Problèmes sur le produit scalaire en première

Le produit scalaire sert à trois choses : démontrer un angle droit sans le mesurer, calculer une longueur dans un triangle quelconque, et décrire un ensemble de points. Ces trois problèmes prennent chacun l'un de ces usages.

Calculer un produit scalaire en choisissant l'expression adaptée aux données.
Démontrer une orthogonalité par un produit scalaire nul.
Calculer une longueur ou un angle par la formule d'Al-Kashi.
Transformer $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$ pour reconnaître un lieu géométrique.

Un quadrilatère à vérifier

Dans un repère orthonormé, on donne les points $A(-1 \ ; \ 2)$, $B(3 \ ; \ 4)$, $C(5 \ ; \ 0)$ et $D(1 \ ; \ -2)$.

Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$. Que peut-on en déduire ?

$$ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} $$

Les deux vecteurs sont égaux : $ABCD$ est un parallélogramme.
Calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$.

$$ \overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 4 \times 2 + 2 \times (-4) $$

$$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0 $$
En déduire la nature exacte de $ABCD$.

Le produit scalaire est nul, donc l'angle en $A$ est droit : le parallélogramme est un rectangle.

Les longueurs valent $AB = \sqrt{20}$ et $AD = \sqrt{20}$ : les côtés consécutifs sont égaux.

$$ ABCD \ \text{est un carré} $$
Vérifier ce résultat en calculant les longueurs des deux diagonales.

$$ AC = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} \qquad BD = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} $$

Les diagonales sont égales, ce qui confirme le rectangle - et donc le carré.

La parcelle triangulaire

Un géomètre relève, sur une parcelle triangulaire $ABC$, les mesures suivantes : $AB = 62 \ \text{m}$, $AC = 45 \ \text{m}$, et l'angle en $A$ vaut $72°$. Il ne peut pas mesurer $BC$ directement, une haie l'en empêchant.

Calculer $BC$, arrondi au mètre.

$$ BC^2 = 62^2 + 45^2 - 2 \times 62 \times 45 \times \cos(72°) $$

$$ BC^2 = 3 \ 844 + 2 \ 025 - 5 \ 580 \times 0{,}309 $$

$$ BC^2 \approx 5 \ 869 - 1 \ 724 = 4 \ 145 $$

$$ BC \approx 64 \ \text{m} $$
Calculer l'aire de la parcelle, arrondie au mètre carré.

L'aire d'un triangle vaut $\frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin(\widehat{A})$ :

$$ \mathcal{A} = \frac{1}{2} \times 62 \times 45 \times \sin(72°) $$

$$ \mathcal{A} \approx 1 \ 327 \ \text{m}^2 $$
Calculer l'angle en $B$, arrondi au degré.

Al-Kashi, cette fois avec l'angle en $B$ :

$$ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos(\widehat{B}) $$

$$ 2 \ 025 = 3 \ 844 + 4 \ 096 - 2 \times 62 \times 64 \times \cos(\widehat{B}) $$

$$ \cos(\widehat{B}) = \frac{5 \ 915}{7 \ 936} \approx 0{,}745 $$

$$ \widehat{B} \approx 42° $$
Vérifier la cohérence des trois angles du triangle.

Le troisième angle vaut $180 - 72 - 42 = 66°$.

Cohérent : le plus grand angle, $72°$, fait face au plus grand côté, $BC \approx 64 \ \text{m}$ ; et le plus petit angle, $42°$, fait face au plus petit côté, $AC = 45 \ \text{m}$.

Le lieu du point mobile

Soient $A$ et $B$ deux points distants de $10 \ \text{cm}$, et $I$ le milieu de $\bigl[AB\bigr]$. On cherche l'ensemble des points $M$ du plan vérifiant une condition portant sur $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$.

Démontrer que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - 25$.

$$ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \right) \cdot \left( \overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA} \right) $$

$$ = MI^2 - IA^2 $$

Or $IA = \frac{AB}{2} = 5$, donc $IA^2 = 25$.

$$ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - 25 $$
Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$.

$$ MI^2 = 25 \quad \Longrightarrow \quad MI = 5 $$

$$ \text{le cercle de centre } I \text{ et de rayon } 5 \ \text{cm} $$

C'est le cercle de diamètre $\bigl[AB\bigr]$.
Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 11$.

$$ MI^2 = 36 \quad \Longrightarrow \quad MI = 6 $$

$$ \text{le cercle de centre } I \text{ et de rayon } 6 \ \text{cm} $$
Existe-t-il des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -30$ ? Justifier.

$$ MI^2 = -5 $$

Un carré ne peut être négatif : aucun point ne convient. La plus petite valeur possible du produit est $-25$, atteinte lorsque $M$ est confondu avec $I$.