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La probabilité conditionnelle
Probabilité de \(B\) sachant \(A\)
Pour un évènement \(A\) de probabilité non nulle, la probabilité de \(B\) sachant que \(A\) est réalisé vaut:
C'est une restriction de l'univers: on ne regarde plus tout \(\Omega\), mais seulement la partie où \(A\) est réalisé.
De cette définition découle la formule qui sert le plus, celle du produit :
\(P_A(B)\) et \(P_B(A)\) n'ont aucune raison d'être égales. Confondre les deux est l'erreur la plus coûteuse du chapitre, et celle sur laquelle reposent la plupart des faux raisonnements médiatiques.
L'indépendance
Deux évènements indépendants
\(A\) et \(B\) sont indépendants lorsque savoir que \(A\) est réalisé ne change rien à la probabilité de \(B\):
En reportant dans la formule du produit, on obtient le critère qui sert en pratique:
Ce second critère est symétrique et ne demande aucune probabilité non nulle : c'est lui qu'on utilise pour justifier une indépendance.
Exemple :
On lance un dé équilibré. Soit \(A\) « obtenir un nombre pair » et \(B\) « obtenir un multiple de \(3\) ».
Indépendants n'est pas incompatible
Ces deux mots désignent des situations opposées, et se confondent pourtant sans cesse.
Mot |
Ce qu'il signifie |
Traduction |
|---|---|---|
Incompatibles |
ils ne peuvent pas se produire ensemble |
$$ A \cap B = \varnothing $$ |
Indépendants |
l'un ne renseigne pas sur l'autre |
$$ P(A \cap B) = P(A) P(B) $$ |
Deux évènements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants : leur intersection est vide, donc \(P(A \cap B) = 0\), alors que \(P(A) \times P(B) > 0\). Savoir que l'un s'est produit apprend au contraire que l'autre ne s'est pas produit - c'est le contraire de l'indépendance.
La formule des probabilités totales
Une partition de l'univers
Des évènements \(A_1, A_2, \dots, A_n\) forment une partition de \(\Omega\) - on dit aussi un système complet - lorsqu'ils sont deux à deux incompatibles et que leur réunion est \(\Omega\) tout entier.
Le cas le plus courant est le plus simple : \(A\) et son contraire \(\overline{A}\) forment toujours une partition.
Tout évènement \(B\) se découpe alors selon cette partition :
Et en remplaçant chaque intersection par la formule du produit :
Avec une partition en deux, ce qui est le cas presque toujours :
L'arbre pondéré
L'arbre n'ajoute rien à la théorie : il range les calculs. Deux règles suffisent à l'exploiter.
La formule des probabilités totales se lit alors sur l'arbre : on additionne tous les chemins qui aboutissent à \(B\).
Exemple :
Une usine a deux ateliers. L'atelier \(A\) produit \(70 \ \%\) des pièces, dont \(2 \ \%\) sont défectueuses ; l'autre produit le reste, dont \(5 \ \%\) sont défectueuses.
Et la question inverse - une pièce défectueuse vient-elle plutôt de \(A\) ? - se lit en divisant un chemin par le total:
Deux épreuves indépendantes
Quand les deux épreuves sont indépendantes, les branches du second niveau ne dépendent plus du premier: l'arbre devient régulier, et le tableau à double entrée fait aussi bien l'affaire.
Exemple :
On lance deux fois une pièce truquée qui tombe sur pile avec la probabilité \(0{,}6\).
2e lancer → |
Pile \((0{,}6)\) |
Face \((0{,}4)\) |
|---|---|---|
Pile \((0{,}6)\) |
\(0{,}36\) |
\(0{,}24\) |
Face \((0{,}4)\) |
\(0{,}24\) |
\(0{,}16\) |
La somme des quatre cases vaut \(1\), ce qui est la vérification à faire systématiquement.
Répéter une épreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli
C'est une expérience qui n'a que deux issues: le succès, de probabilité \(p\), et l'échec, de probabilité \(q = 1 - p\).
Répéter \(n\) fois la même épreuve, de façon indépendante, donne un arbre à \(2^n\) chemins, tous de même structure.
Chaque chemin à \(k\) succès a la même probabilité, \(p^k q^{\,n-k}\), quelle que soit l'ordre des succès.
Exemple :
Trois lancers d'une pièce truquée, \(p = 0{,}6\). Probabilité d'obtenir exactement deux piles ?
Le facteur \(3\) est le nombre de chemins, pas une probabilité. C'est lui qu'on oublie le plus souvent - et l'arbre existe précisément pour ne pas l'oublier.