Le nombre de carrés à compter

L'objectif de cette activité va être de déterminer par une formule :

« Quel est le nombre total de carrés présents à l'intérieur d'un grand carré divisé en \(n\) parties égales dans les deux dimensions ? »

Comptage de carrés à l'intérieur de carrés

Cas d'un carré coupé en deux

Avec la figure suivante, déterminer le nombre de carrés présents.

Cas d'un carré coupé en trois

De même, avec cette nouvelle figure, déterminer le nombre de carrés présents.

Cas d'un carré coupé en quatre

Enfin, déterminer le nombre de carrés présents pour un carré coupé en quatre dans les deux dimensions.

Modélisation pour un découpage en \(n\) parties

Calcul de carrés

1. Calculer les carrés des premiers nombres entiers de 1 à 5.
   $$ 1^2 = 1 $$

   $$ 2^2 = 4 $$

   $$ 3^2 = 9 $$

   $$ 4^2 = 16 $$

   $$ 5^2 = 25 $$
2. En jetant un oeil aux trois cas précédents, que remarquez-vous alors ?

   On remarque un schéma répétitif. À chaque fois, on additionne les carrés de 1 au nombre de découpage.

   Pour le carré coupé en 2 :

   $$ 1^2 + 2^2 = 5 \text{ carrés} $$

   Pour le carré coupé en 3 :

   $$ 1^2 + 2^2 + 3^2 = 14 \text{ carrés} $$

   Et pour le carré coupé en 4 :

   $$ 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 30 \text{ carrés} $$
3. Avec cette analyse, pouvez-vous déjà prévoir combien de carrés seront contenus dans un carré découpé en 5 parties dans les deux dimensions ?

   Oui, ce sera donc :

   $$ N = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 $$

   $$ N = 55 \text{ carrés} $$
4. Dessiner alors ce grand carré coupé en 5 parties égales, et vérifier votre résultat.