Les puissances et l'écriture scientifique

Puissances de $x$

Soit deux nombres $(x, y)$ deux réels, et $(a, b)$ deux entiers naturels.

On définit une puissance de $x$ par :

$$ x^a = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ $a$ facteurs } $$

$$ (xy)^a = \hspace{0.2em} x^a \times y^a $$

$$ \left(\frac{x}{y} \right)^a = \frac{x^a}{y^a} $$

$$ (avec \ y \neq 0) $$

$$ x^a \times x^b = x^{a+b} $$

$$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$

$$ x^0 = 1 $$

Propriété	Condition	Formule
Puissance de produit	$$ $$	$$ (xy)^a = x^a y ^a $$
Puissance de quotient	$$ y \neq 0 $$	$$ \left( \frac{x}{y} \right)^a = \frac{x^a}{y^a} $$
Produit de puissances différentes	$$ $$	$$ x^a x^b = x^{a+b} $$
Quotient de puissances différentes	$$ x \neq 0 $$	$$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$
Nombre à la puissance zéro	$$ x \neq 0 $$	$$ x^0 = 1 $$

Exemples :

$$ (3 \times 7)^2 = 3^2 \times 7^2 $$

$$ 10^9 \times 10^9 = 10^{9 + 9} = 10^{18} $$

$$ \frac{10^6}{10^2} = 10^{6 - 2} = 10^{4} $$

L'écriture scientifique va permettre de faire des calculs plus facilement :

Dans cette écriture, on note un nombre sous forme de nombre à virgules, multiplié par une puissance de 10.

Exemple : $1.8 \times 10^{7}$

Ce nombre à virgules est toujours formé par :

$$ -10 < c \leqslant 1 \leqslant c < 10 $$

après la virgule : autant de chiffres que l'on veut, en respectant la logique des chiffres significatifs (présentée au point suivant).

Exemple : la distance Terre-lune.

$$ D_{Terre-lune} = 384 \ 400 \ km $$

En écriture scientifique, on écrit :

$$ D_{Terre-lune} = 3.844 \times 10 ^5 \ km $$

Maintenant, en utilisant les unités du système international $(S.I.)$, on écrit :

$$D_{[Terre-lune]} = 3.844 \times 10 ^8 \ m $$

On appelle l'ordre de grandeur d'un nombre, la puissance de 10 qui est associée à son écriture scientifique.