Problèmes sur les suites en première

Un abonnement, une population, un remboursement : trois situations où la première question est toujours la même - ce qui se répète d'une étape à l'autre est-il une addition ou une multiplication ? La réponse décide de tout le reste.

Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique dans une situation concrète.
Donner le terme général, et calculer un terme de rang élevé.
Calculer une somme de termes consécutifs.
Comparer une croissance linéaire et une croissance exponentielle.

Deux salles de sport

La salle $A$ demande $180 \ \text{€}$ d'inscription puis $25 \ \text{€}$ par mois. La salle $B$ ne demande pas d'inscription, mais $40 \ \text{€}$ le premier mois, puis augmente sa cotisation de $2 \ \text{€}$ chaque mois.

Pour la salle $B$, on note $b_n$ la cotisation du mois $n$, avec $b_1 = 40$. Donner la nature de $(b_n)$ et son terme général.

Chaque mois ajoute $2 \ \text{€}$ : c'est une suite arithmétique de raison $2$.

$$ b_n = 40 + 2(n - 1) = 2n + 38 $$
Calculer le coût total d'une année dans chaque salle.

Salle $A$ : $180 + 12 \times 25 = 480 \ \text{€}$.

Salle $B$ : c'est la somme de douze termes d'une suite arithmétique.

$$ S = \frac{12 \times (b_1 + b_{12})}{2} = \frac{12 \times (40 + 62)}{2} $$

$$ S = 612 \ \text{€} $$
À partir de quel mois la cotisation de $B$ dépasse-t-elle celle de $A$ ?

$$ 2n + 38 > 25 \quad \Longleftrightarrow \quad n > -6{,}5 $$

Elle la dépasse dès le premier mois : $40 > 25$.
Sur une année, la salle $A$ revient-elle moins cher ? Et sur trois mois ?

Sur un an, $A$ coûte $480 \ \text{€}$ contre $612 \ \text{€}$ : $A$ est meilleure.

Sur trois mois : $A$ coûte $180 + 75 = 255 \ \text{€}$, $B$ coûte $40 + 42 + 44 = 126 \ \text{€}$.

C'est le droit d'inscription qui renverse la comparaison sur les durées courtes.

La population de truites

Un lac compte $4 \ 000$ truites. Chaque année, la population perd $20 \ \%$ de son effectif, et le pisciculteur en réintroduit $600$. On note $t_n$ l'effectif après $n$ années, avec $t_0 = 4 \ 000$.

Justifier que $t_{n+1} = 0{,}8 \, t_n + 600$, et calculer $t_1$ et $t_2$.

Perdre $20 \ \%$ revient à multiplier par $0{,}8$, puis on ajoute les $600$ truites réintroduites.

$$ t_1 = 0{,}8 \times 4 \ 000 + 600 = 3 \ 800 $$

$$ t_2 = 0{,}8 \times 3 \ 800 + 600 = 3 \ 640 $$
La suite $(t_n)$ est-elle géométrique ? Justifier.

$$ \frac{t_1}{t_0} = 0{,}95 \qquad \frac{t_2}{t_1} \approx 0{,}958 $$

Les quotients diffèrent : la suite n'est pas géométrique. Le terme constant $+600$ l'en empêche.
On pose $w_n = t_n - 3 \ 000$. Montrer que $(w_n)$ est géométrique, et donner sa raison.

$$ w_{n+1} = t_{n+1} - 3 \ 000 = 0{,}8 \, t_n + 600 - 3 \ 000 $$

$$ w_{n+1} = 0{,}8 \, t_n - 2 \ 400 = 0{,}8 \left( t_n - 3 \ 000 \right) $$

$$ w_{n+1} = 0{,}8 \, w_n : \text{géométrique de raison } 0{,}8 $$
En déduire $t_n$ en fonction de $n$, puis l'effectif au bout de $10$ ans.

$w_0 = 4 \ 000 - 3 \ 000 = 1 \ 000$, donc $w_n = 1 \ 000 \times 0{,}8^n$.

$$ t_n = 1 \ 000 \times 0{,}8^n + 3 \ 000 $$

$$ t_{10} = 1 \ 000 \times 0{,}8^{10} + 3 \ 000 \approx 3 \ 107 $$

La population se stabilise vers $3 \ 000$ truites, sans jamais descendre en dessous.

Le grain de riz sur l'échiquier

Une légende raconte qu'un inventeur demanda pour récompense un grain de riz sur la première case d'un échiquier, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite jusqu'à la soixante-quatrième.

Donner la nature de la suite du nombre de grains par case, et son terme général.

Chaque case double la précédente : suite géométrique de raison $2$, de premier terme $1$.

$$ g_n = 2^{\,n-1} \qquad \text{pour la case } n $$
Exprimer le nombre total de grains à l'aide de la formule de la somme.

$$ S = 1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{63} = \frac{2^{64} - 1}{2 - 1} $$

$$ S = 2^{64} - 1 $$
Un grain pèse $0{,}03 \ \text{g}$. Estimer la masse totale, en tonnes, sachant que $2^{64} \approx 1{,}84 \times 10^{19}$.

$$ m \approx 1{,}84 \times 10^{19} \times 0{,}03 = 5{,}5 \times 10^{17} \ \text{g} $$

$$ m \approx 5{,}5 \times 10^{11} \ \text{tonnes} $$

Soit environ $550$ milliards de tonnes - près de mille fois la production mondiale annuelle de riz.
Combien de grains les huit dernières cases représentent-elles, en proportion du total ?

Les huit dernières cases portent $2^{56} + \ldots + 2^{63} = 2^{56}\left(2^8 - 1\right) = 255 \times 2^{56}$.

$$ \frac{255 \times 2^{56}}{2^{64} - 1} \approx \frac{255}{256} $$

$$ \approx 99{,}6 \ \% $$

Presque tout le riz tient sur les huit dernières cases : c'est la signature d'une croissance exponentielle.