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Forme factorisée / forme développée
Une forme factorisée est une expression qui contient uniquement des facteurs.
Par opposition, une forme développée est une expression qui ne contient que des termes.
Exemple :
$$ (x-3)(x-1) \qquad (\text{factorisée}) $$
$$ x^2 -4x + 3 \qquad (\text{développée}) $$
On peut (si le cas s'y prête) aller d'une forme à l'autre, soit en factorisant, soit en développant selon la forme initiale.
Développement
Il existe deux manières principales pour développer une expression :
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Par une distributivité
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Simple distributivité$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{k}(a+b) = \textcolor{rgb(93 183 129)}{k} a + \textcolor{rgb(93 183 129)}{k} b $$
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Double distributivité$$ (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd $$
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Par une identité remarquable
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Première identité remaquarble$$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (1^{ \text{ère}} \text{ id. rem.}) $$
Exemple :
$$ (3+4x)^2 = 3^2 + 2 \times 3 \times 4x + (4x)^2 $$$$ (3+4x)^2 = 3^2 + 24x + 16x^2 $$$$ (3+4x)^2 = 9 + 24x + 16x^2 $$ -
Deuxième identité remaquarble
La seconde identité remarquable est la même, avec un signe \((-)\) devant le double produit :
$$ (a \textcolor{rgb(93 183 129)}{-} b)^2 = a^2 \textcolor{rgb(93 183 129)}{-} 2ab + b^2 \qquad (2^{ \text{ème}} \text{ id. rem.}) $$ -
Troisième identité remaquarble$$ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \qquad (3^{ \text{ème}} \text{ id. rem.}) $$
Exemple :
$$ (x + 4)(x - 4) = x^2 - 16 $$
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Factorisation
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En identifiant un facteur commun$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{k} a + \textcolor{rgb(93 183 129)}{k} b = \textcolor{rgb(93 183 129)}{k}(a+b) $$
Exemple :
$$ 2x + 4 = 2 \times (x + 2) $$ -
En identifiant une différence de carré (3 ème identité remarquable)$$ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \qquad (3^{ \text{ème}} \text{ id. rem.}) $$