Problèmes d'optimisation

L'enclos contre le mur

Un éleveur dispose de \(60 \ \text{m}\) de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire. L'un des côtés est un mur existant, qu'il n'a pas besoin de grillager. On note \(x\) la largeur, en mètres, des deux côtés perpendiculaires au mur.

1. Exprimer la longueur du côté parallèle au mur en fonction de \(x\).

   Le grillage couvre deux largeurs et une longueur :

   $$ L = 60 - 2x $$
2. En déduire l'aire \(\mathcal{A}(x)\) de l'enclos, et l'intervalle sur lequel \(x\) a un sens.
   $$ \mathcal{A}(x) = x(60 - 2x) = -2x^2 + 60x $$

   La largeur est positive et la longueur aussi, donc \(60 - 2x > 0\) :

   $$ x \in \Bigl] 0 \ ; \ 30 \Bigr[ $$
3. Déterminer les dimensions donnant l'aire maximale.
   $$ \mathcal{A}'(x) = -4x + 60 $$

   Elle s'annule en \(x = 15\), et le coefficient de \(x^2\) est négatif : c'est un maximum.

   $$ x = 15 \ \text{m} \qquad \text{et} \qquad L = 30 \ \text{m} $$

   L'aire maximale vaut alors \(15 \times 30 = 450 \ \text{m}^2\).

4. Sans le mur, avec le même grillage, quelle serait l'aire maximale ? Commenter.

   Le périmètre complet vaudrait \(60 \ \text{m}\), donc un carré de côté \(15 \ \text{m}\), d'aire \(225 \ \text{m}^2\).

   Le mur permet donc de doubler l'aire à grillage égal.

La boîte sans couvercle

Dans une plaque carrée de \(24 \ \text{cm}\) de côté, on découpe un carré de côté \(x\) à chaque coin, puis on relève les bords pour former une boîte sans couvercle.

1. Exprimer le volume \(V(x)\) de la boîte, et donner l'intervalle de \(x\).

   La base est un carré de côté \(24 - 2x\), et la hauteur vaut \(x\) :

   $$ V(x) = x(24 - 2x)^2 $$

   $$ x \in \Bigl] 0 \ ; \ 12 \Bigr[ $$
2. Développer \(V(x)\), puis calculer \(V'(x)\).
   $$ V(x) = x\left(576 - 96x + 4x^2\right) = 4x^3 - 96x^2 + 576x $$

   $$ V'(x) = 12x^2 - 192x + 576 $$
3. Résoudre \(V'(x) = 0\), et en déduire la valeur de \(x\) qui rend le volume maximal.

   On divise par \(12\) :

   $$ x^2 - 16x + 48 = 0 $$

   $$ \Delta = 256 - 192 = 64 \qquad \sqrt{\Delta} = 8 $$

   $$ x_1 = \frac{16 - 8}{2} = 4 \qquad x_2 = \frac{16 + 8}{2} = 12 $$

   Seule \(x = 4\) appartient à l'intervalle. Le volume est alors maximal :

   $$ V(4) = 4 \times 16^2 = 1 \ 024 \ \text{cm}^3 $$
4. Pourquoi la racine \(x = 12\) était-elle à écarter, sans même faire de calcul ?

   Pour \(x = 12\), la base mesurerait \(24 - 24 = 0 \ \text{cm}\) de côté : il ne resterait plus de fond, et le volume serait nul. C'est une borne de l'intervalle, pas une solution.

Deux tarifs d'électricité

Un fournisseur propose deux formules, pour une consommation de \(x\) mégawattheures par an, avec \(x\) compris entre \(0\) et \(12\) :

1. Étudier le signe de \(d(x) = B(x) - A(x)\) sur \(\bigl[0 \ ; \ 12\bigr]\).
   $$ d(x) = 10x^2 + 50x + 300 - 130x - 180 $$

   $$ d(x) = 10x^2 - 80x + 120 $$

   On divise par \(10\), puis on calcule le discriminant :

   $$ x^2 - 8x + 12 = 0 \qquad \Delta = 64 - 48 = 16 $$

   $$ x_1 = 2 \qquad x_2 = 6 $$

   Le coefficient dominant est positif : \(d\) est négative entre les racines, positive à l'extérieur.

2. En déduire, selon la consommation, la formule la plus avantageuse.

   \(d(x) < 0\) signifie \(B(x) < A(x)\), donc B est moins chère :

   $$ \text{B est meilleure sur} \ \Bigl] 2 \ ; \ 6 \Bigr[ $$

   A est meilleure sur \(\bigl[0 \ ; \ 2\bigr[\) et sur \(\bigl] 6 \ ; \ 12 \bigr]\).

3. Un client consomme \(4 \ \text{MWh}\). Quelle est son économie annuelle en choisissant bien ?
   $$ A(4) = 700 \ \text{€} \qquad B(4) = 660 \ \text{€} $$

   $$ \text{économie} = 40 \ \text{€} $$
4. Le fournisseur affirme : « la formule B est toujours plus intéressante ». Réfuter cette affirmation.

   Un seul contre-exemple suffit. Pour \(x = 10\) :

   $$ A(10) = 1 \ 480 \ \text{€} \qquad B(10) = 1 \ 800 \ \text{€} $$

   La formule B coûte alors \(320 \ \text{€}\) de plus. L'affirmation est fausse.