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Problèmes sur les nombres fractionnaires

Challenge de conversion

Compléter le tableau suivant, en arrondissant si besoin au centième près.

Multiplications et divisions

Calculer les résultats des opérations suivantes.

1. $$ A = 2 \times \frac{3}{4}$$
2. $$ B = 5 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} $$
3. $$ C = \frac{5}{7} \times \frac{7}{3} \times \left(-\frac{1}{2}\right) $$
4. $$ D = \frac{3}{4} \div \frac{3}{4} $$

Challenge dessin

Créer un carré de \(12 \times 12\) carreaux et:

1. Colorier un demi en vert;
2. Colorier un quart en bleu;
3. Colorier un sixième en rouge;


4. Calculer la partie restée incolore en comptant sur le dessin.

On dispose de \(12 \times 12\) carreaux, c'est-à-dire \(144\) carreaux.

On appelle le tout \(T\) et la partie incolore \(I\).

• En comptant sur le dessin :

Sur le dessin, la partie non coloriée représente \(1 \times 12 = 12\) carreaux :

On a donc :

$$ I = T \times \frac{12}{144} $$
$$ I = T \times \frac{\cancel{12} \times 1}{\cancel{12} \times 12} $$
$$ I = \frac{T}{12}$$

Cas pratique de la vie réelle

1. On souhaite savoir la surface d'une pièce avec les dimensions suivantes :

   $$ \left \{ \begin{align*} L = \frac{5}{4} \ de \ m \\ \\ l = 3 \ m \end{align*} \right \} $$

   Que vaut cette surface ?

Cette surface vaut :

$$ S = L \times l $$

$$ S = \frac{5}{4} \times 3 $$

$$ S = \frac{5 \times 3}{4} $$

$$ S = \frac{15}{4} \text{ de m}$$

2. Le réservoir d'essence d'un tracteur est rempli aux \(\frac{5}{6}\).

   Lors de semage du blé, le tracteur en a consommé la moitié.

   Quelle part a-t-il alors consommé ?

Il en a consommé :

$$ C = \frac{5}{6} \times \frac{1}{2} $$

$$ C = \frac{5 \times 1}{6 \times 2} $$

$$ C = \frac{5}{12} \text{ d'essence} $$

3. Un agriculteur souhaite léguer à ces trois fils sa parcelle de champs, qui mesure les trois quarts d'un hectare.

   Combien va-t-il léguer à chaque fils ?

Il va léguer :

$$ H = \frac{3}{4} \div 3 $$

$$ H = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} $$

$$ H = \frac{\cancel{3}}{4} \times \frac{1}{\cancel{3}} $$

$$ H = \frac{1}{4} \text{ d'ha}$$

4. Un fermier a récolté cinq sixièmes des pommes d'un arbre contenant 60 pommes en tout.

   S'il donne un cinquième de cette récolte à son voisin, combien lui aura-t-il donné ?

Le nombre de pommes récoltées est :

$$ N_p = \frac{5}{6} \times 60 $$

$$ N_p = \frac{5 \times 60}{6} $$

$$ N_p = \frac{5 \times \cancel{2} \times 30}{\cancel{2} \times 3} $$

$$ N_p = \frac{5 \times \cancel{3} \times 10}{\cancel{3}} $$

$$ N_p = 50 \text{ pommes}$$

Il va donner à son voisin :

$$ N_d = 50 \times \frac{1}{5}$$

$$ N_d = \frac{5 \times 10}{5}$$

$$ N_d = \frac{\cancel{5} \times 10}{\cancel{5}}$$

$$ N_d = 10 \text{ pommes}$$

5. Une employé de centre équestre dispose de trois quarts de tonnes de foin pour nourrir ses chevaux.

   Les chevaux sont au nombre de six sur le centre, quelle fraction va être donnée à chaque cheval ?

La fraction donnée à chaque cheval sera de :

$$ F = \frac{3}{4} \div 6 $$

$$ F = \frac{3}{4} \times \frac{1}{6} $$

$$ F = \frac{\cancel{3} \times 1}{2 \times 2 \times \cancel{3} \times 2} $$

$$ F = \frac{1}{6} \text{ de tonnes} $$

6. Un entraîneur d'équitation a rempli les quatre cinquièmes d'une arène avec du sable d'entraînement.

   Par ailleurs, il a utilisé les trois quarts de ce sable pour remplir la section "saut d'obstacles".

   Quelle part de tout le sable est contenue dans cette dernière ?

La part de sable contenue dans la section "saut d'obstacles" représente :

$$ P = \frac{4}{5} \times \frac{3}{4} $$

$$ P = \frac{\cancel{4}}{5} \times \frac{3}{\cancel{4}} $$

$$ P = \frac{3}{5} \text{ du sable} $$

7. Dans le club "Équitation pour tous", une séance dure trois quarts d'heures.

   S'il y a quatre participants, combien de temps le professeur va-t-il pouvoir consacrer à chacun des élèves ?

Chaque élève va pouvoir bénéficier de :

$$ T = \frac{3}{4} \div 4 $$

$$ T = \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} $$

$$ P = \frac{3}{16} \text{ d'une heure} $$