Étudier une fonction en première

Étudier une fonction suit toujours le même enchaînement. Ce qui change d'un exercice à l'autre, c'est la factorisation de la dérivée , qui décide de tout le reste.

1. Dériver

On calcule $f'(x)$ avec les formules usuelles, sans chercher à simplifier tout de suite.

Exemple :

$$ f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1 $$

$$ f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 $$

2. Factoriser la dérivée

C'est l'étape décisive : on ne peut donner le signe d'une somme, mais on sait donner celui d'un produit .

Ici la dérivée est un polynôme du second degré, dont on cherche les racines :

$$ \Delta = (-6)^2 - 4 \times 3 \times (-9) = 36 + 108 = 144 $$

$$ x_1 = \frac{6 - 12}{6} = -1 \qquad x_2 = \frac{6 + 12}{6} = 3 $$

$$ f'(x) = 3(x + 1)(x - 3) $$

Ne pas oublier le coefficient $3$ devant : une factorisation qui perd le coefficient dominant change la fonction , même si elle ne change pas le signe ici.

3. Dresser le tableau de signes, puis de variations

Un polynôme du second degré est du signe de son coefficient dominant à l'extérieur des racines , et du signe contraire entre elles.

variations de $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$

$$ x $$	$$ -\infty $$		$$ -1 $$		$$ 3 $$		$$ +\infty $$
$$ f'(x) $$	$$ + $$	$$ 0 $$	$$ - $$	$$ 0 $$	$$ + $$
$$ f(x) $$		$$ 6 $$		$$ -26 $$

Les deux valeurs se calculent en remplaçant : $f(-1) = 6$ et $f(3) = -26$.

4. Conclure

On nomme les extrémums, en précisant où ils sont atteints et s'ils sont locaux ou globaux .

Ici $f$ admet un maximum local de $6$ en $-1$, et un minimum local de $-26$ en $3$. Aucun des deux n'est global, puisque la fonction repart vers l'infini de part et d'autre.

Un extrémum est local s'il n'est le plus grand (ou le plus petit) que dans son voisinage, et global s'il l'est sur tout l'ensemble de définition.

Le cas particulier du second degré

Pour $f(x) = ax^2 + bx + c$, l'étude se fait sans dériver : le sommet est en $x = -\frac{b}{2a}$.

$$ a > 0 : \text{parabole tournée vers le haut, minimum au sommet} $$

$$ a < 0 : \text{parabole tournée vers le bas, maximum au sommet} $$

La dérivation redonne exactement ce résultat : $f'(x) = 2ax + b$ s'annule en $-\frac{b}{2a}$.