Problèmes sur les variables aléatoires en première

Une roue de fête foraine, un contrat d'assurance, deux placements à comparer. Dans les trois cas l'espérance donne la moyenne à long terme, mais elle ne suffit jamais seule : c'est l'écart type qui dit si l'on peut se permettre d'attendre ce long terme.

Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire.
Calculer une espérance, une variance et un écart type.
Décider si un jeu est équitable, et déterminer la mise qui le rendrait tel.
Comparer deux variables aléatoires de même espérance par leur dispersion.

La roue de la fête

Une roue comporte $20$ secteurs identiques : $1$ secteur rapporte $50 \ \text{€}$, $4$ secteurs rapportent $5 \ \text{€}$, les autres ne rapportent rien. Une partie coûte $4 \ \text{€}$.

Donner la loi de probabilité du gain brut $X$.

$x_i$	$0$	$5$	$50$
$P(X = x_i)$	$\frac{15}{20}$	$\frac{4}{20}$	$\frac{1}{20}$

loi du gain brut, en euros

Calculer $E(X)$.

$$ E(X) = \frac{0 \times 15 + 5 \times 4 + 50 \times 1}{20} = \frac{70}{20} $$

$$ E(X) = 3.50 \ \text{€} $$
Le jeu est-il équitable ? Quelle mise le rendrait équitable ?

Le gain algébrique vaut $Y = X - 4$, donc $E(Y) = 3.50 - 4 = -0.50 \ \text{€}$.

Le jeu n'est pas équitable : le joueur perd en moyenne $50$ centimes par partie.

$$ \text{mise équitable} = 3.50 \ \text{€} $$
Le forain fait $400$ parties dans la journée. Quel bénéfice moyen peut-il en attendre ?

$$ 400 \times 0.50 = 200 \ \text{€} $$

Le contrat d'assurance

Un assureur propose un contrat à $120 \ \text{€}$ par an. Il estime que $3 \ \%$ des assurés déclareront un sinistre dans l'année, lui coûtant $2 \ 500 \ \text{€}$, et que $1 \ \%$ déclareront un sinistre lourd, à $9 \ 000 \ \text{€}$.

Donner la loi du gain $G$ de l'assureur, pour un contrat.

$g_i$	$-8 \ 880$	$-2 \ 380$	$120$
$P(G = g_i)$	$0.01$	$0.03$	$0.96$

loi du gain de l'assureur, prime encaissée déduite du sinistre

Calculer $E(G)$, et interpréter.

$$ E(G) = -8 \ 880 \times 0.01 - 2 \ 380 \times 0.03 + 120 \times 0.96 $$

$$ E(G) = -88.8 - 71.4 + 115.2 $$

$$ E(G) = -45 \ \text{€} $$

L'assureur perd en moyenne $45 \ \text{€}$ par contrat : le tarif est trop bas.
Quel prix minimal l'assureur devrait-il fixer pour ne pas perdre d'argent ?

Le coût moyen des sinistres vaut :

$$ 9 \ 000 \times 0.01 + 2 \ 500 \times 0.03 = 90 + 75 = 165 \ \text{€} $$

$$ \text{prime d'équilibre} = 165 \ \text{€} $$
Avec cette prime, l'assureur est à l'équilibre en moyenne. Pourquoi facturera-t-il malgré tout davantage ?

L'espérance nulle ne garantit rien sur une année donnée : la dispersion est énorme, un seul sinistre lourd coûtant plus de cinquante primes.

L'assureur doit couvrir ses frais de gestion, et surtout constituer une réserve pour absorber les mauvaises années. Il facture donc au-dessus de l'espérance - c'est le prix du risque qu'il prend à la place de l'assuré.

Deux placements de même rendement

Deux placements promettent le même gain moyen. Leurs lois de gain, en euros pour $1 \ 000 \ \text{€}$ investis, sont :

Placement A :

$a_i$	$20$	$40$	$60$
$P$	$0.25$	$0.5$	$0.25$

Placement B :

$b_i$	$-160$	$40$	$240$
$P$	$0.25$	$0.5$	$0.25$

Vérifier que les deux placements ont la même espérance.

$$ E(A) = 20 \times 0.25 + 40 \times 0.5 + 60 \times 0.25 = 5 + 20 + 15 $$

$$ E(B) = -160 \times 0.25 + 40 \times 0.5 + 240 \times 0.25 = -40 + 20 + 60 $$

$$ E(A) = E(B) = 40 \ \text{€} $$
Calculer les deux écarts types.

$$ E(A^2) = 400 \times 0.25 + 1 \ 600 \times 0.5 + 3 \ 600 \times 0.25 = 1 \ 800 $$

$$ V(A) = 1 \ 800 - 1 \ 600 = 200 \hspace{2em} \sigma(A) \approx 14.1 \ \text{€} $$

$$ E(B^2) = 25 \ 600 \times 0.25 + 1 \ 600 \times 0.5 + 57 \ 600 \times 0.25 = 21 \ 600 $$

$$ V(B) = 20 \ 000 \hspace{2em} \sigma(B) \approx 141.4 \ \text{€} $$
Comparer les deux placements.

Même espérance, mais un écart type dix fois plus grand pour $B$. Le placement $A$ rapporte entre $20$ et $60 \ \text{€}$ ; le placement $B$ peut faire perdre $160 \ \text{€}$ une fois sur quatre.
Un épargnant place la même somme chaque année pendant trente ans. Son choix doit-il changer ?

Sur un grand nombre d'années, la moyenne observée se rapproche de l'espérance : les deux placements finissent par se valoir en cumul.

Le choix dépend alors de sa capacité à absorber les mauvaises années. $B$ devient acceptable pour qui peut attendre, il reste à écarter pour qui a besoin de son argent à date fixe.

Le sac de dominos

Un jeu de dominos complet contient $28$ dominos : toutes les paires de nombres choisis entre $0$ et $6$, les doubles compris, chaque paire une seule fois. On tire un domino au hasard dans le sac et on note $S$ la somme de ses deux nombres.

Le dénombrement est amorcé : les trois premières colonnes sont remplies.

$s$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
dominos	$1$	$1$	$2$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$

$s$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
dominos	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$

nombre de dominos dont la somme vaut $s$ (à compléter)

Dénombrer, pour chaque valeur de $s$, les dominos dont la somme vaut $s$, puis vérifier que le total fait bien $28$.

On liste les dominos de somme $s$ en partant du plus petit nombre :

$0 \ | \ 0$ - $0 \ | \ 1$ - $0 \ | \ 2$, $1 \ | \ 1$ - $0 \ | \ 3$, $1 \ | \ 2$ - $0 \ | \ 4$, $1 \ | \ 3$, $2 \ | \ 2$ - $0 \ | \ 5$, $1 \ | \ 4$, $2 \ | \ 3$ - $0 \ | \ 6$, $1 \ | \ 5$, $2 \ | \ 4$, $3 \ | \ 3$.

Au-delà de $6$, on échange chaque nombre $k$ avec $6 - k$ : un domino de somme $s$ devient un domino de somme $12 - s$, et cet échange associe les dominos deux à deux. Les colonnes se répondent donc de part et d'autre de $6$.

$s$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
dominos	$1$	$1$	$2$	$2$	$3$	$3$	$4$

$s$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
dominos	$3$	$3$	$2$	$2$	$1$	$1$

nombre de dominos dont la somme vaut $s$

$$ 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 $$

$$ = 28 : \text{aucun domino n'est oublié ni compté deux fois} $$

Donner la loi de $S$, vérifier que la somme des probabilités vaut $1$, puis calculer $E(S)$.

Les $28$ dominos sont équiprobables, donc chaque probabilité est le nombre de dominos divisé par $28$.

$s$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$P(S = s)$	$\frac{1}{28}$	$\frac{1}{28}$	$\frac{2}{28}$	$\frac{2}{28}$	$\frac{3}{28}$	$\frac{3}{28}$	$\frac{4}{28}$

$s$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
$P(S = s)$	$\frac{3}{28}$	$\frac{3}{28}$	$\frac{2}{28}$	$\frac{2}{28}$	$\frac{1}{28}$	$\frac{1}{28}$

loi de la somme des points d'un domino

La somme des treize probabilités vaut $\frac{28}{28} = 1$. Pour l'espérance, on somme les produits $s \times$ effectif :

$$ 0 + 1 + 4 + 6 + 12 + 15 + 24 + 21 + 24 + 18 + 20 + 11 + 12 = 168 $$

$$ E(S) = \frac{168}{28} $$

$$ E(S) = 6 $$

Deux vérifications. La loi est symétrique autour de $6$, puisque $s$ et $12 - s$ ont le même effectif : l'espérance ne pouvait être que $6$. Et chaque nombre de $0$ à $6$ apparaît $8$ fois dans le jeu - une fois dans chacun des sept dominos qui le portent, deux fois dans son double - ce qui donne $8 \times (0 + 1 + \ldots + 6) = 8 \times 21 = 168$ points en tout.

Calculer $V(S)$ et $\sigma(S)$, puis $P(3 \leqslant S \leqslant 9)$.

On somme les produits $s^2 \times$ effectif :

$$ 0 + 1 + 8 + 18 + 48 + 75 + 144 + 147 + 192 + 162 + 200 + 121 + 144 = 1 \ 260 $$

$$ E\bigl(S^2\bigr) = \frac{1 \ 260}{28} = 45 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} V(S) = 45 - 6^2 $$

$$ V(S) = 9 \hspace{2em} \sigma(S) = 3 $$

L'intervalle $\bigl[ 3 \ ; \ 9 \bigr]$ est exactement $\bigl[ 6 - 3 \ ; \ 6 + 3 \bigr]$. Il rassemble :

$$ P(3 \leqslant S \leqslant 9) = \frac{2 + 3 + 3 + 4 + 3 + 3 + 2}{28} = \frac{20}{28} $$

$$ P(3 \leqslant S \leqslant 9) = \frac{5}{7} \approx 0.71 $$

Cinq tirages sur sept tombent à moins d'un écart type de la moyenne.
Un stand propose ce jeu : on tire un domino, on reçoit en euros la somme de ses points, et la partie coûte $7 \ \text{€}$. Dire si le jeu est équitable, donner la mise qui le rendrait tel, puis calculer, avec cette mise, la probabilité de gagner de l'argent.

Le gain algébrique vaut $G = S - 7$, donc $E(G) = 6 - 7 = -1$.

$$ \text{le jeu n'est pas équitable : } 1 \ \text{€} \ \text{perdu en moyenne par partie} $$

Il le devient quand la mise égale l'espérance du gain brut, soit $6 \ \text{€}$. Le joueur gagne alors de l'argent si $S > 6$ :

$$ P(S > 6) = \frac{3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1}{28} = \frac{12}{28} = \frac{3}{7} $$

$$ P(\text{gagner}) = \frac{3}{7} \approx 0.43 $$

Il perd de l'argent avec la même probabilité $\frac{3}{7}$, et rentre dans ses frais dans les $\frac{1}{7}$ restants, quand le domino tiré fait exactement $6$. Équitable ne veut donc pas dire « une chance sur deux de gagner ».

Le vendeur de muguet

Le premier mai, un vendeur achète ses bouquets de muguet $1.50 \ \text{€}$ pièce et les revend $4 \ \text{€}$. L'emplacement sur le marché lui coûte $50 \ \text{€}$ pour la journée, et les bouquets invendus sont perdus le soir. Il commande la veille, sans connaître la demande. Les années passées donnent la loi du nombre $D$ de bouquets qu'il pourrait vendre :

$d_i$	$40$	$60$	$80$	$100$
$P(D = d_i)$	$0.1$	$0.3$	$0.4$	$0.2$

loi de la demande, en nombre de bouquets

Vérifier la loi de $D$ et calculer $E(D)$. Le vendeur commande $60$ bouquets : donner la loi de son bénéfice $B_{60}$, puis calculer $E\bigl(B_{60}\bigr)$.

La somme des probabilités vaut $0.1 + 0.3 + 0.4 + 0.2 = 1$.

$$ E(D) = 40 \times 0.1 + 60 \times 0.3 + 80 \times 0.4 + 100 \times 0.2 = 4 + 18 + 32 + 20 $$

$$ E(D) = 74 \ \text{bouquets} $$

Avec $60$ bouquets commandés, la dépense est fixe : $60 \times 1.50 + 50 = 140 \ \text{€}$. Il vend tout dès que $D \geqslant 60$.

$$ D = 40 : \quad 40 \times 4 - 140 = 20 \hspace{2em} \hspace{2em} D \geqslant 60 : \quad 60 \times 4 - 140 = 100 $$

$b_i$	$20$	$100$
$P\bigl(B_{60} = b_i\bigr)$	$0.1$	$0.9$

loi du bénéfice, en euros, pour $60$ bouquets commandés

$$ E\bigl(B_{60}\bigr) = 20 \times 0.1 + 100 \times 0.9 = 2 + 90 $$

$$ E\bigl(B_{60}\bigr) = 92 \ \text{€} $$

Il commande maintenant $80$ bouquets. Donner la loi de $B_{80}$ et calculer $E\bigl(B_{80}\bigr)$.

La dépense devient $80 \times 1.50 + 50 = 170 \ \text{€}$, et il vend tout dès que $D \geqslant 80$.

$$ D = 40 : \ 160 - 170 = -10 \hspace{2em} D = 60 : \ 240 - 170 = 70 \hspace{2em} D \geqslant 80 : \ 320 - 170 = 150 $$

$b_i$	$-10$	$70$	$150$
$P\bigl(B_{80} = b_i\bigr)$	$0.1$	$0.3$	$0.6$

loi du bénéfice, en euros, pour $80$ bouquets commandés

$$ E\bigl(B_{80}\bigr) = -10 \times 0.1 + 70 \times 0.3 + 150 \times 0.6 = -1 + 21 + 90 $$

$$ E\bigl(B_{80}\bigr) = 110 \ \text{€} $$

Montrer qu'en commandant $100$ bouquets il gagnerait moins en moyenne qu'avec $80$, puis expliquer pourquoi commander la demande moyenne n'est pas le bon réflexe.

La dépense atteint $100 \times 1.50 + 50 = 200 \ \text{€}$, et il ne vend tout que si $D = 100$.

$$ E\bigl(B_{100}\bigr) = -40 \times 0.1 + 40 \times 0.3 + 120 \times 0.4 + 200 \times 0.2 $$

$$ E\bigl(B_{100}\bigr) = -4 + 12 + 48 + 40 = 96 $$

$$ 96 < 110 : \text{les vingt derniers bouquets font perdre } 14 \ \text{€} \ \text{en moyenne} $$

Le bon raisonnement se fait bouquet par bouquet. Un bouquet de plus coûte $1.50 \ \text{€}$ à coup sûr et ne rapporte $4 \ \text{€}$ que s'il trouve preneur.

Le $61^{\text{e}}$ bouquet se vend dès que $D \geqslant 80$, soit avec la probabilité $0.6$ : il rapporte en moyenne $0.6 \times 4 = 2.40 \ \text{€}$, plus que son prix. Le $81^{\text{e}}$ ne se vend que si $D = 100$, soit avec la probabilité $0.2$ : il rapporte $0.2 \times 4 = 0.80 \ \text{€}$, moins que son prix.

La demande moyenne, $74$ bouquets, ne dit rien de cet arbitrage : c'est la probabilité d'écouler le bouquet suivant qui décide.
Trancher entre $60$ et $80$ bouquets, en tenant compte du risque : calculer les deux écarts types et comparer les plus mauvaises journées.

$$ E\bigl(B_{60}^{\,2}\bigr) = 400 \times 0.1 + 10 \ 000 \times 0.9 = 9 \ 040 $$

$$ V\bigl(B_{60}\bigr) = 9 \ 040 - 92^2 = 9 \ 040 - 8 \ 464 = 576 \hspace{2em} \sigma\bigl(B_{60}\bigr) = 24 \ \text{€} $$

$$ E\bigl(B_{80}^{\,2}\bigr) = 100 \times 0.1 + 4 \ 900 \times 0.3 + 22 \ 500 \times 0.6 = 14 \ 980 $$

$$ V\bigl(B_{80}\bigr) = 14 \ 980 - 110^2 = 14 \ 980 - 12 \ 100 = 2 \ 880 \hspace{2em} \sigma\bigl(B_{80}\bigr) \approx 53.7 \ \text{€} $$

Commander $80$ bouquets rapporte $18 \ \text{€}$ de plus en moyenne, avec une dispersion plus de deux fois plus grande. La plus mauvaise journée donne $20 \ \text{€}$ avec $60$ bouquets, et une perte de $10 \ \text{€}$ avec $80$, une année sur dix.

$$ \text{commander } 80 \ \text{bouquets} $$

Le risque est petit et borné - au pire $10 \ \text{€}$ perdus - devant les $18 \ \text{€}$ gagnés en moyenne. Un vendeur qui ne peut se permettre aucune journée déficitaire s'en tiendra à $60$ bouquets, qui lui assurent $20 \ \text{€}$ quoi qu'il arrive.