Arbres et conditionnement en première

Trois questions reviennent : est-ce indépendant, quelle est la probabilité totale, et dans quel sens conditionner. La première se tranche par un calcul, la deuxième se lit sur un arbre, la troisième demande de relire l'énoncé.

Justifier une indépendance

On compare $P(A \cap B)$ et $P(A) \times P(B)$. S'ils sont égaux, les évènements sont indépendants ; sinon, ils ne le sont pas.

Exemple :

Dans une classe de $30$ élèves, $18$ font de l'allemand, $12$ sont demi-pensionnaires, et $7$ cumulent les deux.

$$ P(A) = \frac{18}{30} = 0.6 \hspace{2em} P(D) = \frac{12}{30} = 0.4 $$

$$ P(A) \times P(D) = 0.24 \hspace{2em} \text{alors que} \hspace{2em} P(A \cap D) = \frac{7}{30} \approx 0.233 $$

$$ 0.233 \neq 0.24 : \text{les deux caractères ne sont pas indépendants} $$

Une indépendance se démontre par le calcul, jamais par l'intuition : ici l'écart est faible, mais il existe.

Construire l'arbre

Le premier niveau porte ce qui est donné en pourcentage de la population, le second ce qui est donné « parmi ».

Exemple :

« $40 \ \%$ des visiteurs sont abonnés ; parmi les abonnés, $80 \ \%$ reviennent. »

$$ P(A) = 0.4 \ \text{au premier niveau} \hspace{2em} P_A(R) = 0.8 \ \text{au second} $$

Le mot « parmi », ou « sachant que », annonce toujours une probabilité conditionnelle, donc une branche du second niveau.

Calculer une probabilité totale

On additionne tous les chemins qui mènent à l'évènement cherché.

$$ P(B) = P(A) \, P_A(B) + P(\overline{A}) \, P_{\overline{A}}(B) $$

Exemple :

Avec $P(A) = 0.4$, $P_A(R) = 0.8$ et $P_{\overline{A}}(R) = 0.25$ :

$$ P(R) = 0.4 \times 0.8 + 0.6 \times 0.25 $$

$$ P(R) = 0.32 + 0.15 = 0.47 $$

Renverser le conditionnement

Pour passer de $P_A(B)$ à $P_B(A)$, on divise le chemin concerné par le total.

$$ P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$

Exemple :

Un visiteur revient. Quelle est la probabilité qu'il soit abonné ?

$$ P_R(A) = \frac{0.32}{0.47} $$

$$ P_R(A) \approx 0.68 $$

Les deux nombres, $0.8$ et $0.68$, répondent à deux questions différentes : « parmi les abonnés, combien reviennent » et « parmi ceux qui reviennent, combien sont abonnés ».

Compter les chemins d'un arbre de Bernoulli

Pour $n$ épreuves et $k$ succès, on énumère les chemins - le programme s'en tient à $n \leqslant 4$, ce qui reste dénombrable à la main.

$n$	$0$ succès	$1$	$2$	$3$	$4$
$2$	$1$	$2$	$1$	-	-
$3$	$1$	$3$	$3$	$1$	-
$4$	$1$	$4$	$6$	$4$	$1$

nombre de chemins à $k$ succès, pour $n$ épreuves

Chaque ligne s'obtient de la précédente en additionnant deux termes voisins : c'est le triangle de Pascal, qui sera nommé en terminale.

\(n\)	\(0\) succès	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(2\)	\(1\)	\(2\)	\(1\)	-	-
\(3\)	\(1\)	\(3\)	\(3\)	\(1\)	-
\(4\)	\(1\)	\(4\)	\(6\)	\(4\)	\(1\)