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Qu'est-ce qu'une variable aléatoire
Une variable aléatoire réelle
C'est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue de l'univers:
Le mot « variable » est trompeur : ce n'est ni une variable, ni aléatoire. C'est une fonction parfaitement déterminée - ce qui est aléatoire, c'est l'issue qu'on lui donne à manger.
Exemple :
On lance deux dés. À chaque issue \((a \ ; \ b)\), on associe la somme :
\(X\) prend alors ses valeurs dans \(\{2, 3, \dots, 12\}\) : on dit que c'est l'ensemble des valeurs prises par \(X\).
Les notations
Écriture |
Ce qu'elle désigne |
|---|---|
$$ \{ X = a \} $$ |
l'évènement « \(X\) prend la valeur \(a\) » |
$$ P(X = a) $$ |
la probabilité de cet évènement |
$$ \{ X \leqslant a \} $$ |
l'évènement « \(X\) vaut au plus \(a\) » |
$$ P(X \leqslant a) $$ |
la probabilité de ne pas dépasser \(a\) |
\(\{X = a\}\) est un ensemble d'issues, \(P(X = a)\) est un nombre entre 0 et 1. L'un se réunit et s'intersecte, l'autre s'additionne et se multiplie.
La loi de probabilité
La loi d'une variable aléatoire
C'est la donnée de toutes les valeurs prises par \(X\), et de la probabilité de chacune.
Elle se présente toujours en tableau :
Exemple :
Un jeu : on lance un dé équilibré. On gagne \(5 \ \text{€}\) sur un \(6\), \(1 \ \text{€}\) sur un \(5\), et on perd \(2 \ \text{€}\) sinon.
\(x_i\) |
\(-2\) |
\(1\) |
\(5\) |
|---|---|---|---|
\(P(X = x_i)\) |
\(\frac{4}{6}\) |
\(\frac{1}{6}\) |
\(\frac{1}{6}\) |
La vérification tient en une ligne : la somme des probabilités vaut 1. Une loi dont la somme ne fait pas 1 est fausse, et le reste du calcul avec elle.
L'espérance
L'espérance de \(X\)
C'est la moyenne des valeurs, pondérée par leurs probabilités:
Elle s'interprète comme le gain moyen par partie si l'on jouait un très grand nombre de fois - c'est la loi des grands nombres qui autorise cette lecture.
Exemple :
Le joueur perd en moyenne 33 centimes par partie: le jeu lui est défavorable.
Un jeu équitable
Un jeu est dit équitable lorsque son espérance de gain est nulle:
Variance et écart type
L'espérance ne dit rien de la dispersion: deux jeux de même espérance peuvent être l'un tranquille, l'autre à gros risques.
Variance et écart type
La variance est la moyenne des carrés des écarts à l'espérance :
L'écart type en est la racine carrée :
C'est l'écart type qu'on interprète, car il s'exprime dans la même unité que \(X\) - en euros ici, alors que la variance serait en euros carrés.
La formule de König-Huygens
Elle donne la même variance, en moins de calculs: on n'a plus besoin de soustraire l'espérance à chaque valeur.
La formule de König-Huygens
On part de la définition, en notant \(m = E(X)\) pour alléger :
On développe l'identité remarquable sous la somme :
On sépare en trois sommes :
Or la première somme est \(E(X^2)\), la deuxième \(E(X) = m\), et la troisième vaut \(1\) puisque c'est la somme des probabilités :
Exemple :
Avec la loi précédente :
L'écart type vaut ici huit fois l'espérance en valeur absolue : le jeu est très dispersé. Une perte moyenne de 33 centimes cache des parties à \(+5 \ \text{€}\) et d'autres à \(-2 \ \text{€}\).
Changer d'échelle
Multiplier les gains ou ajouter une prime ne demande pas de refaire la loi : l'espérance et la variance suivent des règles simples.
L'espérance est linéaire: elle suit exactement la transformation. La variance, elle, ignore le décalage \(b\) - ajouter la même somme à tous les gains ne change pas leur dispersion.
Exemple :
Le jeu précédent, avec des gains doublés et une prime de \(1 \ \text{€}\) : \(Y = 2X + 1\).