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Soit une suite quelconque \((u_n)_{n \hspace{0.05em} \in \mathbb{N} }\).
Pour déterminer le sens de variations de cette suite, il y a deux façons :
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si la suite est exprimée de manière explicite uniquement : dans ce cas on pourra étudier les variations comme pour n'importe quelle fonction
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de manière générale : dans ce cas on pourra résoudre :$$ u_{n+1} > u_n $$
Les suites explicites uniquement : \(u_n = f(n)\)
Tout comme pour l'étude de n'importe quelle fonction, on calcule d'abord la dérivée , puis on étudie le signe de la dérivée qui nous informe sur le sens de variations de la fonction d'étude.
Exemple :
Prenons la suite \((u_n)\) :
On considère alors une fonction \(f\) à étudier :
On calcule sa dérivée :
Comme la dérivée \(f'\) est strictement positive, alors la fonction \(f\) est strictement croissante. Alors, il en est ainsi pour la suite \((u_n)\).
Le cas général
De manière générale, et dans le cas où la suite \((u_n)\) est monotone, on doit résoudre :
Alors, deux cas sont possibles :
-
Étude du signe de \(\Delta u_n\)
À partir de l'inéquation \((1)\) :
$$ u_{n+1} > u_n \qquad(1) $$En basculant \(u_n\) on obtient :
$$ u_{n+1} - u_n > 0 $$On étudie alors le signe de \((\Delta u_n)\) :
$$ \Delta u_n = u_{n+1} - u_n \qquad (\Delta u_n) $$Trois cas sont possibles selon le résultat :
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} \textcolor{#5E864A}{ \Delta u_n > 0 \Longrightarrow u_{n+1} > u_n \Longrightarrow u_n \nearrow} \\ \Delta u_n = 0 \Longrightarrow u_{n+1} = u_n \Longrightarrow u_n \longrightarrow \\ \textcolor{#B36060}{\Delta u_n < 0 \Longrightarrow u_{n+1} < u_n \Longrightarrow u_n \searrow } \end{gather*} $$Exemple :
En reprenant la même suite \((u_n)\) :
$$\forall n \geqslant 1, \hspace{2em} u_n = 1 - \frac{1}{n} $$Alors,
$$ u_{n+1} = 1 - \frac{1}{n + 1} $$Et :
$$ u_{n+1} - u_n = 1 - \frac{1}{n + 1} - \left( 1 - \frac{1}{n} \right) $$On met d'abord tout sous forme de fraction :
$$ u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{n + 1} - \frac{1}{n + 1} - \left( \frac{n}{n} - \frac{1}{n} \right) $$$$ u_{n+1} - u_n = \frac{n+1 -1}{n + 1} - \frac{n -1 }{n} $$$$ u_{n+1} - u_n = \frac{n}{n + 1} - \frac{n -1 }{n} $$Ensuite, on met au même dénominateur :
$$ u_{n+1} - u_n = \frac{n}{n + 1} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{n}{n}} - \frac{n -1 }{n} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{n + 1}{n + 1}} $$$$ u_{n+1} - u_n = \frac{n^2}{n(n + 1)} - \frac{n^2 -1 }{n(n + 1)} $$$$ u_{n+1} - u_n = \frac{n^2 - (n^2 - 1)}{n(n + 1)} $$$$ u_{n+1} - u_n = \frac{n^2 - n^2 + 1}{n(n + 1)} $$$$ u_{n+1} - u_n = \frac{1}{n(n + 1)} > 0 $$(car \(n > 0\))
On obtient alors que :
$$ u_{n+1} - u_n > 0 \Longrightarrow u_{n+1} > u_n $$On a bien vérifié par la deuxième méthode que la suite \((u_n)\) était strictement croissante.
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Étude du rapport \( \Phi u_n \)
À partir de l'inéquation \((1)\) :
$$ u_{n+1} > u_n \qquad(1) $$En divisant par \(u_n\) on obtient :
$$ \frac{u_{n+1}}{u_n} > 1 $$On étudie alors le rapport \((\Phi u_n)\) :
$$ \Phi u_n = \frac{u_{n+1}}{u_n} \qquad (\Phi u_n) $$Avant de diviser par \(u_n\) de part et d'autre de l'inéqation, il faut bien s'assurer que le signe du terme \(u_n\) soit le même pour tout \(n\) .
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} \textcolor{#5E864A}{ \Phi u_n > 1 \Longrightarrow u_{n+1} > u_n \Longrightarrow u_n \nearrow} \\ \Phi u_n = 1 \Longrightarrow u_{n+1} = u_n \Longrightarrow u_n \longrightarrow \\ \textcolor{#B36060}{\Phi u_n < 1 \Longrightarrow u_{n+1} < u_n \Longrightarrow u_n \searrow } \end{gather*} $$Exemple :
En reprenant encore la même suite \((u_n)\) :
$$\forall n \geqslant 1, \hspace{2em} u_n = 1 - \frac{1}{n} $$Alors, en arrageant les deux formules sous forme de quotient :
$$ u_n = 1 - \frac{1}{n} u_{n} = \frac{n}{n} - \frac{1}{n} u_{n} = \frac{n-1}{n} $$$$ u_{n+1} = 1 - \frac{1}{n + 1} u_{n+1} = \frac{n+1}{n+1} - \frac{1}{n+1} u_{n+1} = \frac{n}{n+1} $$$$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{ \frac{n}{n+1} }{\frac{n-1}{n}} $$On retourne le dénominateur pour obtenir une multiplication :
$$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n}{n+1} \times \frac{n}{n-1} $$$$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n^2}{n^2 - 1} $$On voit déjà que le dénominateur est inférieur au numérateur mais on peut faire :
$$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n^2 \textcolor{rgb(93 183 129)}{ + 1 - 1} }{n^2 - 1} $$Pour séparer la fraction en deux :
$$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n^2 - 1 }{n^2 - 1} + \frac{1 }{n^2 - 1} $$$$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1 + \frac{1 }{n^2 - 1} $$Pour \((n \geqslant 1)\), le dénominateur \((n^2 - 1) \geqslant 0\). Alors, on a donc bien :
$$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1 + \underbrace{\frac{1 }{n^2 - 1} } _\text{ \(\geqslant 0 \)} > 1 $$On obtient alors que :
$$ \frac{u_{n+1}}{u_n} > 1 \Longrightarrow u_{n+1} > u_n $$On a bien vérifié par la dernière méthode que la suite \((u_n)\) était strictement croissante.