De la loi à l'écart type en première

Une variable aléatoire se traite toujours dans le même ordre : lister les valeurs , leur donner une probabilité , puis calculer. Le tableau de loi n'est pas une présentation, c'est l'outil de travail.

1. Déterminer les valeurs prises

On cherche tous les résultats numériques possibles , sans les répéter.

Exemple :

On tire une carte dans un jeu de $32$. On gagne $10 \ \text{€}$ pour un as, $2 \ \text{€}$ pour une figure, rien sinon.

$$ X \in \{ 0 \ ; \ 2 \ ; \ 10 \} $$

Les valeurs sont les gains , pas les cartes : l'énoncé décrit une fonction, et c'est son image qu'on liste.

2. Calculer chaque probabilité

On compte les issues favorables, et on vérifie que le total fait $1$.

$x_i$	$0$	$2$	$10$
Cartes	$16$	$12$	$4$
$P(X = x_i)$	$\frac{16}{32}$	$\frac{12}{32}$	$\frac{4}{32}$

un jeu de 32 cartes : 4 as, 12 figures, 16 autres

La somme $16 + 12 + 4 = 32$ vérifie la loi avant tout calcul : une erreur de comptage se voit ici, pas trois lignes plus bas.

3. Calculer l'espérance

On multiplie chaque valeur par sa probabilité, et on additionne. Garder le même dénominateur évite les décimales.

$$ E(X) = 0 \times \frac{16}{32} + 2 \times \frac{12}{32} + 10 \times \frac{4}{32} $$

$$ E(X) = \frac{0 + 24 + 40}{32} = \frac{64}{32} $$

$$ E(X) = 2 \ \text{€} $$

4. Calculer la variance par König-Huygens

On calcule $E(X^2)$ en élevant les valeurs au carré, jamais les probabilités , puis on retranche le carré de l'espérance.

$$ E(X^2) = 0 \times \frac{16}{32} + 4 \times \frac{12}{32} + 100 \times \frac{4}{32} = \frac{448}{32} = 14 $$

$$ V(X) = 14 - 2^2 $$

$$ V(X) = 10 \qquad \sigma(X) = \sqrt{10} \approx 3{,}16 \ \text{€} $$

Deux contrôles : une variance est toujours positive , et l'écart type doit rester du même ordre que l'étendue des valeurs . Un écart type de $300$ sur des gains compris entre $0$ et $10$ signale une erreur.

5. Décider si le jeu est équitable

On compare l'espérance du gain à la mise . Le gain algébrique est le gain moins la mise.

Exemple :

Si la partie coûte $3 \ \text{€}$, le gain algébrique est $Y = X - 3$ :

$$ E(Y) = E(X) - 3 = 2 - 3 $$

$$ E(Y) = -1 \ \text{€} : \text{le jeu est défavorable au joueur} $$

La mise équitable est exactement l'espérance du gain : ici $2 \ \text{€}$. Au-delà, l'organisateur gagne à long terme.

\(x_i\)	\(0\)	\(2\)	\(10\)
Cartes	\(16\)	\(12\)	\(4\)
\(P(X = x_i)\)	\(\frac{16}{32}\)	\(\frac{12}{32}\)	\(\frac{4}{32}\)