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Développement / factorisation

Développement

Il existe deux manières principales pour développer une expression :

1. Par une distributivité

C'est le pendant de la factorisation par un facteur commun.

$$ \textcolor{#4A8051}{k}(a+b) = \textcolor{#4A8051}{k} a + \textcolor{#4A8051}{k} b $$

On peut éventuellement avoir une double distributivité :

$$ (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd $$

2. Par une identité remarquable

On utilise souvent les deux premières identités remarquables, plutôt pour le développement car pour la factorisation elles sont plus difficiles à reconnaître.

La première :

$$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (1^{ \textit{ère}} \ id.rem.) $$
$$ (fact.) \hspace{0.8em} \longleftrightarrow\hspace{0.8em} (d\textit{é}v.) $$



Exemple :

$$ (3+4x)^2 = \ 3^2 + \ 3 \times 4x + (4x)^2 $$
$$ (3+4x)^2 =\ 3^2 + \ 3 \times 4x + 16x^2 $$
$$ (3+4x)^2 = 9 + 12x + 16x^2 $$



La seconde identité remarquable est la même, avec un signe \((-)\) devant le double produit :

$$ (a \textcolor{#4A8051}{-} b)^2 = a^2 \textcolor{#4A8051}{-} 2ab + b^2 \qquad (2^{ \textit{ème}} \ id.rem.) $$
$$ (fact.) \hspace{0.8em} \longleftrightarrow\hspace{0.8em} (d\textit{é}v.) $$

Développement

1. En identifiant un facteur commun

$$ \textcolor{#4A8051}{k} a + \textcolor{#4A8051}{k} b = \textcolor{#4A8051}{k}(a+b) $$
$$ (d\textit{é}v.) \hspace{0.8em} \longleftrightarrow\hspace{0.8em} (fact.) $$



Exemple :

$$ 3xy + 6y = 3y \times (x + 2) $$



Attention : s'il n'y a rien, il y a 1 (et non 0). Par exemple, un prix taxé :

$$P_{TTC} = \ \underline{P_{HT}} \textcolor{#6187B2}{\times \ 1} + \ \underline{P_{HT}} \times \ t$$

On reconnaît \(P_{HT}\) comme facteur commun :

$$P_{TTC} = \ \underline{P_{HT}} \times \ (\textcolor{#6187B2}{1} + t)$$

(si jamais on mettait 0 à la place de \(\textcolor{#6187B2}{1}\), le prix hors taxe \(P_{HT}\) aurait disparu)