Les puissances et l'écriture scientifique

Puissances de \(x\)

Soit deux nombres \((x, y)\) deux réels, et a un entier naturel.

On définit une puissance de \(x\) par :

Exemples :

1. Produit de puissances (de même base)
   $$ x^a \times x^b = x^{a+b} $$

   Exemple :

   $$ 1 \ 000 \times 100 = 100 \ 000 $$

   Et avec la formule :

   $$ 10^3 \times 10^2 = 10^{3 + 2} = 10^5 \hspace{2em} (= 100 \ 000) $$
2. Quotient de puissances (de même base)
   $$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$

   Exemple :

   $$ \frac{1 \ 000}{100} = 10 $$

   Et avec la formule :

   $$ \frac{10^3}{10^2} = 10^{3 - 2} = 10^1 \hspace{2em} (= 10) $$

L'écriture scientifique

1. Présentation

   L'écriture scientifique va permettre de faire des calculs plus facilement :

   • avec de très grands nombres (astrophysique)

   • avec de très petits nombres (microbiologie, physique)

   
   

   Dans cette écriture, on note un nombre sous forme de nombre à virgules, multiplié par une puissance de 10.

   Exemple : \(1.8 \times 10^{7}\)

   $$ \underbrace{1.8} _\text{nombre \(D\)} \times \underbrace{10^{7}} _\text{puissance de \(10\)} $$
   
   

   Ce nombre à virgules est toujours formé par :

   • avant la virgule : un nombre décimal (positif ou négatif) \(D\) différent de 0, tel que :

     $$ -10 < D \leqslant - 1 $$

     ou

     $$ 1 \leqslant D < 10 $$

   • après la virgule : autant de chiffres que l'on veut, en respectant la logique des chiffres significatifs (présentée au point suivant).

   
   

   Exemple : la distance Terre-lune.

   $$ D_{Terre-lune} = 384 \ 400 \ km $$

   En écriture scientifique, on écrit :

   $$ D_{Terre-lune} = 3.844 \times 10^5 \ km $$
2. Ordre de grandeur

   On appelle l'ordre de grandeur d'un nombre , la puissance de 10 qui est associée à son écriture scientifique .

   
   

   Exemple : la distance Terre-lune.

   $$ D_{Terre-lune} = 3.844 \times 10^\textcolor{rgb(232 124 124)}{5} \ km $$
   $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{\bigl(\text{l'ordre de grandeur est } 5 \bigr)} $$