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Indicateurs statistiques

Pour illustrer ce qui va suivre, on se servira de cette série de données pour l'exemple :

Taille (m)
1.75
1.76
1.77
1.78
1.79
1.80
1.81
1.82
Effectif
1
2
2
4
3
4
2
1
données de tailles et effectif correspondant

Lexique du langage statistique

Minimum / maximum

Le minimum d'une série statistique est la plus petite valeur de la série.

Le maximum d'une série statistique est la plus grande valeur de la série.

Exemple :

Comme la série porte sur des tailles, le minimum est 1.75 m, et le maximum est 1.82 m.

Étendue

L'étendue de la série est la différence entre le maximum et le minimum .

Exemple :

Ici, l'étendue vaut :

$$ 1.82 - 1.75 = 0.7 m $$

Moyenne / médiane

Moyenne (arithmétique)

La moyenne arithmétique vaut le rapport suivant :

$$ \overline{x} = \frac{somme \ des \ valeurs}{nombre \ total \ de \ valeurs} $$

Exemple :

Avec notre série statistique, cette moyenne vaut :

$$ \overline{x} = \frac{1.75 \times \textcolor{#6187B2}{1} + 1.76 \times \textcolor{#6187B2}{2} + 1.77 \times \textcolor{#6187B2}{2} + 1.78 \times \textcolor{#6187B2}{4} + 1.79 \times \textcolor{#6187B2}{3} + 1.80 \times \textcolor{#6187B2}{4} + 1.81 \times \textcolor{#6187B2}{2} + 1.82 \times \textcolor{#6187B2}{1}}{\textcolor{#6187B2}{1} + \textcolor{#6187B2}{2} + \textcolor{#6187B2}{2} + \textcolor{#6187B2}{4} + \textcolor{#6187B2}{3} + \textcolor{#6187B2}{4} + \textcolor{#6187B2}{2} + \textcolor{#6187B2}{1}} $$
$$ \overline{x} \approx 1.79 \ m $$

Médiane, quartiles

Avant de chercher la médiane \((M)\) et les quartiles \((Q_1, Q_3)\), il faut dans un premier temps ranger les données en ordre croissant (ou par ordre alphabétique), en laissant les répétitions éventuelles.

$$ X = \Bigl \{ \underbrace{1.75} _\text{1}, \ \underbrace{1.76, \ 1.76} _\text{2}, \ \underbrace{1.77, \ 1.77} _\text{2}, \ \underbrace{1.78, \ 1.78, \ 1.78, \ 1.78} _\text{4}, \ \underbrace{1.79, \ 1.79, \ 1.79} _\text{3}, \ \underbrace{1.80, \ 1.80, \ 1.80, \ 1.80} _\text{4}, \ \underbrace{1.81, \ 1.81} _\text{2}, \ \underbrace{1.82} _\text{1} \Bigr \} $$

  1. Médiane \( : M\)

    La médiane

    La médiane est la valeur centrale d'un jeu de données.

    Dans le cas d'un nombre pair de valeurs, on prend moyenne des deux valeurs centrales .

    Dans les faits, c'est la valeur du \(\frac{n}{2}\)-ième individu.

      Exemples :


    • Si \(n\) est impair :

      Dans notre cas, \((n = 19)\), donc impair :

      $$ (n = 19) \Longrightarrow \frac{n}{2} = 9.5 $$

      On doit prendre la 10 ème valeur :

      $$ X = \Bigl \{ \underbrace{1.75} _\text{1}, \ \underbrace{1.76, \ 1.76} _\text{2}, \ \underbrace{1.77, \ 1.77} _\text{2}, \ \underbrace{1.78, \ 1.78, \ 1.78, \ 1.78} _\text{4}, \ \underbrace{\textcolor{rgb(232 124 124)}{1.79}, \ 1.79, \ 1.79} _\text{3}, \ \underbrace{1.80, \ 1.80, \ 1.80, \ 1.80} _\text{4}, \ \underbrace{1.81, \ 1.81} _\text{2}, \ \underbrace{1.82} _\text{1} \Bigr \} $$
      $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{M = 1.79 \ m} $$

    • Si \(n\) est pair :

      Admettons qu'on ait la dernière valeur en moins pour obtenir \((n = 18)\) valeurs :

      $$ X = \Bigl \{ \underbrace{1.75} _\text{1}, \ \underbrace{1.76, \ 1.76} _\text{2}, \ \underbrace{1.77, \ 1.77} _\text{2}, \ \underbrace{1.78, \ 1.78, \ 1.78, \ 1.78} _\text{4}, \ \underbrace{1.79, \ 1.79, \ 1.79} _\text{3}, \ \underbrace{1.80, \ 1.80, \ 1.80, \ 1.80} _\text{4}, \ \underbrace{1.81, \ 1.81} _\text{2} \Bigr \} $$
      $$ (n = 18) \Longrightarrow \frac{n}{2} = 9 $$

      On doit prendre la moyenne des 9 ème et 10 ème valeurs :

      $$ X = \Bigl \{ \underbrace{1.75} _\text{1}, \ \underbrace{1.76, \ 1.76} _\text{2}, \ \underbrace{1.77, \ 1.77} _\text{2}, \ \underbrace{1.78, \ 1.78, \ 1.78, \ \textcolor{rgb(232 124 124)}{1.78}} _\text{4}, \ \underbrace{\textcolor{rgb(232 124 124)}{1.79}, \ 1.79, \ 1.79} _\text{3}, \ \underbrace{1.80, \ 1.80, \ 1.80, \ 1.80} _\text{4}, \ \underbrace{1.81, \ 1.81} _\text{2}, \ \underbrace{1.82, \ 1.82} _\text{2} \Bigr \} $$
      $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{M = \frac{1.78 + 1.79}{2}} $$
      $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{M = 1.785 \ m} $$

      Comme on n'avait que deux chiffres de précision, on va conserver la valeur arrondie à deux chiffres :

      $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{M = 1.79 \ m} $$