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Calcul sur les solides en contexte agricole

Les rondins de bois

1. Un rondin a un diamètre de \(30 \ cm\) et une longueur de \(4 \ m\). Calculez son volume en mètres cubes.

$$ \mathcal{V} = \pi r^2 \times h $$
Seulement, il faut tout convertir en mètres.
Le diamètre vaut :
$$ D = 30 \ cm = 0.3 \ m $$
Et donc le rayon vaut :
$$ r = \frac{0.3}{2} = 0.15 \ m $$


Alors, on remplace dans la formule :
$$ \mathcal{V} = \pi (0.15)^2 \times 4 $$
$$ \mathcal{V} \approx 0.28 \ m^3 $$

2. Si l'agriculteur a \(50\) rondins identiques, quel est le volume total de bois ?

$$ \mathcal{V}_{total} = 50 \times 0.28 $$
$$ \mathcal{V}_{total} \approx 14.14 \ m^3 $$

3. Estimez le poids total de ces rondins si \(1 \ m^3\) de bois pèse environ \(500\) kg. Convertir ce poids en tonnes.

On peut faire un produit en croix :

$$ \frac{1 \ \bigl[m^3\bigr]}{500 \ \bigl[kg \bigr] } = \frac{14.14 \ \bigl[m^3\bigr]}{\textcolor{#9F6A6A}{P_{total}} \ \bigl[kg \bigr] } $$

$$ P_{total} \approx \frac{500 \times 14.14}{1} $$

$$ P_{total} \approx 7 \ 070 \ kg $$

$$ P_{total} \approx 7.07 \ t $$

4. Supposez que le bois se vend à \(300 \text{ €/t}\). Quel est le revenu potentiel pour les \(50\) rondins ?

On fait à nouveau un produit en croix :

$$ \frac{300\ \bigl[\text{€}\bigr]}{1 \ \bigl[t \bigr] } = \frac{\textcolor{#9F6A6A}{X} \ \bigl[\text{€}\bigr]}{7.07 \ \bigl[t \bigr] } $$

$$ X \approx \frac{300 \times 7.07}{1} $$

$$ X \approx 2 \ 121 \text{ €} $$

5. Pour transporter chaque rondin, on les emballe avec une bande de protection autour. Calculez la surface latérale d'un rondin pour estimer la longueur de bande nécessaire (sans les bases).

$$ \mathcal{S}_{total} = 2\pi r h $$
$$ \mathcal{S}_{total} = 2\pi \times 300 \times 4 $$
$$ \mathcal{S}_{total} \approx 3.77 \ m^2 $$

Le silo à grains

1. Calculer le volume en mètres cube d'un silo cylindrique a un rayon de \(2 \ m\) et une hauteur de \(10 \ m\).

$$ \mathcal{V} = \pi r^2 h $$
$$ \mathcal{V} = \pi \times 2^2 \times 10 $$
$$ \mathcal{V} \approx 125.67 \ m^3 $$

2. Quelle masse de grains (en tonnes) peut-il peut contenir, sachant que : (\(1 \ m^3 ≈ 750 \ kg\) de blé).

On peut faire un produit en croix :

$$ \frac{1 \ \bigl[m^3\bigr]}{750 \ \bigl[kg \bigr] } = \frac{125.67 \ \bigl[m^3\bigr]}{\textcolor{#9F6A6A}{M} \ \bigl[kg \bigr] } $$

$$ M \approx \frac{750 \times 125.67}{1} $$

$$ M \approx 94 \ 252.5 \text{ kg} $$

$$ M \approx 94.25 \text{ t} $$

3. À combien est estimé un silo plein si le grain coûte \(200 \text{ €/t}\) ?

On fait à nouveau un produit en croix :

$$ \frac{200 \ \bigl[\text{€}\bigr]}{1 \ \bigl[t \bigr] } = \frac{\textcolor{#9F6A6A}{X} \ \bigl[\text{€}\bigr]}{94.25 \ \bigl[t \bigr] } $$

$$ X \approx \frac{200 \times 94.25}{1} $$

$$ X \approx 18 \ 850 \text{ €} $$

4. Comparaison : Si on remplace maintenant le silo par un prisme rectangulaire de base carrée (côté de \(4 \ m\)) et de même hauteur (\(10 \ m\)), quel serait son volume ?

$$ \mathcal{V}_2 = Llh $$
$$ \mathcal{V}_2 = 4 \times 4 \times 10 $$
$$ \mathcal{V}_2 = 160 \ m^3 $$

5. Lequel est plus efficace pour le stockage (plus de volume pour la même hauteur) ?

Le prisme est plus volumineux, mais le cylindre est généralement préféré pour sa forme, qui favorise l'écoulement du grain.

La caisse à outils

1. La caisse à outils est un prisme rectangulaire de dimensions suivantes :

$$ avec \enspace \left \{ \begin{gather*} \text{longueur} : L = 2 \ m \\ \text{largeur} : l = 1 \ m \\ \text{hauteur} : h = 1.5 \ m \end{gather*} \right \} $$

Calculez sa surface en mètres carrés.

$$ \mathcal{S} = 2Lh + 2lh + 2Ll $$
$$ \mathcal{S} = 2 \times 2 \times 1.5 + 2 \times 1 \times 1.5 + 2 \times 2 \times 1 $$
$$ \mathcal{S} = 13 \ m^2 $$

2. Si \(1 \ m^2\) nécessite \(0.1 \ L\) de peinture, combien de litres de peinture faut-il pour la peindre entier ?

On fait à nouveau un produit en croix :

$$ \frac{1 \ \bigl[m^2\bigr]}{0.1 \ \bigl[L \bigr] } = \frac{13 \ \bigl[m^2\bigr]}{\textcolor{#9F6A6A}{V_p} \ \bigl[L \bigr] } $$

$$ V_p = \frac{13 \times 0.1}{1} $$

$$ V_p = 1.3 \ L $$

Annexe : aires et volumes

Le prisme rectangulaire

Le cylindre