Les suites arithmétiques et géométriques

Les suites sont par définition des fonctions qui n'acceptent uniquement des valeurs discrètes (en opposition aux fonctions qui peuvent admettre des valeurs continues). Ces valeurs sont déterminées en entrée par un indice (souvent \(n\)).

On obtiendra alors une serie de valeurs comme :

(l'indice peut éventuellement commencer à autre chose que zéro)

On notera une suite \((u_n)_{n \hspace{0.05em} \in \mathbb{N} }\) lorsqu'on souhaite faire référence à une suite, et on la notera simplement \(u_n\) lorsqu'on l'utilisera dans des calculs.

On distingue deux type principaux de suites :

• les suites définies explicitement en fonction de l'indice :
  $$ u_n = f(n) \hspace{2em} (\text{suites explicites}) $$

  Exemple : \( u_n = 3n + 2 \)

• les suites récurrentes, exprimées en fonction du terme précédent :
  $$ u_{n+1} = f(u_n) \hspace{2em} (\text{suites récurrentes}) $$

  Exemple : \( u_{n+1} = 3 u_n + 2 \)

Les suites arithmétiques : \(u_n = u_0 + nr\)

1. Définition

   Soit une suite arithmétique \((u_n)_{n \hspace{0.05em} \in \mathbb{N} }\). Cette suite est définie par :

   • son premier terme \(u_0\)

   • sa raison \(r\)

   C'est une série de valeurs, à laquelle à chaque terme suivant on ajoute la valeur de la raison \(r\).

   
   

   Alors, une suité arithmétique s'exprime par la formule générale :

   $$ u_n = u_0 + nr \hspace{2em} (\text{suites arithmétiques}) $$

   On peut éventuellement l'exprimer de manière récurrente, dans ce cas :

   $$ u_{n+1} = u_n + r $$
2. Sens de variations

   Pour calculer le sens de variations d'une suite arithmétique, on pourra utiliser la première méthode et étudier le signe de \(\Delta u_n\) :

   $$ u_{n+1} - u_n > 0 \hspace{2em} (\Delta u_n) $$

   Soit,

   $$ u_n + r - u_n > 0 $$
   $$ r > 0 $$

   Alors, le sens de variations d'une suite arithmétique ne dépend que du signe de \(r\).

   $$ \forall n \geqslant n_0, \ \Biggl \{ \begin{gather*} r > 0 \Longrightarrow u_n \ \nearrow \\ r < 0 \Longrightarrow u_n \ \searrow \\ r = 0 \Longrightarrow u_n \ \longrightarrow \end{gather*} $$
3. Somme de termes d'une suite arithmétique

   1. De \(0\) jusque \(n\)

      $$ \forall n \in \mathbb{N}, $$
      $$ \sum_{k = 0}^n (u_0 + kr) = \frac{\bigl(n+1\bigr)\bigl(u_0 + u_n \bigr)}{2} $$
      $$ (\text{avec } u_n = u_0 + nr) $$
      $$ \Longleftrightarrow $$
      $$ \sum_{k = 0}^n (u_0 + kr) = \frac{ \bigl(n+1 \bigr) \Bigl(\bigl[\text{premier terme} \bigr] + \bigl[\text{dernier terme} \bigr] \Bigr)}{2} $$

      La somme des termes d'une suites arithmétique

      On souhaite calculer la somme des termes de cette suite de 0 jusqu'à \( n\):

      $$ \sum_{k = 0}^n (u_0 + kr) = u_0 + (u_0 + r) + (u_0 + 2r) \enspace + \enspace ... \enspace + \enspace \Bigl[u_0 + (n -1)r \Bigr] + (u_0 + nr) $$

      Soit,

      $$ \sum_{k = 0}^n (u_0 + kr) = u_0(n + 1) + r \bigl(1 + 2 \enspace + \enspace ... \enspace + \enspace (n -1) + n \bigr) $$

      $$ \sum_{k = 0}^n (u_0 + kr) = u_0(n + 1) + r \Biggl[ \sum_{k = 0}^n k \Biggr] \hspace{2em} (1) $$

      La somme des premiers entiers naturels vaut :

      $$ \sum_{k = 0}^n k = \frac{n(n + 1)}{2} $$

      On peut alors l'injecter dans l'expression \((1)\) :

      $$ \sum_{k = 0}^n (u_0 + kr) = u_0(n + 1) + r\Biggl(\frac{n(n + 1)}{2}\Biggr) $$

      On factorise par \( (n + 1) \) et obtient :

      $$ \sum_{k = 0}^n (u_0 + kr) = \bigl(n + 1 \bigr)\Biggl(u_0 + \frac{ nr}{2}\Biggr) $$

      $$ \sum_{k = 0}^n (u_0 + kr) = \bigl(n + 1 \bigr)\Biggl(\frac{ 2 u_0 + nr}{2}\Biggr) $$

      $$ \sum_{k = 0}^n (u_0 + kr) = \bigl(n + 1 \bigr)\Biggl(\frac{ u_0 + u_n}{2}\Biggr) $$

      Et finalement,

      $$ \forall n \in \mathbb{N}, \enspace \forall (u_0, r) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, $$

      $$ \sum_{k = 0}^n (u_0 + kr) =\frac{\bigl(n+1\bigr)\bigl(u_0 + u_n \bigr)}{2} $$

      $$ (\text{avec } u_n = u_0 + nr) $$

   2. De \(a\) jusque \(n\)

      Et pour n'importe quelle nombre entier positif \(a\) :

      $$ \forall (a,n) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, $$
      $$ \sum_{k =a}^n (u_0 + kr) = \Bigl(n + 1 - a\Bigr) \Biggl( \frac{u_0 + u_{n+a}}{2} \Biggr) $$
      $$ \Bigl(\text{avec } u_{n + a} = u_0 + (n + a)r \Bigr) $$

Les suites géométriques : \(v_n = v_0 \ q^n\)

1. Définition

   Soit une suite géométrique \((v_n)_{n \hspace{0.05em} \in \mathbb{N} }\). Cette suite est définie par :

   • son premier terme \(v_0\)

   • sa raison \(q\)

   C'est une série de valeurs, à laquelle à chaque terme suivant on multiplie par la valeur de la raison \(q\).

   
   

   Alors, une suité géométrique s'exprime par la formule générale :

   $$ v_n = v_0 \ q^n \hspace{2em} (\text{suites géométriques}) $$

   On peut éventuellement l'exprimer de manière récurrente, dans ce cas :

   $$ v_{n+1} = v_n q $$
2. Sens de variations

   1. Par la première méthode : étude du signe de \(\Delta v_n\)

      Pour calculer le sens de variations d'une suite géométrique, on pourra aussi utiliser la première méthode et étudier le signe de \(\Delta v_n\) :

      $$ v_{n+1} - v_n > 0 \hspace{2em} (\Delta v_n) $$

      Soit :

      $$ v_0 q^{n+1} - v_0 \ q^n > 0 $$

      $$ v_0 \ q^n (q - 1) > 0 $$

      Alors, plusieurs cas sont possibles :

      • si \( q > 1 \), alors :

        $$ (q - 1) > 0 $$

        De même, comme \( \bigl[ n> \ ; \ 0 \bigr] \land \bigl[ q > \ ; \ 0 \bigr] \), on a :

        $$ q^n (q - 1) > 0 $$

        Et le signe total ne dépend plus que de celui de \(v_0\) :

        $$ \forall n \geqslant n_0, \ \Biggl \{ \begin{gather*} v_0 > 0 \Longrightarrow v_0 \ q^n (q - 1) > 0 \Longrightarrow v_n \nearrow \\ v_0 < 0 \Longrightarrow v_0 \ q^n (q - 1) < 0 \Longrightarrow v_n \searrow \end{gather*} $$

      • si \( 0 < q < 1 \), alors :

        $$ (q - 1) < 0 $$

        De même, comme \( \bigl[ n> \ ; \ 0 \bigr] \land \bigl[ q > \ ; \ 0 \bigr] \), on a :

        $$ v_0 \ q^n (q - 1) < 0 $$

        Ensuite, selon le signe de \(v_0\) :

        $$ \forall n \geqslant n_0, \ \Biggl \{ \begin{gather*} v_0 > 0 \Longrightarrow v_0 \ q^n (q - 1) < 0 \Longrightarrow v_n \searrow \\ v_0 < 0 \Longrightarrow v_0 \ q^n (q - 1) > 0 \Longrightarrow v_n \nearrow \end{gather*} $$

      • si \( q < 0 \), alors :

        $$ (q - 1) < - 1 \Longrightarrow (q - 1) < 0 $$

        De même, comme \( \bigl[ n> \ ; \ 0 \bigr] \land \bigl[ q < \ ; \ 0 \bigr] \), on a selon la parité de \(n\) et le signe de \(v_0\) :

        $$ v_0 \ q^n (q - 1) $$	$$ n \ \text{impair} $$	$$ n \ \text{pair} $$
        $$ v_0 \ + $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{ -} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{ +} $$
        $$ v_0 \ - $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{ +} $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{ -} $$

        On a une alternance de signe positifs et négatifs pour le terme de \(v_n\).

      $$ $$	$$ q > 1 $$	$$ 0 < q < 1 $$	$$ q < 0 $$
      $$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{ v_0 \ +} $$	$$ u_n \nearrow $$	$$ u_n \searrow $$	alternance selon la parité de \(n\)
      $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{ v_0 \ -} $$	$$ u_n \searrow $$	$$ u_n \nearrow $$	alternance selon la parité de \(n\)

      Exemple :

      $$ v_n = 3 \times \left( - \frac{1}{2} \right )^n $$

      Alors,

      $$ v_{n+1} = 3 \times \left( - \frac{1}{2} \right )^{n+1} $$

      Et :

      $$ v_{n+1} - v_n = 3 \times \left( - \frac{1}{2} \right )^{n+1} - 3 \times \left( - \frac{1}{2} \right )^n $$

      $$ v_{n+1} - v_n = 3 \times \left( - \frac{1}{2} \right )^{n+1} - 3 \times \left( - \frac{1}{2} \right )^n $$

      $$ v_{n+1} - v_n = 3 \times \left( - \frac{1}{2} \right )^{n} \times \left (- \frac{1}{2} - 1 \right ) $$

      $$ v_{n+1} - v_n = 3 \times \left( - \frac{1}{2} \right )^{n} \times \left (- \frac{3}{2} \right ) $$

      On obtient une alternance de signe positifs et négatifs :

      $$ v_{n+1} - v_n = \underbrace{3} _\text{\(+\)} \times \underbrace{ \left( - \frac{1}{2} \right )^{n} } _\text{ alternance de \(+/-\)} \times \underbrace{ \left (- \frac{3}{2} \right )} _\text{\(-\)} $$

      Ce qui veut dire que la suite \((v_n)\) n'est pas monotone.

   2. Par la seconde méthode : étude du rapport \(\Phi v_n\)

      Si l'on sait que l'on a affaire à des termes uniquement positifs, alors on peut étudier :

      $$ \frac{v_{n+1}}{v_n} > 1 \hspace{2em} (\Phi v_n) $$

      À ce moment-là, on a :

      $$ \frac{v_0 q^{n+1}}{v_0 q^{n}} > 1 $$

      $$ \frac{\cancel{v_0 } q^{\cancel{n}+1}}{\cancel{v_0} \cancel{q^{n}}} > 1 $$

      $$ \Longleftrightarrow q > 1 $$

      Alors le sens de variations ne dépend plus que du signe de \(q\),

      $$ \forall n \geqslant n_0, \ \left \{ \begin{gather*} q > 1 \Longleftrightarrow \frac{v_{n+1}}{v_n} > 1 \Longrightarrow v_n \nearrow \\ q < 1 \Longleftrightarrow \frac{v_{n+1}}{v_n} < 1 \Longrightarrow v_n \searrow \\ q = 1 \Longleftrightarrow \frac{v_{n+1}}{v_n} = 1 \Longrightarrow v_n \longrightarrow \end{gather*} \right \} $$

      Exemple :

      $$ w_n = 4 \times \left(\frac{3}{2} \right )^n $$

      Alors,

      $$ w_{n+1} = 4 \times \left(\frac{3}{2} \right )^{n+1} $$

      Et :

      $$ \frac{w_{n+1}}{w_n} = \frac{4 \times \left(\frac{3}{2} \right )^{n+1}}{4 \times \left(\frac{3}{2} \right )^n} $$

      $$ \frac{w_{n+1}}{w_n} = \frac{\cancel{4} \times \left(\frac{3}{2} \right )^{\cancel{n}+1}}{\cancel{4} \times \cancel{\left(\frac{3}{2} \right )^n}} $$

      $$ \frac{w_{n+1}}{w_n} =\frac{3}{2} > 1 $$

      Ce qui veut dire que la suite \((w_n)\) est croissante.

3. Somme de termes d'une suite géométrique

   1. De \(0\) jusque \(n\)

      $$ \forall n \in \mathbb{N}, \enspace \forall v_0 \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \ \forall q \in \hspace{0.05em} \Bigl[ \mathbb{R} \ \backslash \bigl \{0,1 \bigr \} \Bigr] , $$
      $$ \sum_{k = 0}^n (v_0 \ q^k) = v_0 \ \frac{q^{n+1} - 1}{q-1} $$
      $$ \Longleftrightarrow $$
      $$ \sum_{k = 0}^n (v_0 \ q^k) = \bigl[\text{premier terme} \bigr] \times \frac{ \bigl[\text{raison} \bigr]^{\bigl[\text{nombre de termes} \bigr]} - 1 }{\bigl[\text{raison} \bigr] - 1} $$

      La somme des termes d'une suites géométrique

      On souhaite calculer la somme des termes de cette suite de 0 jusqu'à \( n\).

      $$ \sum_{k = 0}^n (v_0 \ q^k) = v_0 + v_0 \ q + v_0 \ q^2 + \enspace ... \enspace + v_0 \ q^{n - 1} + v_0 \ q^n $$

      Soit,

      $$ \sum_{k = 0}^n (v_0 \ q^k) = v_0 \ \Biggl[ \sum_{k = 0}^n q^k \Biggr] \hspace{2em} (2) $$

      La somme des premières puissances naturelles d'un nombre réel est connue, elle vaut :

      $$\sum_{k = 0}^n q^k = \frac{q^{n+1} - 1}{q-1} $$

      On peut alors l'injecter dans l'expression \((2)\) :

      $$ \sum_{k = 0}^n (v_0 \ q^k) = v_0 \ \frac{q^{n+1} - 1}{q-1} $$

      
      

      Et finalement,

      $$ \forall n \in \mathbb{N}, \enspace \forall v_0 \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \ \forall q \in \hspace{0.05em} \Bigl[ \mathbb{R} \ \backslash \bigl \{0,1 \bigr \} \Bigr] , $$

      $$ \sum_{k = 0}^n (v_0 \ q^k) = v_0 \ \frac{q^{n+1} - 1}{q-1} $$

   2. De \(a\) jusque \(n\)

      Et pour n'importe quelle nombre entier positif \(a\) :

      $$ \forall (a,n) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, \enspace \forall v_0 \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \ \forall q \in \hspace{0.05em} \Bigl[ \mathbb{R} \ \backslash \bigl \{0,1 \bigr \} \Bigr] , $$
      $$ \sum_{k =a}^{n} v_0 \ q^k = v_0 \ \frac{q^{n+1} - q^{a}}{q-1} $$

Sens de variation

Pour une suite arithmétique, tout se lit sur le signe de la raison:

1. \(r > 0\) : la suite est strictement croissante
2. \(r < 0\) : la suite est strictement décroissante
3. \(r = 0\) : la suite est constante

Pour une suite géométrique à termes strictement positifs, c'est la raison comparée à \(1\) qui décide:

1. \(q > 1\) : la suite est strictement croissante
2. \(0 < q < 1\) : la suite est strictement décroissante
3. \(q = 1\) : la suite est constante

Si le premier terme est négatif, les deux premiers cas s'échangent : une raison supérieure à \(1\) rend alors la suite décroissante. Et une raison négative fait alterner les signes - la suite n'est ni croissante ni décroissante.

Le lien avec les fonctions

Une suite arithmétique n'est rien d'autre qu'une fonction affine, dont on ne garde que les valeurs entières:

La raison joue le rôle du coefficient directeur, et le premier terme celui de l'ordonnée à l'origine. Les points de la suite sont alignés.

De la même façon, une suite géométrique de raison strictement positive est une exponentielle prise aux entiers :

Ses points ne sont plus alignés : ils se creusent ou s'envolent.

Modéliser : linéaire ou exponentiel

Le choix du modèle tient à une seule question : qu'est-ce qui reste constant d'une étape à l'autre?

Une croissance exponentielle finit toujours par dépasser une croissance linéaire, quelle que soit la raison de celle-ci. La seule question est de savoir au bout de combien d'étapes.