, donc \(60 - 2x > 0\) :

   $$ x \in \Bigl] 0 \ ; \ 30 \Bigr[ $$
3. Déterminer les dimensions donnant l'aire maximale.
   $$ \mathcal{A}'(x) = -4x + 60 $$

   Elle s'annule en \(x = 15\), et le coefficient de \(x^2\) est négatif : c'est un maximum.

   $$ x = 15 \ \text{m} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} L = 30 \ \text{m} $$

   L'aire maximale vaut alors \(15 \times 30 = 450 \ \text{m}^2\).

4. Sans le mur, avec le même grillage, quelle serait l'aire maximale ? Commenter.

   Le périmètre complet vaudrait \(60 \ \text{m}\), donc un carré de côté \(15 \ \text{m}\), d'aire \(225 \ \text{m}^2\).

   Le mur permet donc de doubler l'aire à grillage égal.

La boîte sans couvercle

Dans une plaque carrée de \(24 \ \text{cm}\) de côté, on découpe un carré de côté \(x\) à chaque coin, puis on relève les bords pour former une boîte sans couvercle.

1. Exprimer le volume \(V(x)\) de la boîte, et donner l'intervalle de \(x\).

   La base est un carré de côté \(24 - 2x\), et la hauteur vaut \(x\) :

   $$ V(x) = x(24 - 2x)^2 $$

   $$ x \in \Bigl] 0 \ ; \ 12 \Bigr[ $$
2. Développer \(V(x)\), puis calculer \(V'(x)\).
   $$ V(x) = x\left(576 - 96x + 4x^2\right) = 4x^3 - 96x^2 + 576x $$

   $$ V'(x) = 12x^2 - 192x + 576 $$
3. Résoudre \(V'(x) = 0\), et en déduire la valeur de \(x\) qui rend le volume maximal.

   On divise par \(12\) :

   $$ x^2 - 16x + 48 = 0 $$

   $$ \Delta = 256 - 192 = 64 \hspace{2em} \sqrt{\Delta} = 8 $$

   $$ x_1 = \frac{16 - 8}{2} = 4 \hspace{2em} x_2 = \frac{16 + 8}{2} = 12 $$

   Seule \(x = 4\) appartient à l'intervalle. Le volume est alors maximal :

   $$ V(4) = 4 \times 16^2 = 1 \ 024 \ \text{cm}^3 $$
4. Pourquoi la racine \(x = 12\) était-elle à écarter, sans même faire de calcul ?

   Pour \(x = 12\), la base mesurerait \(24 - 24 = 0 \ \text{cm}\) de côté : il ne resterait plus de fond, et le volume serait nul. C'est une borne de l'intervalle, pas une solution.

Parité de fonctions

1. Indiquer si chacune des fonctions suivantes est paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre.
   $$ f(x) = \frac{1}{x} + x $$

   $$ g(x) = \frac{1}{x^2} $$

   $$ h(x) = |\, x \,| - 1 $$

   $$ i(x) = x^3 + x^2 $$

   $$ j(x) = x + x^3 - x^5 $$

   \(f\) et \(g\) sont définies sur \(\mathbb{R}^*\), les trois autres sur \(\mathbb{R}\) : dans chaque cas, si \(x\) est dans l'ensemble de définition, \(- x\) l'est aussi.

   $$ f(- x) = \frac{1}{- x} - x = - \left( \frac{1}{x} + x \right) = - f(x) $$

   $$ f \ \text{est impaire} $$

   $$ g(- x) = \frac{1}{(- x)^2} = \frac{1}{x^2} = g(x) $$

   $$ g \ \text{est paire} $$

   $$ h(- x) = |\, - x \,| - 1 = |\, x \,| - 1 = h(x) $$

   $$ h \ \text{est paire} $$

   Pour \(i\), un contre-exemple suffit :

   $$ i(1) = 2 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} i(- 1) = - 1 + 1 = 0 $$

   \(i(- 1) \neq i(1)\), donc \(i\) n'est pas paire ; \(i(- 1) \neq - i(1)\), donc \(i\) n'est pas impaire.

   $$ i \ \text{n'est ni paire ni impaire} $$

   $$ j(- x) = - x + (- x)^3 - (- x)^5 = - x - x^3 + x^5 = - \bigl( x + x^3 - x^5 \bigr) = - j(x) $$

   $$ j \ \text{est impaire} $$
2. Démontrer que la somme de deux fonctions paires est paire, et que la somme de deux fonctions impaires est impaire.

   Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions paires, définies sur un même ensemble, et \(s = f + g\) :

   $$ s(- x) = f(- x) + g(- x) = f(x) + g(x) = s(x) $$

   $$ f + g \ \text{est paire} $$

   Si \(f\) et \(g\) sont impaires :

   $$ s(- x) = f(- x) + g(- x) = - f(x) - g(x) = - \bigl( f(x) + g(x) \bigr) = - s(x) $$

   $$ f + g \ \text{est impaire} $$
3. Démontrer que le produit d'une fonction impaire et d'une fonction paire est une fonction impaire.

   Soit \(f\) impaire, \(g\) paire, définies sur un même ensemble, et \(p = f \times g\) :

   $$ p(- x) = f(- x) \times g(- x) = - f(x) \times g(x) = - p(x) $$

   $$ f \times g \ \text{est impaire} $$

Deux tarifs d'électricité

Un fournisseur propose deux formules, pour une consommation de \(x\) mégawattheures par an, avec \(x\) compris entre \(0\) et \(12\) :

1. Étudier le signe de \(d(x) = B(x) - A(x)\) sur \(\bigl[0 \ ; \ 12\bigr]\).
   $$ d(x) = 10x^2 + 50x + 300 - 130x - 180 $$

   $$ d(x) = 10x^2 - 80x + 120 $$

   On divise par \(10\), puis on calcule le discriminant :

   $$ x^2 - 8x + 12 = 0 \hspace{2em} \Delta = 64 - 48 = 16 $$

   $$ x_1 = 2 \hspace{2em} x_2 = 6 $$

   Le coefficient dominant est positif : \(d\) est négative entre les racines, positive à l'extérieur.

2. En déduire, selon la consommation, la formule la plus avantageuse.

   \(d(x) < 0\) signifie \(B(x) < A(x)\), donc B est moins chère :

   $$ \text{B est meilleure sur} \ \Bigl] 2 \ ; \ 6 \Bigr[ $$

   A est meilleure sur \(\bigl[0 \ ; \ 2\bigr[\) et sur \(\bigl] 6 \ ; \ 12 \bigr]\).

3. Un client consomme \(4 \ \text{MWh}\). Quelle est son économie annuelle en choisissant bien ?
   $$ A(4) = 700 \ \text{€} \hspace{2em} B(4) = 660 \ \text{€} $$

   $$ \text{économie} = 40 \ \text{€} $$
4. Le fournisseur affirme : « la formule B est toujours plus intéressante ». Réfuter cette affirmation.

   Un seul contre-exemple suffit. Pour \(x = 10\) :

   $$ A(10) = 1 \ 480 \ \text{€} \hspace{2em} B(10) = 1 \ 800 \ \text{€} $$

   La formule B coûte alors \(320 \ \text{€}\) de plus. L'affirmation est fausse.

Le parking du centre commercial

Un centre commercial ouvre à \(8 \ \text{h}\) et ferme à \(19 \ \text{h}\). Son parking compte \(200\) places. Le nombre de voitures garées \(t\) heures après l'ouverture est modélisé sur \(\bigl[0 \ ; \ 11\bigr]\) par :

1. Calculer \(N'(t)\), la factoriser, puis dresser le tableau de variations de \(N\) sur \(\bigl[0 \ ; \ 11\bigr]\).

   $$ t $$	$$ 0 $$	$$ \hspace{10em} $$	$$ 11 $$
   $$ N(t) $$

   $$ N'(t) = 3t^2 - 30t + 48 = 3 \left( t^2 - 10t + 16 \right) $$

   Le trinôme entre parenthèses a pour racines \(2\) et \(8\), de somme \(10\) et de produit \(16\) :

   $$ N'(t) = 3(t - 2)(t - 8) $$

   Le coefficient dominant est positif : \(N'\) est positive à l'extérieur des racines, négative entre elles.

   $$ t $$	$$ 0 $$		$$ 2 $$		$$ 8 $$		$$ 11 $$
   $$ N'(t) $$	$$ + $$		$$ 0 $$	$$ - $$	$$ 0 $$	$$ + $$
   $$ N(t) $$	$$ 120 $$		$$ 164 $$		$$ 56 $$		$$ 164 $$

   Les valeurs se calculent en remplaçant : \(N(0) = 120\), \(N(2) = 164\), \(N(8) = 56\) et \(N(11) = 164\).

2. En déduire l'heure de plus forte et l'heure de plus faible affluence, puis démontrer que le parking n'est jamais saturé.

   L'heure se lit en ajoutant \(t\) à \(8 \ \text{h}\) : le maximum est atteint en \(t = 2\), le minimum en \(t = 8\).

   $$ 164 \ \text{voitures à } 10 \ \text{h} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 56 \ \text{voitures à } 16 \ \text{h} $$

   Le tableau donne le maximum de \(N\) sur tout l'intervalle : \(N(t) \leqslant 164\) pour tout \(t\) de \(\bigl[0 \ ; \ 11\bigr]\). Comme \(164 < 200\), il reste toujours au moins \(36\) places libres.

3. Déterminer toutes les heures où le parking accueille exactement \(164\) voitures. On pourra écrire \(t^3 - 15t^2 + 48t - 44 = (t - 2)\left(t^2 + at + b\right)\).
   $$ N(t) = 164 \quad \Longleftrightarrow \quad t^3 - 15t^2 + 48t - 44 = 0 $$

   Le tableau donne déjà une racine évidente, \(t = 2\). On développe la forme proposée et on identifie les coefficients :

   $$ (t - 2)\left(t^2 + at + b\right) = t^3 + (a - 2)t^2 + (b - 2a)t - 2b $$

   $$ a - 2 = - 15 \hspace{2em} -2b = - 44 $$

   $$ t^3 - 15t^2 + 48t - 44 = (t - 2)\left(t^2 - 13t + 22\right) $$

   Le terme en \(t\) confirme l'identification : \(b - 2a = 22 + 26 = 48\). On résout le second facteur :

   $$ \Delta = 169 - 88 = 81 \hspace{2em} \sqrt{\Delta} = 9 $$

   $$ t_1 = \frac{13 - 9}{2} = 2 \hspace{2em} t_2 = \frac{13 + 9}{2} = 11 $$

   Une équation du troisième degré a au plus trois racines : celles-ci sont \(2\), \(2\) et \(11\). Il n'y a donc que deux instants, et pas d'autres.

   $$ 164 \ \text{voitures à } 10 \ \text{h} \ \text{et à } 19 \ \text{h} $$

   La racine double en \(2\) était prévisible : la courbe y atteint un maximum, donc elle touche la droite sans la traverser.

4. À quel moment le parking se vide-t-il le plus vite, et à quel rythme ? Justifier par la forme canonique de \(N'\).

   Se vider le plus vite, c'est rendre \(N'(t)\) le plus petit possible. On met \(N'\) sous forme canonique :

   $$ N'(t) = 3 \left( t^2 - 10t + 16 \right) = 3 \left[ (t - 5)^2 - 25 + 16 \right] $$

   $$ N'(t) = 3(t - 5)^2 - 27 $$

   Un carré est positif, donc \(N'(t) \geqslant - 27\), avec égalité si et seulement si \(t = 5\).

   $$ \text{à } 13 \ \text{h} \text{, le parking perd } 27 \ \text{voitures par heure} $$

L'épaisseur de l'isolant

Une famille isole les murs de sa maison. Pour un mur d'un mètre carré et une épaisseur d'isolant de \(e\) centimètres, avec \(e \in \bigl[0 \ ; \ 30\bigr]\), l'isolant posé coûte \(5e\) euros, et le chauffage perdu par ce mur coûte \(\frac{720}{e + 2}\) euros sur quinze ans. La dépense totale, en euros, vaut donc :

1. Compléter le tableau de valeurs suivant.

   \(e\) (cm)	\(0\)	\(4\)	\(8\)	\(10\)	\(14\)	\(18\)
   \(C(e)\) en \(\text{€}\)	\(360\)

   \(e\) (cm)	\(0\)	\(4\)	\(8\)	\(10\)	\(14\)	\(18\)
   \(C(e)\) en \(\text{€}\)	\(360\)	\(140\)	\(112\)	\(110\)	\(115\)	\(126\)

   Par exemple \(C(8) = 40 + \frac{720}{10} = 112\). La dépense chute d'abord très vite, puis se met à remonter doucement.

2. Calculer \(C'(e)\), montrer qu'elle s'écrit \(\frac{5(e - 10)(e + 14)}{(e + 2)^2}\), puis dresser le tableau de variations de \(C\) sur \(\bigl[0 \ ; \ 30\bigr]\).

   $$ e $$	$$ 0 $$	$$ \hspace{10em} $$	$$ 30 $$
   $$ C(e) $$

   La dérivée de \(\frac{720}{e + 2}\) vaut \(- \frac{720}{(e + 2)^2}\) :

   $$ C'(e) = 5 - \frac{720}{(e + 2)^2} = \frac{5(e + 2)^2 - 720}{(e + 2)^2} = \frac{5 \left[ (e + 2)^2 - 144 \right]}{(e + 2)^2} $$

   La parenthèse est une différence de deux carrés, avec \(144 = 12^2\) :

   $$ C'(e) = \frac{5(e + 2 - 12)(e + 2 + 12)}{(e + 2)^2} = \frac{5(e - 10)(e + 14)}{(e + 2)^2} $$

   Sur \(\bigl[0 \ ; \ 30\bigr]\), le facteur \(e + 14\) et le dénominateur sont strictement positifs : \(C'(e)\) est du signe de \(e - 10\).

   $$ e $$	$$ 0 $$		$$ 10 $$		$$ 30 $$
   $$ C'(e) $$	$$ - $$		$$ 0 $$	$$ + $$
   $$ C(e) $$	$$ 360 $$		$$ 110 $$		$$ 172.5 $$

   $$ \text{dépense minimale de } 110 \ \text{€} \ \text{par mètre carré, pour } 10 \ \text{cm d'isolant} $$
3. Le père affirme : « plus on met d'isolant, plus on économise : montons à \(30 \ \text{cm}\) ». La mère affirme : « l'isolant coûte cher, autant ne pas isoler ». Trancher.

   Le père : au-delà de \(10 \ \text{cm}\), \(C\) est croissante.

   $$ C(30) = 150 + \frac{720}{32} = 150 + 22.5 = 172.5 $$

   Les \(20 \ \text{cm}\) supplémentaires coûtent \(100 \ \text{€}\) de pose et n'économisent que \(37.50 \ \text{€}\) de chauffage : il a tort.

   La mère : sans isolant, la dépense vaut \(C(0) = 360 \ \text{€}\), plus du triple du minimum. Elle a tort aussi.

   $$ \text{ni l'un ni l'autre : le bon choix est } 10 \ \text{cm} \text{, pour } 110 \ \text{€} \ \text{le mètre carré} $$
4. Le prix de l'énergie est multiplié par \(4\) : le terme de chauffage devient \(\frac{2 \ 880}{e + 2}\). Déterminer la nouvelle épaisseur la plus économique.

   On note \(C_1(e) = 5e + \frac{2 \ 880}{e + 2}\), et on reprend le même calcul avec \(576 = 24^2\) :

   $$ C_1'(e) = 5 - \frac{2 \ 880}{(e + 2)^2} = \frac{5 \left[ (e + 2)^2 - 576 \right]}{(e + 2)^2} $$

   $$ C_1'(e) = \frac{5(e - 22)(e + 26)}{(e + 2)^2} $$

   Comme précédemment, \(C_1'(e)\) est du signe de \(e - 22\) : \(C_1\) décroît jusqu'à \(22\), puis croît.

   $$ C_1(22) = 110 + \frac{2 \ 880}{24} = 110 + 120 = 230 $$

   $$ 22 \ \text{cm d'isolant, pour } 230 \ \text{€} \ \text{le mètre carré} $$

   Quadrupler le prix de l'énergie fait plus que doubler l'épaisseur à poser : plus le chauffage coûte cher, plus il est rentable d'isoler épais.