Développement / factorisation

Forme factorisée / forme développée

Une forme factorisée est une expression qui contient uniquement des facteurs.

Par opposition, une forme développée est une expression qui ne contient que des termes.

Exemple :

$$ (x-3)(x-1) \qquad (\text{factorisée}) $$

$$ x^2 -4x + 3 \qquad (\text{développée}) $$

On peut (si le cas s'y prête) aller d'une forme à l'autre, soit en factorisant, soit en développant selon la forme initiale.

Il existe deux manières principales pour développer une expression :

$$ \textcolor{#58814B}{k}(a+b) = \textcolor{#58814B}{k} a + \textcolor{#58814B}{k} b $$

$$ (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd $$

$$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (1^{ \text{ère}} \text{ id. rem.}) $$

Exemple :

$$ (3+4x)^2 = 3^2 + 2 \times 3 \times 4x + (4x)^2 $$

$$ (3+4x)^2 = 3^2 + 24x + 16x^2 $$

$$ (3+4x)^2 = 9 + 24x + 16x^2 $$

La seconde identité remarquable est la même, avec un signe $(-)$ devant le double produit :

$$ (a \textcolor{#58814B}{-} b)^2 = a^2 \textcolor{#58814B}{-} 2ab + b^2 \qquad (2^{ \text{ème}} \text{ id. rem.}) $$

$$ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \qquad (3^{ \text{ème}} \text{ id. rem.}) $$

Exemple :

$$ (x + 4)(x - 4) = x^2 - 16 $$

$$ \textcolor{#58814B}{k} a + \textcolor{#58814B}{k} b = \textcolor{#58814B}{k}(a+b) $$

Exemple :

$$ 2x + 4 = 2 \times (x + 2) $$

$$ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \qquad (3^{ \text{ème}} \text{ id. rem.}) $$