Arbres et conditionnement en première

Trois questions reviennent : est-ce indépendant, quelle est la probabilité totale, et dans quel sens conditionner. La première se tranche par un calcul, la deuxième se lit sur un arbre, la troisième demande de relire l'énoncé .

Justifier une indépendance

On compare $P(A \cap B)$ et $P(A) \times P(B)$ . S'ils sont égaux, les évènements sont indépendants ; sinon, ils ne le sont pas.

Exemple :

Dans une classe de $30$ élèves, $18$ font de l'allemand, $12$ sont demi-pensionnaires, et $7$ cumulent les deux.

$$ P(A) = \frac{18}{30} = 0{,}6 \qquad P(D) = \frac{12}{30} = 0{,}4 $$

$$ P(A) \times P(D) = 0{,}24 \qquad \text{alors que} \qquad P(A \cap D) = \frac{7}{30} \approx 0{,}233 $$

$$ 0{,}233 \neq 0{,}24 : \text{les deux caractères ne sont pas indépendants} $$

Une indépendance se démontre par le calcul , jamais par l'intuition : ici l'écart est faible, mais il existe.

Construire l'arbre

Le premier niveau porte ce qui est donné en pourcentage de la population , le second ce qui est donné « parmi » .

Exemple :

« $40 \ \%$ des visiteurs sont abonnés ; parmi les abonnés, $80 \ \%$ reviennent. »

$$ P(A) = 0{,}4 \ \text{au premier niveau} \qquad P_A(R) = 0{,}8 \ \text{au second} $$

Le mot « parmi » , ou « sachant que », annonce toujours une probabilité conditionnelle, donc une branche du second niveau.

Calculer une probabilité totale

On additionne tous les chemins qui mènent à l'évènement cherché.

$$ P(B) = P(A) \, P_A(B) + P(\overline{A}) \, P_{\overline{A}}(B) $$

Exemple :

Avec $P(A) = 0{,}4$, $P_A(R) = 0{,}8$ et $P_{\overline{A}}(R) = 0{,}25$ :

$$ P(R) = 0{,}4 \times 0{,}8 + 0{,}6 \times 0{,}25 $$

$$ P(R) = 0{,}32 + 0{,}15 = 0{,}47 $$

Renverser le conditionnement

Pour passer de $P_A(B)$ à $P_B(A)$, on divise le chemin concerné par le total .

$$ P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$

Exemple :

Un visiteur revient. Quelle est la probabilité qu'il soit abonné ?

$$ P_R(A) = \frac{0{,}32}{0{,}47} $$

$$ P_R(A) \approx 0{,}68 $$

Les deux nombres, $0{,}8$ et $0{,}68$, répondent à deux questions différentes : « parmi les abonnés, combien reviennent » et « parmi ceux qui reviennent, combien sont abonnés ».

Compter les chemins d'un arbre de Bernoulli

Pour $n$ épreuves et $k$ succès, on énumère les chemins - le programme s'en tient à $n \leqslant 4$, ce qui reste dénombrable à la main.

$n$	$0$ succès	$1$	$2$	$3$	$4$
$2$	$1$	$2$	$1$	-	-
$3$	$1$	$3$	$3$	$1$	-
$4$	$1$	$4$	$6$	$4$	$1$

nombre de chemins à $k$ succès, pour $n$ épreuves

Chaque ligne s'obtient de la précédente en additionnant deux termes voisins : c'est le triangle de Pascal, qui sera nommé en terminale.

\(n\)	\(0\) succès	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(2\)	\(1\)	\(2\)	\(1\)	-	-
\(3\)	\(1\)	\(3\)	\(3\)	\(1\)	-
\(4\)	\(1\)	\(4\)	\(6\)	\(4\)	\(1\)