Problèmes de probabilités conditionnelles

Le test de dépistage

Une maladie touche \(1 \ \%\) d'une population. Un test de dépistage donne un résultat positif chez \(98 \ \%\) des malades, mais aussi chez \(3 \ \%\) des personnes saines.

1. Traduire l'énoncé en probabilités, en notant \(M\) « être malade » et \(T\) « avoir un test positif ».
   $$ P(M) = 0{,}01 \qquad P_M(T) = 0{,}98 \qquad P_{\overline{M}}(T) = 0{,}03 $$
2. Calculer la probabilité qu'une personne prise au hasard ait un test positif.
   $$ P(T) = 0{,}01 \times 0{,}98 + 0{,}99 \times 0{,}03 $$

   $$ P(T) = 0{,}0098 + 0{,}0297 $$

   $$ P(T) = 0{,}0395 $$
3. Une personne a un test positif. Quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade ? Arrondir au centième.
   $$ P_T(M) = \frac{0{,}0098}{0{,}0395} $$

   $$ P_T(M) \approx 0{,}25 $$
4. Le test détecte \(98 \ \%\) des malades, et pourtant un test positif n'est juste qu'une fois sur quatre. Expliquer.

   Sur \(10 \ 000\) personnes, \(100\) sont malades et \(98\) d'entre elles sont détectées. Mais parmi les \(9 \ 900\) personnes saines, \(3 \ \%\) - soit \(297\) - sont positives à tort.

   Les faux positifs sont trois fois plus nombreux que les vrais, parce que la population saine est cent fois plus grande. La rareté de la maladie l'emporte sur la qualité du test.

Les deux ateliers

Une usine produit des pièces dans deux ateliers. L'atelier \(A\) en fabrique \(60 \ \%\), l'atelier \(B\) le reste. Le taux de rebut est de \(4 \ \%\) chez \(A\) et de \(1 \ \%\) chez \(B\).

1. Calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse.
   $$ P(D) = 0{,}6 \times 0{,}04 + 0{,}4 \times 0{,}01 $$

   $$ P(D) = 0{,}024 + 0{,}004 = 0{,}028 $$
2. Une pièce défectueuse est trouvée. De quel atelier vient-elle le plus probablement ?
   $$ P_D(A) = \frac{0{,}024}{0{,}028} \approx 0{,}857 $$

   $$ \text{plus de huit fois sur dix, de l'atelier } A $$
3. L'atelier \(B\) est quatre fois plus fiable, mais l'écart de responsabilité est de six contre un. Pourquoi ?

   L'atelier \(A\) cumule deux désavantages : il produit une fois et demie plus de pièces, et son taux de rebut est quatre fois plus élevé. Les deux facteurs se multiplient.

4. Quel taux de rebut l'atelier \(A\) devrait-il atteindre pour que les deux ateliers soient responsables à parts égales ?

   Il faut \(0{,}6 \times t = 0{,}4 \times 0{,}01\) :

   $$ t = \frac{0{,}004}{0{,}6} \approx 0{,}0067 $$

   Soit un taux d'environ \(0{,}67 \ \%\).

La série de tirs

Une joueuse réussit chacun de ses tirs avec la probabilité \(0{,}7\), indépendamment des précédents. Elle en effectue trois de suite.

1. Calculer la probabilité qu'elle réussisse les trois tirs.
   $$ P = 0{,}7^3 = 0{,}343 $$
2. Calculer la probabilité qu'elle en réussisse exactement deux.

   Trois chemins conviennent : \(RRM\), \(RMR\), \(MRR\).

   $$ P = 3 \times 0{,}7^2 \times 0{,}3 $$

   $$ P = 0{,}441 $$
3. Calculer la probabilité qu'elle en réussisse au moins un.

   On passe par l'évènement contraire, « aucun tir réussi » :

   $$ P = 1 - 0{,}3^3 = 1 - 0{,}027 $$

   $$ P = 0{,}973 $$
4. Vérifier que les quatre cas possibles - zéro, un, deux ou trois succès - ont des probabilités de somme \(1\).
   $$ 0{,}027 + 3 \times 0{,}3^2 \times 0{,}7 + 0{,}441 + 0{,}343 $$

   $$ = 0{,}027 + 0{,}189 + 0{,}441 + 0{,}343 $$

   $$ = 1 $$