Problèmes sur les variables aléatoires en première

Une roue de fête foraine, un contrat d'assurance, deux placements à comparer. Dans les trois cas l'espérance donne la moyenne à long terme, mais elle ne suffit jamais seule : c'est l'écart type qui dit si l'on peut se permettre d'attendre ce long terme.

Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire.
Calculer une espérance, une variance et un écart type.
Décider si un jeu est équitable, et déterminer la mise qui le rendrait tel.
Comparer deux variables aléatoires de même espérance par leur dispersion.

La roue de la fête

Une roue comporte $20$ secteurs identiques : $1$ secteur rapporte $50 \ \text{€}$, $4$ secteurs rapportent $5 \ \text{€}$, les autres ne rapportent rien. Une partie coûte $4 \ \text{€}$.

Donner la loi de probabilité du gain brut $X$.

$x_i$	$0$	$5$	$50$
$P(X = x_i)$	$\frac{15}{20}$	$\frac{4}{20}$	$\frac{1}{20}$

loi du gain brut, en euros

Calculer $E(X)$.

$$ E(X) = \frac{0 \times 15 + 5 \times 4 + 50 \times 1}{20} = \frac{70}{20} $$

$$ E(X) = 3{,}50 \ \text{€} $$
Le jeu est-il équitable ? Quelle mise le rendrait équitable ?

Le gain algébrique vaut $Y = X - 4$, donc $E(Y) = 3{,}50 - 4 = -0{,}50 \ \text{€}$.

Le jeu n'est pas équitable : le joueur perd en moyenne $50$ centimes par partie.

$$ \text{mise équitable} = 3{,}50 \ \text{€} $$
Le forain fait $400$ parties dans la journée. Quel bénéfice moyen peut-il en attendre ?

$$ 400 \times 0{,}50 = 200 \ \text{€} $$

Le contrat d'assurance

Un assureur propose un contrat à $120 \ \text{€}$ par an. Il estime que $3 \ \%$ des assurés déclareront un sinistre dans l'année, lui coûtant $2 \ 500 \ \text{€}$, et que $1 \ \%$ déclareront un sinistre lourd, à $9 \ 000 \ \text{€}$.

Donner la loi du gain $G$ de l'assureur, pour un contrat.

$g_i$	$-8 \ 880$	$-2 \ 380$	$120$
$P(G = g_i)$	$0{,}01$	$0{,}03$	$0{,}96$

loi du gain de l'assureur, prime encaissée déduite du sinistre

Calculer $E(G)$, et interpréter.

$$ E(G) = -8 \ 880 \times 0{,}01 - 2 \ 380 \times 0{,}03 + 120 \times 0{,}96 $$

$$ E(G) = -88{,}8 - 71{,}4 + 115{,}2 $$

$$ E(G) = -45 \ \text{€} $$

L'assureur perd en moyenne $45 \ \text{€}$ par contrat : le tarif est trop bas.
Quel prix minimal l'assureur devrait-il fixer pour ne pas perdre d'argent ?

Le coût moyen des sinistres vaut :

$$ 9 \ 000 \times 0{,}01 + 2 \ 500 \times 0{,}03 = 90 + 75 = 165 \ \text{€} $$

$$ \text{prime d'équilibre} = 165 \ \text{€} $$
Avec cette prime, l'assureur est à l'équilibre en moyenne. Pourquoi facturera-t-il malgré tout davantage ?

L'espérance nulle ne garantit rien sur une année donnée : la dispersion est énorme, un seul sinistre lourd coûtant plus de cinquante primes.

L'assureur doit couvrir ses frais de gestion, et surtout constituer une réserve pour absorber les mauvaises années. Il facture donc au-dessus de l'espérance - c'est le prix du risque qu'il prend à la place de l'assuré.

Deux placements de même rendement

Deux placements promettent le même gain moyen. Leurs lois de gain, en euros pour $1 \ 000 \ \text{€}$ investis, sont :

Placement A :

$a_i$	$20$	$40$	$60$
$P$	$0{,}25$	$0{,}5$	$0{,}25$

Placement B :

$b_i$	$-160$	$40$	$240$
$P$	$0{,}25$	$0{,}5$	$0{,}25$

Vérifier que les deux placements ont la même espérance.

$$ E(A) = 20 \times 0{,}25 + 40 \times 0{,}5 + 60 \times 0{,}25 = 5 + 20 + 15 $$

$$ E(B) = -160 \times 0{,}25 + 40 \times 0{,}5 + 240 \times 0{,}25 = -40 + 20 + 60 $$

$$ E(A) = E(B) = 40 \ \text{€} $$
Calculer les deux écarts types.

$$ E(A^2) = 400 \times 0{,}25 + 1 \ 600 \times 0{,}5 + 3 \ 600 \times 0{,}25 = 1 \ 800 $$

$$ V(A) = 1 \ 800 - 1 \ 600 = 200 \qquad \sigma(A) \approx 14{,}1 \ \text{€} $$

$$ E(B^2) = 25 \ 600 \times 0{,}25 + 1 \ 600 \times 0{,}5 + 57 \ 600 \times 0{,}25 = 21 \ 600 $$

$$ V(B) = 20 \ 000 \qquad \sigma(B) \approx 141{,}4 \ \text{€} $$
Comparer les deux placements.

Même espérance, mais un écart type dix fois plus grand pour $B$. Le placement $A$ rapporte entre $20$ et $60 \ \text{€}$ ; le placement $B$ peut faire perdre $160 \ \text{€}$ une fois sur quatre.
Un épargnant place la même somme chaque année pendant trente ans. Son choix doit-il changer ?

Sur un grand nombre d'années, la moyenne observée se rapproche de l'espérance : les deux placements finissent par se valoir en cumul.

Le choix dépend alors de sa capacité à absorber les mauvaises années. $B$ devient acceptable pour qui peut attendre, il reste à écarter pour qui a besoin de son argent à date fixe.