Problèmes sur le produit scalaire en première

Le produit scalaire sert à trois choses : démontrer un angle droit sans le mesurer, calculer une longueur dans un triangle quelconque, et décrire un ensemble de points. Ces trois problèmes prennent chacun l'un de ces usages.

Calculer un produit scalaire en choisissant l'expression adaptée aux données.
Démontrer une orthogonalité par un produit scalaire nul.
Calculer une longueur ou un angle par la formule d'Al-Kashi.
Transformer $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$ pour reconnaître un lieu géométrique.

Un quadrilatère à vérifier

Dans un repère orthonormé, on donne les points $A(-1 \ ; \ 2)$, $B(3 \ ; \ 4)$, $C(5 \ ; \ 0)$ et $D(1 \ ; \ -2)$.

Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$. Que peut-on en déduire ?

$$ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \hspace{2em} \overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} $$

Les deux vecteurs sont égaux : $ABCD$ est un parallélogramme.
Calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$.

$$ \overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 4 \times 2 + 2 \times (-4) $$

$$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0 $$
En déduire la nature exacte de $ABCD$.

Le produit scalaire est nul, donc l'angle en $A$ est droit : le parallélogramme est un rectangle.

Les longueurs valent $AB = \sqrt{20}$ et $AD = \sqrt{20}$ : les côtés consécutifs sont égaux.

$$ ABCD \ \text{est un carré} $$
Vérifier ce résultat en calculant les longueurs des deux diagonales.

$$ AC = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} \hspace{2em} BD = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} $$

Les diagonales sont égales, ce qui confirme le rectangle - et donc le carré.

La parcelle triangulaire

Un géomètre relève, sur une parcelle triangulaire $ABC$, les mesures suivantes : $AB = 62 \ \text{m}$, $AC = 45 \ \text{m}$, et l'angle en $A$ vaut $72°$. Il ne peut pas mesurer $BC$ directement, une haie l'en empêchant.

Calculer $BC$, arrondi au mètre.

$$ BC^2 = 62^2 + 45^2 - 2 \times 62 \times 45 \times \cos(72°) $$

$$ BC^2 = 3 \ 844 + 2 \ 025 - 5 \ 580 \times 0.309 $$

$$ BC^2 \approx 5 \ 869 - 1 \ 724 = 4 \ 145 $$

$$ BC \approx 64 \ \text{m} $$
Calculer l'aire de la parcelle, arrondie au mètre carré.

L'aire d'un triangle vaut $\frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin(\widehat{A})$ :

$$ \mathcal{A} = \frac{1}{2} \times 62 \times 45 \times \sin(72°) $$

$$ \mathcal{A} \approx 1 \ 327 \ \text{m}^2 $$
Calculer l'angle en $B$, arrondi au degré.

Al-Kashi, cette fois avec l'angle en $B$ :

$$ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos(\widehat{B}) $$

$$ 2 \ 025 = 3 \ 844 + 4 \ 096 - 2 \times 62 \times 64 \times \cos(\widehat{B}) $$

$$ \cos(\widehat{B}) = \frac{5 \ 915}{7 \ 936} \approx 0.745 $$

$$ \widehat{B} \approx 42° $$
Vérifier la cohérence des trois angles du triangle.

Le troisième angle vaut $180 - 72 - 42 = 66°$.

Cohérent : le plus grand angle, $72°$, fait face au plus grand côté, $BC \approx 64 \ \text{m}$ ; et le plus petit angle, $42°$, fait face au plus petit côté, $AC = 45 \ \text{m}$.

Le lieu du point mobile

Soient $A$ et $B$ deux points distants de $10 \ \text{cm}$, et $I$ le milieu de $\bigl[AB\bigr]$. On cherche l'ensemble des points $M$ du plan vérifiant une condition portant sur $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$.

Démontrer que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - 25$.

$$ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \right) \cdot \left( \overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA} \right) $$

$$ = MI^2 - IA^2 $$

Or $IA = \frac{AB}{2} = 5$, donc $IA^2 = 25$.

$$ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - 25 $$
Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$.

$$ MI^2 = 25 \quad \Longrightarrow \quad MI = 5 $$

$$ \text{le cercle de centre } I \text{ et de rayon } 5 \ \text{cm} $$

C'est le cercle de diamètre $\bigl[AB\bigr]$.
Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 11$.

$$ MI^2 = 36 \quad \Longrightarrow \quad MI = 6 $$

$$ \text{le cercle de centre } I \text{ et de rayon } 6 \ \text{cm} $$
Existe-t-il des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -30$ ? Justifier.

$$ MI^2 = -5 $$

Un carré ne peut être négatif : aucun point ne convient. La plus petite valeur possible du produit est $-25$, atteinte lorsque $M$ est confondu avec $I$.

La caméra de la salle de réunion

Une salle de réunion rectangulaire $ABCD$ mesure $10 \ \text{m}$ sur $4 \ \text{m}$. Une caméra à grand angle, dont le champ couvre exactement $90°$, doit être fixée sur le mur $\bigl[AB\bigr]$, en un point $M$, de façon que les deux coins opposés $C$ et $D$ tombent pile aux bords du champ. On travaille dans le repère orthonormé d'origine $A$, d'unité $1 \ \text{m}$, dont l'axe des abscisses porte le mur $\bigl[AB\bigr]$.

Donner les coordonnées des quatre coins, puis celles de $\overrightarrow{MD}$ et de $\overrightarrow{MC}$, où $M(x \ ; \ 0)$ avec $0 \leqslant x \leqslant 10$.

$$ A(0 \ ; \ 0) \hspace{2em} B(10 \ ; \ 0) \hspace{2em} C(10 \ ; \ 4) \hspace{2em} D(0 \ ; \ 4) $$

$$ \overrightarrow{MD}\begin{pmatrix} 0 - x \\ 4 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ 4 \end{pmatrix} \hspace{2em} \overrightarrow{MC}\begin{pmatrix} 10 - x \\ 4 \end{pmatrix} $$
Montrer que la caméra convient si et seulement si $x^2 - 10x + 16 = 0$.

Le champ couvre $90°$ : les deux visées forment un angle droit, ce qui se traduit par un produit scalaire nul.

$$ \overrightarrow{MD} \cdot \overrightarrow{MC} = -x(10 - x) + 4 \times 4 $$

$$ \overrightarrow{MD} \cdot \overrightarrow{MC} = x^2 - 10x + 16 $$

La caméra convient donc exactement lorsque cette expression s'annule.
Déterminer toutes les positions possibles de la caméra, et justifier qu'il n'y en a pas d'autres.

On résout l'équation du second degré :

$$ \Delta = (-10)^2 - 4 \times 1 \times 16 = 100 - 64 = 36 \hspace{2em} \sqrt{\Delta} = 6 $$

$$ x_1 = \frac{10 - 6}{2} = 2 \hspace{2em} x_2 = \frac{10 + 6}{2} = 8 $$

$$ x = 2 \ \text{m} \hspace{2em} \text{ou} \hspace{2em} x = 8 \ \text{m} $$

Les deux valeurs appartiennent bien à $\bigl[ 0 \ ; \ 10 \bigr]$ : elles sont sur le mur. Un polynôme du second degré n'a jamais plus de deux racines, donc aucune autre position ne convient.

Les deux emplacements sont symétriques par rapport au milieu du mur, ce qui était prévisible : la salle est symétrique, elle aussi.
La salle voisine mesure $10 \ \text{m}$ sur $6 \ \text{m}$. Montrer qu'aucune position ne convient, puis déterminer toutes les largeurs $\ell$ de salle pour lesquelles la caméra trouve sa place, le mur $\bigl[AB\bigr]$ mesurant toujours $10 \ \text{m}$.

Avec une largeur $\ell$, les coins deviennent $C(10 \ ; \ \ell)$ et $D(0 \ ; \ \ell)$, et le produit scalaire s'écrit :

$$ \overrightarrow{MD} \cdot \overrightarrow{MC} = -x(10 - x) + \ell^2 = x^2 - 10x + \ell^2 $$

Pour $\ell = 6$ :

$$ \Delta = 100 - 4 \times 36 = -44 < 0 $$

L'équation n'a aucune solution : dans cette salle, la caméra ne peut pas cadrer les deux coins à la fois.

Cas général : une position existe si et seulement si le discriminant est positif ou nul.

$$ \Delta = 100 - 4\ell^2 \geqslant 0 \iff \ell^2 \leqslant 25 \iff \ell \leqslant 5 $$

$$ 0 < \ell \leqslant 5 \ \text{m} $$

Les racines valent alors $x = 5 \pm \sqrt{25 - \ell^2}$, toujours comprises entre $0$ et $10$ : elles sont sur le mur. Pour $\ell = 5$, il ne reste qu'une position, le milieu du mur.

Vérification par le lieu géométrique : les points qui voient $\bigl[DC\bigr]$ sous un angle droit forment le cercle de diamètre $\bigl[DC\bigr]$, de centre $(5 \ ; \ \ell)$ et de rayon $5$. Ce cercle atteint le mur si et seulement si $\ell \leqslant 5$, et pour $\ell = 4$ il le coupe en $x = 2$ et $x = 8$, puisque $(x - 5)^2 + 16 = 25$.

Le radar de bord de route

Un radar de contrôle de vitesse ne mesure pas la vitesse d'une voiture, mais seulement ce que cette vitesse apporte dans la direction de son axe : si $\theta$ est l'angle entre la route et cet axe, la valeur affichée vaut $v \times \cos(\theta)$, où $v$ est la vitesse réelle. Dans un repère orthonormé gradué en mètres, d'origine le point de la route situé à hauteur du radar, l'appareil est en $R(0 \ ; \ 5)$ et la voiture est flashée en $P(15 \ ; \ 0)$, roulant vers le radar. La route est limitée à $90 \ \text{km/h}$.

$\vec{u}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ donne le sens de la marche de la voiture, et $\overrightarrow{PR}$ l'axe du radar. Calculer $\cos(\theta)$, puis $\theta$ arrondi au dixième de degré.

$$ \overrightarrow{PR}\begin{pmatrix} 0 - 15 \\ 5 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -15 \\ 5 \end{pmatrix} \hspace{2em} \| \overrightarrow{PR} \| = \sqrt{225 + 25} = 5\sqrt{10} $$

$$ \vec{u} \cdot \overrightarrow{PR} = (-1) \times (-15) + 0 \times 5 = 15 $$

On utilise l'expression du produit scalaire avec les normes et l'angle, $\| \vec{u} \| = 1$ :

$$ \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \overrightarrow{PR}}{\| \vec{u} \| \times \| \overrightarrow{PR} \|} = \frac{15}{5\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} $$

$$ \cos(\theta) \approx 0.949 \hspace{2em} \theta \approx 18.4° $$
Le radar affiche $96 \ \text{km/h}$. Calculer la vitesse réelle de la voiture, arrondie au km/h.

La valeur affichée vaut $v \times \cos(\theta)$, donc :

$$ v = \frac{96}{\cos(\theta)} = \frac{96}{0.949} $$

$$ v \approx 101 \ \text{km/h} $$
Le conducteur conteste : « L'appareil était de travers, il a donc gonflé ma vitesse. » Trancher, et démontrer que l'argument se retourne contre lui quel que soit l'angle.

Pour tout angle $\theta$, $\cos(\theta) \leqslant 1$. Comme la vitesse est positive :

$$ v \times \cos(\theta) \leqslant v $$

$$ \text{la valeur affichée ne dépasse jamais la vitesse réelle} $$

Un radar de travers sous-estime toujours : l'axe ne recueille qu'une partie de la vitesse, jamais plus. Le conducteur roulait donc à $101 \ \text{km/h}$ au moins, sur une route limitée à $90 \ \text{km/h}$ - son argument aggrave son cas.

Le seul cas où l'affichage donne la vitesse réelle est $\theta = 0$, c'est-à-dire un radar posé dans l'axe de la route.
À partir de quel angle l'écart dépasse-t-il $10 \ \%$ de la vitesse réelle ? Répondre au dixième de degré.

L'écart relatif vaut $\dfrac{v - v\cos(\theta)}{v} = 1 - \cos(\theta)$. On cherche donc :

$$ 1 - \cos(\theta) > 0.10 \iff \cos(\theta) < 0.90 $$

$$ \theta > 25.8° $$

Ici $\theta \approx 18.4°$, et l'écart vaut $1 - 0.949 \approx 5.1 \ \%$, soit $5 \ \text{km/h}$ sur $101$. C'est pourquoi l'appareil est posé selon un angle connu à l'avance : l'électronique divise ensuite l'affichage par $\cos(\theta)$.