Droites, projetés et cercles en première

Trois questions reviennent : écrire l'équation d'une droite, projeter un point dessus, reconnaître un cercle. Chacune se ramène à un vecteur normal ou à une distance .

Lire un vecteur normal, un vecteur directeur

Les coefficients de l'équation donnent directement le vecteur normal ; le directeur s'en déduit par échange et changement de signe.

Droite	Vecteur normal	Vecteur directeur
$$ 2x + 5y - 1 = 0 $$	$$ \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} $$	$$ \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix} $$
$$ y = 3x + 4 $$	$$ \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix} $$	$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} $$

passer d'une écriture à l'autre

Une équation réduite $y = mx + p$ doit d'abord être ramenée à la forme $ax + by + c = 0$ : ici $-3x + y - 4 = 0$.

Écrire l'équation d'une droite

On part de $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AM} = 0$ , et on développe.

Exemple :

Droite passant par $B(-3 \ ; \ 5)$, perpendiculaire à $\vec{n}(2 \ ; \ -7)$ :

$$ 2\bigl(x - (-3)\bigr) - 7(y - 5) = 0 $$

$$ 2x + 6 - 7y + 35 = 0 $$

$$ 2x - 7y + 41 = 0 $$

On vérifie toujours en remplaçant : $2 \times (-3) - 7 \times 5 + 41 = -6 - 35 + 41 = 0$ . Le point est bien sur la droite.

Projeter un point sur une droite

On écrit $H = A + t \, \vec{n}$, on reporte dans l'équation, et on résout en $t$ .

Exemple :

Projeté de $A(1 \ ; \ 7)$ sur $d : 3x - y + 2 = 0$, de vecteur normal $\vec{n}(3 \ ; \ -1)$ :

$$ H\begin{pmatrix} 1 + 3t \\ 7 - t \end{pmatrix} $$

$$ 3(1 + 3t) - (7 - t) + 2 = 0 $$

$$ 10t - 2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = \frac{1}{5} $$

$$ H\left( \frac{8}{5} \ ; \ \frac{34}{5} \right) $$

Le paramètre $t$ n'est pas la distance : la distance vaut $|t| \times \| \vec{n} \|$ , soit ici $\frac{\sqrt{10}}{5}$.

Reconnaître un cercle

On complète les carrés, en se souvenant que $x^2 + kx = \left(x + \frac{k}{2}\right)^2 - \frac{k^2}{4}$ .

Exemple :

$$ x^2 + y^2 + 8x - 2y + 8 = 0 $$

$$ (x + 4)^2 - 16 + (y - 1)^2 - 1 + 8 = 0 $$

$$ (x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 9 $$

Centre $\Omega(-4 \ ; \ 1)$ , rayon $3$ .

Deux vérifications valent la peine : le second membre doit être strictement positif , et les coefficients de $x^2$ et $y^2$ doivent être égaux à 1 - sinon il faut d'abord diviser toute l'équation.