Généralités sur les suites en première

Qu'est-ce qu'une suite

Une suite numérique

Une suite est une liste ordonnée et infinie de nombres, numérotés par les entiers.

Le nombre de rang $n$ se note $u_n$, et la suite entière $(u_n)$.

Attention à la distinction : $u_n$ est un nombre, celui du rang $n$ ; $(u_n)$ avec ses parenthèses désigne la suite tout entière. Dire « la suite $u_n$ » est un abus qui finit par coûter des points.

On rencontre aussi les notations $u(n)$ et $(u(n))$: une suite est en effet une fonction dont la variable ne prend que des valeurs entières.

Les quatre façons de définir une suite

Par une formule explicite

Chaque terme se calcule directement à partir de son rang:

$$ u_n = f(n) $$

Exemple :

$$ u_n = 3n + 2 $$

$$ u_0 = 2 \qquad u_1 = 5 \qquad u_{100} = 302 $$

L'avantage est décisif : on atteint n'importe quel rang sans calculer les précédents.

Par une relation de récurrence

Chaque terme se calcule à partir du précédent. Il faut alors donner le premier terme, sans quoi rien ne démarre.

$$ \left \{ \begin{gather*} u_0 \ \text{donné} \\ u_{n+1} = f(u_n) \end{gather*} \right . $$

Exemple :

$$ \left \{ \begin{gather*} u_0 = 2 \\ u_{n+1} = 3u_n + 1 \end{gather*} \right . $$

$$ u_1 = 7 \qquad u_2 = 22 \qquad u_3 = 67 $$

Pour obtenir $u_{100}$, il faut ici calculer les cent termes précédents. C'est tout l'enjeu des chapitres suivants : retrouver une formule explicite à partir d'une relation de récurrence.

Par un algorithme

La relation de récurrence se programme directement :

u = 2
for n in range(10):
    u = 3 * u + 1
print(u)

Ce programme affiche $u_{10}$: la variable $u$ est écrasée à chaque tour, et ne garde que le dernier terme calculé.

Par un motif géométrique

Une figure qui se construit par étapes définit une suite : il suffit de compter ce qui la compose à chaque étape.

Exemple :

On empile des carrés en escalier : $1$ carré au premier étage, $2$ au deuxième, $3$ au troisième.

Étage $n$	$1$	$2$	$3$	$4$
Carrés à cet étage	$1$	$2$	$3$	$4$
Total $u_n$	$1$	$3$	$6$	$10$

le total suit une relation de récurrence, puis une formule explicite

$$ u_{n+1} = u_n + (n+1) \qquad \text{puis} \qquad u_n = \frac{n(n+1)}{2} $$

La somme des premiers entiers

Cette formule revient sans cesse. Elle se démontre en écrivant la somme deux fois, dans les deux sens:

$$ 1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} $$

La somme des $n$ premiers entiers

On note $S$ la somme, écrite dans un sens puis dans l'autre :

$$ S = 1 + 2 + \dots + (n-1) + n $$

$$ S = n + (n-1) + \dots + 2 + 1 $$

En additionnant colonne par colonne, chaque paire donne $n+1$, et il y a $n$ colonnes :

$$ 2S = \underbrace{(n+1) + (n+1) + \dots + (n+1)}_{n \ \text{fois}} = n(n+1) $$

$$ S = \frac{n(n+1)}{2} $$

Exemple :

$$ 1 + 2 + \dots + 100 = \frac{100 \times 101}{2} $$

$$ = 5 \ 050 $$

Sens de variation

Suite croissante, suite décroissante

Une suite est croissante si chaque terme est supérieur ou égal au précédent:

$$ \forall n, \quad u_{n+1} \geqslant u_n $$

Elle est décroissante si l'inégalité est renversée.

Le test le plus sûr consiste à étudier le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$.

Exemple :

$$ u_n = n^2 - 4n $$

$$ u_{n+1} - u_n = \bigl[(n+1)^2 - 4(n+1)\bigr] - \bigl[n^2 - 4n\bigr] $$

$$ = n^2 + 2n + 1 - 4n - 4 - n^2 + 4n $$

$$ u_{n+1} - u_n = 2n - 3 $$

Cette différence est négative pour $n = 0$ et $n = 1$, positive à partir de $n = 2$ : la suite décroît puis croît. Elle n'est donc ni croissante ni décroissante.

Pour une suite à termes strictement positifs, on peut aussi comparer le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$. C'est le bon réflexe quand la suite est un produit - une suite géométrique, par exemple.

Une première idée de limite

Quand $n$ devient très grand, trois comportements se rencontrent. Il ne s'agit ici que d'observer: toute formalisation est réservée à la terminale.

La suite se rapproche d'un nombre

$$ u_n = \frac{1}{n} \ \longrightarrow \ 0 $$

Les termes s'accumulent près de $0$ sans jamais l'atteindre.
La suite part vers l'infini

$$ u_n = n^2 \ \longrightarrow \ +\infty $$

Les termes dépassent n'importe quel seuil fixé à l'avance.
La suite n'a pas de limite

$$ u_n = (-1)^n $$

Les termes valent alternativement $1$ et $-1$, sans jamais se fixer.

Conjecturer une limite se fait en calculant des termes de rang élevé, à la calculatrice ou par un programme. Une conjecture n'est pas une démonstration - mais c'est elle qui oriente le travail.

Étage \(n\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
Carrés à cet étage	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
Total \(u_n\)	\(1\)	\(3\)	\(6\)	\(10\)