Retour
Un repère bien posé transforme une figure en calculs. Ces trois problèmes le montrent sur des situations différentes : une trajectoire à couper perpendiculairement, une zone de couverture circulaire, et une configuration classique du collège reprise en coordonnées.
Déterminer l'équation d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur normal.
Calculer les coordonnées d'un projeté orthogonal, et la distance d'un point à une droite.
Reconnaître une équation de cercle, en donner centre et rayon.
Choisir un repère pour étudier une configuration géométrique.
La bouée et le chenal
Dans un repère orthonormé où l'unité vaut \(100 \ \text{m}\), un chenal de navigation suit la droite \(d\) d'équation \(x + 2y - 4 = 0\). Une bouée est mouillée au point \(A(5 \ ; \ 4)\).
-
Donner un vecteur normal et un vecteur directeur de \(d\).$$ \vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \qquad \vec{u}\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} $$
-
Déterminer l'équation de la droite passant par \(A\) et perpendiculaire à \(d\).
Elle a pour vecteur normal le vecteur directeur de \(d\) :
$$ -2(x - 5) + 1(y - 4) = 0 $$$$ -2x + y + 6 = 0 $$ -
Calculer les coordonnées du projeté orthogonal \(H\) de \(A\) sur \(d\).$$ H\begin{pmatrix} 5 + t \\ 4 + 2t \end{pmatrix} \quad \text{avec} \quad (5+t) + 2(4+2t) - 4 = 0 $$$$ 5t + 9 = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = -\frac{9}{5} $$$$ H\left( \frac{16}{5} \ ; \ \frac{2}{5} \right) $$
-
En déduire la distance de la bouée au chenal, en mètres, arrondie à l'unité.$$ AH = |t| \times \| \vec{n} \| = \frac{9}{5} \times \sqrt{5} = \frac{9\sqrt{5}}{5} $$$$ AH \approx 4{,}02 \ \text{unités} $$$$ AH \approx 402 \ \text{m} $$
La zone de couverture
Une antenne couvre la zone décrite, dans un repère orthonormé gradué en kilomètres, par l'ensemble des points vérifiant :
-
Montrer que cette équation est celle d'un cercle, et en donner le centre et le rayon.$$ (x - 5)^2 - 25 + (y + 3)^2 - 9 + 9 = 0 $$$$ (x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 25 $$
Centre \(\Omega(5 \ ; \ -3)\), rayon \(5 \ \text{km}\).
-
Un village se situe en \(V(1 \ ; \ 0)\). Est-il couvert ?$$ \Omega V = \sqrt{(1-5)^2 + (0+3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 $$
La distance vaut exactement le rayon : le village est \(\textit{sur}\) la limite de la zone.
-
Un second village est en \(W(8 \ ; \ 1)\). Est-il couvert ?$$ \Omega W = \sqrt{9 + 16} = 5 $$
Lui aussi est exactement sur le cercle : il est à la limite de la couverture.
-
Quelle serait l'aire couverte si le rayon augmentait de \(20 \ \%\) ? Arrondir au km².
Le nouveau rayon vaut \(5 \times 1{,}2 = 6 \ \text{km}\) :
$$ \mathcal{A} = \pi \times 6^2 = 36\pi $$$$ \mathcal{A} \approx 113 \ \text{km}^2 $$L'aire initiale valait \(25\pi \approx 79 \ \text{km}^2\) : elle augmente de \(44 \ \%\), et non de \(20 \ \%\).
Les diagonales du losange
On veut redémontrer, en coordonnées, que les diagonales d'un losange sont perpendiculaires . On place le losange \(ABCD\) dans un repère orthonormé bien choisi.
-
On pose \(A(0 \ ; \ 0)\), \(B(p \ ; \ q)\) et \(D(p \ ; \ -q)\). Justifier que ce choix ne perd aucune généralité.
L'origine peut toujours être placée sur un sommet, et les axes orientés de sorte que la diagonale \(\bigl[AC\bigr]\) porte l'axe des abscisses.
Le losange étant symétrique par rapport à cette diagonale, \(B\) et \(D\) sont alors symétriques par rapport à l'axe des abscisses, donc de la forme \((p \ ; \ q)\) et \((p \ ; \ -q)\).
-
Déterminer les coordonnées de \(C\).
\(ABCD\) est un parallélogramme, donc \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) :
$$ C = D + \overrightarrow{AB} = (p + p \ ; \ -q + q) $$$$ C(2p \ ; \ 0) $$ -
Calculer \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}\), et conclure.$$ \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2p \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{BD}\begin{pmatrix} 0 \\ -2q \end{pmatrix} $$$$ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 2p \times 0 + 0 \times (-2q) $$$$ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0 $$
Les diagonales sont perpendiculaires, quels que soient \(p\) et \(q\).
-
Où le choix du repère a-t-il fait le travail ?
En posant \(\bigl[AC\bigr]\) sur l'axe des abscisses, on a rendu \(\overrightarrow{AC}\) horizontal et \(\overrightarrow{BD}\) vertical : le produit scalaire ne pouvait qu'être nul.
La démonstration reste valable, mais elle montre surtout qu'un repère bien choisi déplace la difficulté vers la justification du choix - c'est la première question qui porte le raisonnement.