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La géométrie repérée

Un vecteur normal pour les droites, un centre et un rayon pour les cercles : chacun donne son équation.

Deux bateaux suivent chacun un cap rectiligne, relevés au radar. Vont-ils se croiser, et à quel endroit ?

Sur la carte, la question se règle sans tracer : deux équations, un système, un point.

En repère, une droite devient une équation : l'intersection se calcule au lieu de se dessiner.

Dans tout ce chapitre, le plan est rapporté à un repère orthonormé: les formules qui suivent sont fausses sans cette hypothèse.

Le vecteur normal à une droite

Un vecteur normal

Un vecteur normal à une droite est un vecteur non nul orthogonal à sa direction.

Une droite en admet une infinité, tous colinéaires entre eux - mais un seul suffit à la caractériser.

$$ \vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \ \text{est normal à la droite d'équation} \ ax + by + c = 0 $$

Les coefficients de l'équation sont les coordonnées du vecteur normal. C'est le résultat le plus rentable du chapitre : il se lit sans aucun calcul.

Vecteur normal et équation cartésienne

Soient \(M(x \ ; \ y)\) et \(M'(x' \ ; \ y')\) deux points de la droite. Chacun vérifie son équation :

$$ ax + by + c = 0 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} ax' + by' + c = 0 $$

On soustrait la première à la seconde, et les \(c\) disparaissent :

$$ a(x' - x) + b(y' - y) = 0 $$

Or \(\overrightarrow{MM'}\) a pour coordonnées \((x' - x \ ; \ y' - y)\), donc cette égalité s'écrit :

$$ \vec{n} \cdot \overrightarrow{MM'} = 0 $$

Le vecteur \(\vec{n}\) est orthogonal à tout vecteur directeur de la droite : il lui est bien normal.

Exemple :

$$ d : 3x - 5y + 2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad \vec{n}\begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix} $$

Un vecteur directeur s'en déduit en échangeant les coordonnées et en changeant un signe:

$$ \vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} \ \text{est directeur} $$

Équation d'une droite par un point et un vecteur normal

Un point \(M(x \ ; \ y)\) appartient à la droite passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec{n}\) si et seulement si \(\overrightarrow{AM}\) est orthogonal à \(\vec{n}\):

$$ \vec{n} \cdot \overrightarrow{AM} = 0 $$

Exemple :

Droite passant par \(A(2 \ ; \ -1)\), de vecteur normal \(\vec{n}(4 \ ; \ 3)\) :

$$ 4(x - 2) + 3(y + 1) = 0 $$
$$ 4x - 8 + 3y + 3 = 0 $$
$$ 4x + 3y - 5 = 0 $$
Une droite dans un repere et un vecteur normal O 1 1 (d) n (2 ; −3) 2x − 3y = 0 Une droite dans un repere et un vecteur normal - support à compléter O 1 1 (d)

On peut vérifier en une ligne : les coefficients obtenus, \(4\) et \(3\), sont bien les coordonnées du vecteur normal de départ. Et \(A\) doit annuler l'équation - \(8 - 3 - 5 = 0\).

Le projeté orthogonal d'un point sur une droite

Le projeté orthogonal

Le projeté orthogonal de \(A\) sur une droite \(d\) est le point de \(d\) le plus proche de \(A\). Le segment qui les joint est perpendiculaire à \(d\).

Deux conditions le déterminent, et il suffit de les traduire :

  1. \(H\) appartient à \(d\) : ses coordonnées vérifient l'équation
  2. \(\overrightarrow{AH}\) est colinéaire au vecteur normal de \(d\)

Exemple :

Projeté de \(A(5 \ ; \ 4)\) sur \(d : x + 2y - 4 = 0\).

Le vecteur normal est \(\vec{n}(1 \ ; \ 2)\). On écrit \(H = A + t \, \vec{n}\) :

$$ H\begin{pmatrix} 5 + t \\ 4 + 2t \end{pmatrix} $$

On reporte dans l'équation de \(d\) :

$$ (5 + t) + 2(4 + 2t) - 4 = 0 $$
$$ 5t + 9 = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = -\frac{9}{5} $$
$$ H\left( \frac{16}{5} \ ; \ \frac{2}{5} \right) $$

La distance de \(A\) à la droite est alors la longueur \(AH\):

$$ AH = \frac{9\sqrt{5}}{5} \approx 4.02 $$
Un point M, une droite et le projete orthogonal H O 1 1 (d) M H MH Un point M, une droite et le projete orthogonal H - support à compléter O 1 1 (d) M

L'équation d'un cercle

Équation d'un cercle

Le cercle de centre \(\Omega(a \ ; \ b)\) et de rayon \(R\) est l'ensemble des points situés à la distance \(R\) du centre:

$$ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 $$

Cette écriture vient directement de la distance : \(\Omega M = R\) élevé au carré. C'est le théorème de Pythagore écrit en coordonnées.

Exemple :

Cercle de centre \(\Omega(3 \ ; \ -2)\) et de rayon \(5\) :

$$ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 $$
Un cercle de centre Omega et de rayon trois dans un repere O 1 1 Ω 3 (x − 2)² + (y + 1)² = 9 Un cercle de centre Omega et de rayon trois dans un repere - support à compléter O 1 1

Reconnaître un cercle sous forme développée

Une équation développée se ramène à la forme précédente en complétant les carrés, comme pour la forme canonique du second degré.

Exemple :

$$ x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0 $$

On regroupe les \(x\) ensemble, les \(y\) ensemble :

$$ \underbrace{x^2 - 6x}_{(x-3)^2 - 9} + \underbrace{y^2 + 4y}_{(y+2)^2 - 4} - 12 = 0 $$
$$ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 - 9 - 4 - 12 = 0 $$
$$ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 $$

C'est le cercle de centre \(\Omega(3 \ ; \ -2)\) et de rayon \(5\).

Toutes les équations de cette forme ne sont pas des cercles : si le second membre obtenu est négatif, l'ensemble est vide ; s'il est nul, il se réduit au seul point \(\Omega\).

Utiliser un repère pour étudier une figure

Face à une configuration géométrique, se placer dans un repère bien choisi transforme un raisonnement en un calcul. Le bon repère est celui qui donne le plus de zéros aux coordonnées.

  1. placer l'origine sur un sommet, ou au centre de la figure
  2. aligner les axes sur des côtés perpendiculaires, quand la figure en offre
  3. exprimer tous les points, puis traduire la question en produit scalaire, distance ou équation

Un repère bien choisi ne change pas le résultat, seulement la longueur du calcul. Un carré placé avec un sommet à l'origine et deux côtés sur les axes se traite en trois lignes ; le même carré posé de travers en demande vingt.