Choisir son produit scalaire en première

Quatre expressions du produit scalaire, une seule question à se poser : qu'est-ce que l'énoncé me donne ?

Choisir la bonne expression

Ce que donne l'énoncé	Expression à employer
Des coordonnées, repère orthonormé	$$ x x' + y y' $$
Deux longueurs et l'angle entre elles	$$ \\| \vec{u} \\| \, \\| \vec{v} \\| \cos(\theta) $$
Une figure avec un pied de hauteur	projection orthogonale
Uniquement des longueurs	$$ \tfrac{1}{2}\left( \\| \vec{u} + \vec{v} \\|^2 - \\| \vec{u} \\|^2 - \\| \vec{v} \\|^2 \right) $$

l'énoncé désigne la méthode

On calcule le produit scalaire et on montre qu'il est nul . Aucune figure n'est nécessaire.

Exemple :

Soit $A(1 \ ; \ 2)$, $B(4 \ ; \ 3)$ et $C(2 \ ; \ 8)$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ?

$$ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \times 1 + 1 \times 6 = 9 $$

$$ 9 \neq 0 \quad \text{donc le triangle n'est pas rectangle en } A $$

Les coordonnées d'un vecteur se calculent arrivée moins départ : c'est là que se perdent le plus de points.

On isole le cosinus dans la formule à l'angle, puis on conclut à la calculatrice .

$$ \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\| \vec{u} \| \times \| \vec{v} \|} $$

Exemple :

Avec les vecteurs précédents :

$$ \| \overrightarrow{AB} \| = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \qquad \| \overrightarrow{AC} \| = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37} $$

$$ \cos(\theta) = \frac{9}{\sqrt{10} \times \sqrt{37}} = \frac{9}{\sqrt{370}} $$

$$ \theta \approx 62° $$

On garde la valeur exacte jusqu'au bout , et on n'arrondit qu'à la dernière ligne : arrondir les normes d'abord fausse le résultat.

Deux côtés et l'angle entre eux : c'est Al-Kashi .

$$ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{A}) $$

Exemple :

$AB = 7$, $AC = 9$, $\widehat{A} = 40°$ :

$$ BC^2 = 49 + 81 - 2 \times 7 \times 9 \times \cos(40°) $$

$$ BC^2 \approx 130 - 96{,}5 = 33{,}5 $$

$$ BC \approx 5{,}8 $$

L'angle doit être celui compris entre les deux côtés connus . Avec un autre angle, la formule ne s'applique pas telle quelle.

On introduit le milieu $I$ de $\bigl[AB\bigr]$ , et le produit devient une différence de carrés.

$$ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2 $$

Exemple :

$AB = 6$. Quel est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 7$ ?

$$ MI^2 - 9 = 7 \quad \Longrightarrow \quad MI^2 = 16 $$

$$ MI = 4 : \text{le cercle de centre } I \text{ et de rayon } 4 $$

Le cas $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ n'est qu'un cas particulier : il donne le cercle de diamètre $\bigl[AB\bigr]$ .