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Problèmes sur les puissances

Conversion de nombres sous forme de puissance de 10

Écrire ces nombres sous forme d'une puissance de 10, et dans l'unité standard, le mètre (\(m\)).

  1. 1 000 m
    $$ 10^3 \ m$$
  2. 0.001 cm
    $$ 10^{-6} \ \bigl[ cm \bigr] $$
    $$ 10^{-6} \textcolor{#8B6969}{\times 10^{-2} \ \bigl[ m \bigr]} $$
    $$ 10^{-6 - 2} \ \bigl[ m \bigr] $$
    $$ 10^{-8} \ \bigl[ m \bigr] $$
  3. 1 000 km
    $$ 10^3 \ \bigl[ km \bigr] $$
    $$ 10^3 \textcolor{#8B6969}{\times 10^{3} \ \bigl[ m \bigr]} $$
    $$ 10^6 \ \bigl[ m \bigr] $$
  4. 1 000 000 km
    $$ 10^{6} \ \bigl[ km \bigr] $$
    $$ 10^{6} \textcolor{#8B6969}{\times 10^{3} \ \bigl[ m \bigr]} $$
    $$ 10^{9} \ \bigl[ m \bigr] $$

Challenge conversions décimaux \(\longleftrightarrow\) scientifique

Compléter le tableau suivant, en arrondissant si besoin au centième près pour la notation scienfifique.

Décimal
Écriture scientifique
$$ 0.5 $$
$$ $$
$$ $$
$$ 1.5 \times 10^{-1} $$
$$ $$
$$ 2.75 \times 10^{4} $$
$$ 0.003 $$
$$ $$
$$ $$
$$ 2.0 \times 10^{0} $$
$$ 23 \ 000 \ 000 $$
$$ $$
$$ 0.000001 $$
$$ $$
$$ $$
$$ 4.5 \times 10^{9} $$
Décimal
Écriture scientifique
$$ 0.5 $$
$$ 5.0 \times 10^{-1} $$
$$ 0.15 $$
$$ 1.5 \times 10^{-1} $$
$$ 27 \ 500 $$
$$ 2.75 \times 10^{4} $$
$$ 0.003 $$
$$ 3.0 \times 10^{-3} $$
$$ 2 $$
$$ 2.0 \times 10^{0} $$
$$ 23 \ 000 \ 000 $$
$$ 23.0 \times 10^{6} $$
$$ 0.000001 $$
$$ 1.0 \times 10^{-6} $$
$$ 4 \ 500 \ 000 \ 000 $$
$$ 4.5 \times 10^{9} $$
correspondances entre forme décimale et forme scientifique

Les calculs doivent apparaître ci-dessous :

Écriture scientifique

Écrire ces situations en utilisant l'écriture scientifique et dans l'unité standard (\(m, kg, s, ...etc.\)).

  1. Un agriculteur utilise 2 500 000 litres d'eau pour irriguer un champ.
    $$ V = 2.5 \times 10^{6} \ \bigl[L\bigr] $$

    Soit en unité standard :

    $$ V = 2.5 \times 10^{3} \ \bigl[m^3\bigr] $$
  2. Une graine de blé pèse environ 0.000035 kg.
    $$ P = 3.5 \times 10^{-5} \ \bigl[kg\bigr] $$
  3. Un tracteur consomme 0.00012 litres de carburant par seconde.
    $$ C = 1.2 \times 10^{-4} \ \ \frac{\bigl[L\bigr]}{\bigl[s\bigr]} $$

    Comme \(\textcolor{#8B6969}{1 \ L}\) vaut \(\textcolor{#8B6969}{10^{-3} \ m^3}\), alors en unité standard :

    $$ C = 1.2 \times 10^{-4} \ \times \frac{\textcolor{#8B6969}{10^{-3} \ \bigl[m^3\bigr]}}{\bigl[s\bigr]} $$
    $$ C = 1.2 \times 10^{-7} \ \frac{\bigl[m^3\bigr]}{\bigl[s\bigr]} $$

Ordres de grandeur d'engins

La liste suivante contient des engins, avec leurs vitesse maximum respective :

  1. Convertir ces données dans l'unité standard de physique, le \(m/s\) en arrondissant à deux chiffres après la virgule.

    • Tracteur : \(\sim 11.11 \ m/s\)

    • Formule 1 : \(\sim 102.78 \ m/s\)

    • Avion de ligne : \(\sim 333.33 \ m/s\)

    • Vélo : \(\sim 9.72 \ m/s\)

    • Charrue : \(\sim 4.17 \ m/s\)

  2. Convertir ces valeurs en écritures scientifiques.

    • Tracteur : \(\sim 1.1 \times 10^1 \ m/s\)

    • Formule 1 : \(\sim 1.0278 \times 10^2 \ m/s\)

    • Avion de ligne : \(\sim 3.3333 \times 10^2 \ m/s\)

    • Vélo : \(\sim 9.72 \ m/s\)

    • Charrue : \(\sim 4.17 \ m/s\)

  3. Enfin, remplir le tableau suivant et en déduire pour chaque l'ordre de grandeur.
    Vitesse
    Engin
    Tracteur
    Formule 1
    Avion de ligne
    Vélo
    Charrue
    Écriture scientifique
    Ordre de grandeur
    Engin
    Vitesse
    Tracteur
    Formule 1
    Avion de ligne
    Vélo
    Charrue
    Écriture scientifique
    $$ 1.1 \times 10^1 $$
    $$ 1.0278 \times 10^2 $$
    $$ 3.3333 \times 10^2 $$
    $$ 9.72 $$
    $$ 4.17 $$
    Ordre de grandeur
    1
    2
    2
    0
    0

Problèmes appliqués

Pour chaque réponse, exprimer le résultat sous forme scientifique.

  1. Une ferme produit \(7.8 \times 10^5 \) kg de blé. Si un sac peut contenir 50 kg, combien de sacs sont nécessaires pour transporter toute la récolte ?

    Il faut faire un produit en croix.

    $$ \frac{7.8 \times 10^5 \ \bigl[ kg \bigr]}{ N \ \bigl[ sacs \bigr] } = \frac{50 \ \bigl[ kg \bigr]}{ 1 \ \bigl[ sacs \bigr] } $$
    $$ N = \frac{7.8 \times 10^5 \times 1}{50} $$
    $$ N = 15 \ 600 \text{ sacs} $$
  2. Une goutte d'engrais liquide contient \(2 \times 10^5 \) litres. Combien faut-il de gouttes pour obtenir un litre d'engrais ?

    Il faut faire un produit en croix.

    $$ \frac{1 \ \bigl[ gouttes \bigr]}{ 2 \times 10^5 \ \bigl[ L \bigr] } = \frac{G \ \bigl[ gouttes \bigr]}{ 1 \ \bigl[ L \bigr] } $$
    $$ G = \frac{1 \times 1}{2 \times 10^5} $$
    $$ N = 5 \times 10^{-6} \text{ gouttes} $$
  3. Un agriculteur parcourt \( 10^3 \) mètres pour vérifier ses cultures. S'il fait 5 fois ce trajet par jour, quelle distance totale aura-t-il parcouru en une journée ?

    Il aura tout simplement parcouru :

    $$ D = 5 \times 10^{3} \text{ m} $$

Problème d'astronomie

La lumière se déplace dans l'espace à la vitesse de 300 000 km par seconde.

  1. Convertir cette vitesse en \(m/s\)
    $$ V_L = 300 \ 000 \ \frac{\bigl[km\bigr]}{\bigl[s\bigr]} $$

    Or, on sait que :

    $$ 1 \ \bigl[km\bigr] = 1000 \ \bigl[m\bigr] $$

    Alors, on peut remplacer en faisant la jointure par une multiplication :

    $$ V_L = 300 \ 000 \times \frac{\textcolor{#8B6969}{1000 \ \bigl[m\bigr]}}{\bigl[s\bigr]} $$
    $$ V_L = 300 \ 000 \ 000 \ \frac{\bigl[m\bigr]}{\bigl[s\bigr]} $$
  2. Mettre cette grande vitesse sous forme scientifique.
    $$ V_L = 300 \ 000 \ 000 \ \frac{\bigl[m\bigr]}{\bigl[s\bigr]} $$
    $$ V_L = 3 \times 10 ^{8} \ \frac{\bigl[m\bigr]}{\bigl[s\bigr]} $$

  3. Une année-lumière est la distance parcourue par la lumière en un an.

    Sachant qu'un an comporte 31 557 600 secondes, calculer la distance correspondante à une année-lumière.

    $$ D_{A.L.} = 3 \times 10 ^{8} \ \frac{\bigl[m\bigr]}{\bigl[s\bigr]} \times 31 \ 557 \ 600 \ \bigl[s\bigr] $$
    $$ D_{A.L.} = 9.46728 \times 10^{15} \bigl[m\bigr] $$