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Le produit scalaire

Deux vecteurs, un nombre : quatre formules pour le calculer, choisies selon ce que donne l'énoncé.

Tirer une valise par une poignée inclinée à \(30°\) : une partie seulement de la force la fait avancer, le reste la soulève.

$$ W = \vec{F} \cdot \vec{d} = \|\vec{F}\| \times \|\vec{d}\| \times \cos(30°) $$

Tirer à la verticale ne l'avancerait pas du tout : le travail serait nul.

Le produit scalaire mesure ce que deux directions ont en commun, et s'annule quand elles sont perpendiculaires.

Un produit qui rend un nombre

Le produit scalaire prend deux vecteurs et rend un nombre réel: c'est ce qui le distingue de toutes les opérations vectorielles vues jusqu'ici.

Il se note \(\vec{u} \cdot \vec{v}\), et se calcule de quatre façons. Aucune n'est la bonne : c'est la donnée de l'énoncé qui décide.

Par les coordonnées

Dans un repère orthonormé, si \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\) :

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y' $$

Exemple :

$$ \vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \hspace{2em} \vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 4 + (-2) \times 5 $$
$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 $$

C'est la voie la plus rapide, et la seule qui ne demande aucune figure. Elle exige en revanche un repère orthonormé - la formule est fausse sans cela.

Par les normes et l'angle

Si \(\theta\) est l'angle entre les deux vecteurs :

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = \| \vec{u} \| \times \| \vec{v} \| \times \cos(\theta) $$

C'est la forme à employer quand l'énoncé donne des longueurs et un angle, ce qui est le cas dès qu'on travaille dans un triangle.

Exemple :

Deux vecteurs de normes \(4\) et \(6\), formant un angle de \(\frac{\pi}{3}\) :

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times 6 \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 24 \times \frac{1}{2} $$
$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = 12 $$

Par la projection orthogonale

Si \(H\) est le projeté orthogonal de \(C\) sur la droite \((AB)\), alors:

$$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH} $$

Ce produit vaut alors \(AB \times AH\) si \(\overrightarrow{AH}\) va dans le même sens que \(\overrightarrow{AB}\), et \(-AB \times AH\) sinon.

C'est cette lecture qui donne son sens au produit scalaire : il mesure ce qu'un vecteur apporte dans la direction de l'autre. En physique, c'est exactement le travail d'une force.

Deux vecteurs de meme origine et la projection orthogonale B C A H AH Deux vecteurs de meme origine et la projection orthogonale - support à compléter B C A

Par les normes seules

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left( \| \vec{u} + \vec{v} \|^2 - \| \vec{u} \|^2 - \| \vec{v} \|^2 \right) $$

Utile lorsque l'énoncé ne fournit que des longueurs, sans angle ni coordonnées.

L'orthogonalité

Le critère d'orthogonalité

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul:

$$ \vec{u} \perp \vec{v} \Longleftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 $$

La raison se lit sur la formule à l'angle : \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\), donc le produit s'annule exactement quand l'angle est droit.

Exemple :

$$ \vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \hspace{2em} \vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = 12 - 12 $$
$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \quad \text{donc} \quad \vec{u} \perp \vec{v} $$

C'est l'usage le plus fréquent du produit scalaire : démontrer qu'un angle est droit sans le mesurer, donc sans figure et sans approximation.

Les règles de calcul

Le produit scalaire se manipule presque comme un produit ordinaire.

Propriété
Écriture
Symétrie
$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} $$
Distributivité
$$ \vec{u} \cdot \left( \vec{v} + \vec{w} \right) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} $$
Facteur réel
$$ \left( k \vec{u} \right) \cdot \vec{v} = k \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) $$
Carré scalaire
$$ \vec{u} \cdot \vec{u} = \| \vec{u} \|^2 $$
le produit scalaire est symétrique et bilinéaire

Ces règles donnent les deux développements qui servent partout, et qui ressemblent aux identités remarquables:

$$ \| \vec{u} + \vec{v} \|^2 = \| \vec{u} \|^2 + 2 \, \vec{u} \cdot \vec{v} + \| \vec{v} \|^2 $$
$$ \| \vec{u} - \vec{v} \|^2 = \| \vec{u} \|^2 - 2 \, \vec{u} \cdot \vec{v} + \| \vec{v} \|^2 $$

Il n'existe en revanche aucune division par un vecteur, et \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) n'entraîne pas qu'un des deux vecteurs soit nul - contrairement au produit des nombres.

La formule d'Al-Kashi

Elle généralise le théorème de Pythagore à tous les triangles, et non plus aux seuls triangles rectangles.

$$ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{A}) $$

Quand l'angle \(\widehat{A}\) est droit, son cosinus est nul et le dernier terme disparaît: on retrouve Pythagore.

La formule d'Al-Kashi, par le produit scalaire

On écrit le côté \(\bigl[BC\bigr]\) comme une différence de vecteurs partant de \(A\) :

$$ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} $$

On élève au carré scalaire, avec le développement vu plus haut :

$$ \| \overrightarrow{BC} \|^2 = \| \overrightarrow{AC} \|^2 - 2 \, \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + \| \overrightarrow{AB} \|^2 $$

Le produit scalaire central s'exprime avec l'angle en \(A\) :

$$ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = AC \times AB \times \cos(\widehat{A}) $$
$$ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{A}) $$

Exemple :

Dans un triangle avec \(AB = 5\), \(AC = 8\) et \(\widehat{A} = \frac{\pi}{3}\) :

$$ BC^2 = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \frac{1}{2} $$
$$ BC^2 = 89 - 40 = 49 $$
$$ BC = 7 $$
Un triangle dont deux cotes et l angle entre eux sont donnes A B C 60° 8 10 ≈ 9.2 a² = 8² + 10² − 2 × 8 × 10 × cos 60° = 84, donc a = √84 ≈ 9.2 Un triangle dont deux cotes et l angle entre eux sont donnes - support à compléter A B C 60° 8 10 ?

L'ensemble des points tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\)

Cette condition décrit le cercle de diamètre \(\bigl[AB\bigr]\). C'est la traduction, en produit scalaire, d'une propriété connue depuis le collège.

$$ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \Longleftrightarrow M \ \text{est sur le cercle de diamètre} \ \bigl[AB\bigr] $$
Deux points A et B et le cercle de diametre AB I A B M Deux points A et B et le cercle de diametre AB - support à compléter A B

Le lieu des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\)

Soit \(I\) le milieu de \(\bigl[AB\bigr]\). On fait apparaître \(I\) par la relation de Chasles :

$$ \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \hspace{2em} \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} $$

Comme \(I\) est le milieu, \(\overrightarrow{IB} = -\overrightarrow{IA}\) :

$$ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \right) \cdot \left( \overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA} \right) $$

C'est une identité remarquable, la différence de deux carrés :

$$ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - IA^2 $$

Ce produit est nul si et seulement si \(MI = IA\), c'est-à-dire si \(M\) est à distance \(\frac{AB}{2}\) du milieu :

$$ MI = \frac{AB}{2} $$

C'est exactement la définition du cercle de centre \(I\) et de rayon \(\frac{AB}{2}\), donc de diamètre \(\bigl[AB\bigr]\).

Le calcul donne au passage un résultat plus général : \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - IA^2\) quelle que soit la position de \(M\). C'est cette égalité qui permet de traiter les autres lieux géométriques.