Les puissances et l'écriture scientifique

Puissances de $x$

Soit deux nombres $(x, y)$ deux réels, et a un entier naturel.

On définit une puissance de $x$ par :

$$ x^a = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ $a$ facteurs } $$

Exemples :

$$ 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 $$

$$ 10^2 = 10 \times 10 = 100 $$

$$ x^a \times x^b = x^{a+b} $$

Exemple :

$$ 1 \ 000 \times 100 = 100 \ 000 $$

Et avec la formule :

$$ 10^3 \times 10^2 = 10^{3 + 2} = 10^5 \hspace{2em} (= 100 \ 000) $$

$$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$

Exemple :

$$ \frac{1 \ 000}{100} = 10 $$

Et avec la formule :

$$ \frac{10^3}{10^2} = 10^{3 - 2} = 10^1 \hspace{2em} (= 10) $$

L'écriture scientifique va permettre de faire des calculs plus facilement :

Dans cette écriture, on note un nombre sous forme de nombre à virgules, multiplié par une puissance de 10.

Exemple : $1.8 \times 10^{7}$

$$ \underbrace{1.8} _\text{nombre $D$} \times \underbrace{10^{7}} _\text{puissance de $10$} $$

Ce nombre à virgules est toujours formé par :

avant la virgule : un nombre décimal (positif ou négatif) $D$ différent de 0, tel que :

$$ -10 < D \leqslant - 1 $$

$$ 1 \leqslant D < 10 $$

après la virgule : autant de chiffres que l'on veut, en respectant la logique des chiffres significatifs (présentée au point suivant).

Exemple : la distance Terre-lune.

$$ D_{Terre-lune} = 384 \ 400 \ km $$

En écriture scientifique, on écrit :

$$ D_{Terre-lune} = 3.844 \times 10 ^5 \ km $$

On appelle l'ordre de grandeur d'un nombre, la puissance de 10 qui est associée à son écriture scientifique.