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Les énigmes du calcul littéral

Un voilier caché, des cartes jumelles, des mots croisés et une course de relais : quatre casse-tête pour développer, résoudre et mettre en équation, sans calculatrice.

Le voilier caché

Chaque case porte une expression à développer et réduire.

Colorier en vert les cases égales à \(-2x + 6\), en rouge celles égales à \(2x - 6\), et laisser les autres en blanc : un dessin apparaît.

Une grille de cinq colonnes, de A à E, et de cinq lignes, de 1 à 5 ; chaque case porte une expression à développer et à réduire A B C D E 1 2 3 4 5
$$ -2(x + 3) $$
$$ 2(x + 3) $$
$$ -2(x - 3) $$
$$ -(2x + 6) $$
$$ 3(x - 2) + x $$
$$ 4 - 2(x + 1) $$
$$ 5x - (7x - 6) $$
$$ 2(3 - x) $$
$$ -2(3 - x) + 12 $$
$$ -(x + 6) - x $$
$$ 2(x + 3) - 4x $$
$$ 4 - 2(x - 1) $$
$$ -3(x - 2) + x $$
$$ 5x - (3x - 6) $$
$$ 2(x - 3) - 4x $$
$$ 2(x - 3) $$
$$ x - (6 - x) $$
$$ -2(3 - x) $$
$$ 6(x - 1) - 4x $$
$$ 4x - 2(x + 3) $$
$$ -3(2 - x) + x $$
$$ 3(x - 2) - x $$
$$ -(6 - 2x) $$
$$ -2(x + 3) + 4x $$
$$ -2(x - 3) - 12 $$
La grille coloriée : un voilier apparaît, sa voile en vert sur les cases C1, B2, C2, A3, B3 et C3, sa coque en rouge sur la ligne 4 et les cases B5, C5 et D5 ; les onze autres cases restent blanches A B C D E 1 2 3 4 5
$$ -2(x + 3) $$
$$ 2(x + 3) $$
$$ -2(x - 3) $$
$$ -(2x + 6) $$
$$ 3(x - 2) + x $$
$$ 4 - 2(x + 1) $$
$$ 5x - (7x - 6) $$
$$ 2(3 - x) $$
$$ -2(3 - x) + 12 $$
$$ -(x + 6) - x $$
$$ 2(x + 3) - 4x $$
$$ 4 - 2(x - 1) $$
$$ -3(x - 2) + x $$
$$ 5x - (3x - 6) $$
$$ 2(x - 3) - 4x $$
$$ 2(x - 3) $$
$$ x - (6 - x) $$
$$ -2(3 - x) $$
$$ 6(x - 1) - 4x $$
$$ 4x - 2(x + 3) $$
$$ -3(2 - x) + x $$
$$ 3(x - 2) - x $$
$$ -(6 - 2x) $$
$$ -2(x + 3) + 4x $$
$$ -2(x - 3) - 12 $$

Un voilier apparaît : sa voile est verte, sa coque rouge.

  1. Justifier par un développement que la case \(\mathrm{D3}\) reste blanche.

    $$ 5x - (3x - 6) = 5x - 3x + 6 = 2x + 6 $$

    Le signe \(-\) devant la parenthèse change le signe de chacun de ses termes : \(-(-6) = +6\). On n'obtient ni \(-2x + 6\), ni \(2x - 6\) : la case reste blanche.

  2. Écrire une expression de la forme \(k(\ldots) + \ldots\), avec un nombre \(k\) négatif, qui colorerait une case en rouge.

    Par exemple :

    $$ -4(1 - x) - 2x - 2 = -4 + 4x - 2x - 2 = 2x - 6 $$

Les cartes jumelles

La jumelle d'une carte lettre est la carte chiffre qui porte son développement réduit.

Écrire dans la case de chaque carte lettre le numéro de sa jumelle : aucune carte ne reste seule.

Huit cartes produits, de A à H, chacune suivie d'une case vide, puis huit cartes développées, numérotées de 1 à 8 A
$$ (x + 3)(x + 5) $$
 B
$$ (x - 3)(x + 5) $$
 C
$$ (x + 3)(x - 5) $$
 D
$$ (2x + 3)(x - 5) $$
 E
$$ (x + 4)^2 $$
 F
$$ (x - 4)^2 $$
 G
$$ (x + 4)(x - 4) $$
 H
$$ (3x - 1)(x + 2) $$
 1
$$ x^2 - 2x - 15 $$
 2
$$ x^2 + 8x + 16 $$
 3
$$ x^2 + 2x - 15 $$
 4
$$ x^2 - 8x + 16 $$
 5
$$ 2x^2 - 7x - 15 $$
 6
$$ 3x^2 + 5x - 2 $$
 7
$$ x^2 + 8x + 15 $$
 8
$$ x^2 - 16 $$
Les huit paires de cartes jumelles : A avec 7 ; B avec 3 ; C avec 1 ; D avec 5 ; E avec 2 ; F avec 4 ; G avec 8 ; H avec 6 A
$$ (x + 3)(x + 5) $$
 7 B
$$ (x - 3)(x + 5) $$
 3 C
$$ (x + 3)(x - 5) $$
 1 D
$$ (2x + 3)(x - 5) $$
 5 E
$$ (x + 4)^2 $$
 2 F
$$ (x - 4)^2 $$
 4 G
$$ (x + 4)(x - 4) $$
 8 H
$$ (3x - 1)(x + 2) $$
 6 1
$$ x^2 - 2x - 15 $$
 2
$$ x^2 + 8x + 16 $$
 3
$$ x^2 + 2x - 15 $$
 4
$$ x^2 - 8x + 16 $$
 5
$$ 2x^2 - 7x - 15 $$
 6
$$ 3x^2 + 5x - 2 $$
 7
$$ x^2 + 8x + 15 $$
 8
$$ x^2 - 16 $$

  1. Développer et réduire les huit produits.

    $$ (x + 3)(x + 5) = x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15 $$
    $$ (x - 3)(x + 5) = x^2 + 5x - 3x - 15 = x^2 + 2x - 15 $$
    $$ (x + 3)(x - 5) = x^2 - 5x + 3x - 15 = x^2 - 2x - 15 $$
    $$ (2x + 3)(x - 5) = 2x^2 - 10x + 3x - 15 = 2x^2 - 7x - 15 $$
    $$ (x + 4)^2 = x^2 + 2 \times x \times 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16 $$
    $$ (x - 4)^2 = x^2 - 2 \times x \times 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16 $$
    $$ (x + 4)(x - 4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16 $$
    $$ (3x - 1)(x + 2) = 3x^2 + 6x - x - 2 = 3x^2 + 5x - 2 $$

  2. Les cartes \(\mathrm{E}\), \(\mathrm{F}\) et \(\mathrm{G}\) sont des identités remarquables. En remplaçant \(x\) par \(100\), calculer \(104 \times 96\) avec la carte \(\mathrm{G}\), puis \(104^2\) avec la carte \(\mathrm{E}\), en écrivant chaque étape.

    Avec \(x = 100\), on a \(104 = x + 4\) et \(96 = x - 4\) :

    $$ 104 \times 96 = (100 + 4)(100 - 4) = 100^2 - 4^2 = 10\,000 - 16 = 9\,984 $$
    $$ 104^2 = (100 + 4)^2 = 100^2 + 2 \times 100 \times 4 + 4^2 = 10\,000 + 800 + 16 = 10\,816 $$

Les mots croisés des équations

Chaque définition est une équation : sa solution s'écrit dans la grille, un chiffre par case.

Résoudre les équations, puis remplir la grille : chaque case croise une ligne et une colonne, qui doivent s'accorder.

Une grille de quatre lignes, de A à D, et de quatre colonnes, de 1 à 4, en escalier : six cases noires. À droite, une équation par ligne et par colonne ; la définition de la colonne 3 est effacée 1 2 3 4 A B C D Horizontalement A.
$$ 5x - 23 = 3x + 11 $$
 B.
$$ 3(x - 45) = x + 355 $$
 C.
$$ 7x + 18 = 4x + 426 $$
 D.
$$ 2(4x + 3) = 5x + 273 $$
 Verticalement 1.
$$ 9x - 4(x + 6) = 3x + 12 $$
 2.
$$ 800 - 2x = x + 83 $$
 3. définition effacée 4.
$$ 4(x + 5) - 3 = 2x + 167 $$
La grille remplie : ligne A, 17 ; ligne B, 245 ; ligne C, 136 ; ligne D, 89 ; colonnes 1 à 4 : 18, 239, 146 et 75 1 7 2 4 5 1 3 6 8 9 1 2 3 4 A B C D Horizontalement A.
$$ 5x - 23 = 3x + 11 $$
 B.
$$ 3(x - 45) = x + 355 $$
 C.
$$ 7x + 18 = 4x + 426 $$
 D.
$$ 2(4x + 3) = 5x + 273 $$
 Verticalement 1.
$$ 9x - 4(x + 6) = 3x + 12 $$
 2.
$$ 800 - 2x = x + 83 $$
 3. définition effacée 4.
$$ 4(x + 5) - 3 = 2x + 167 $$

  1. Résoudre l'équation de la ligne \(\mathrm{B}\) en écrivant chaque étape, puis vérifier la solution.

    $$ 3(x - 45) = x + 355 $$
    $$ 3x - 135 = x + 355 $$
    $$ 3x - x = 355 + 135 $$
    $$ 2x = 490 $$
    $$ x = 245 $$

    Vérification : \(3 \times (245 - 45) = 3 \times 200 = 600\), et \(245 + 355 = 600\).

  2. La définition de la colonne \(3\) est effacée. Lire son nombre dans la grille, puis écrire une équation, avec des \(x\) dans les deux membres, dont il est la solution.

    Les lignes \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) et \(\mathrm{C}\) donnent les trois chiffres de la colonne \(3\) : \(146\). Par exemple :

    $$ 3x - 46 = x + 246 $$

    En effet, \(2x = 292\), d'où \(x = 146\).

La course de relais

Chaque relais est un problème : son résultat entre dans l'énoncé du suivant, et le dernier doit redonner le nombre de départ.

Pour chaque relais, mettre en équation, résoudre, répondre par une phrase et reporter le résultat dans sa case.

Cinq cases en file : le départ, qui porte 8, puis les résultats des relais 1 à 4, à remplir ; une flèche ramène du relais 4 au départ Départ
$$ 8 $$
 Relais 1
$$ R_1 = \ldots $$
 Relais 2
$$ R_2 = \ldots $$
 Relais 3
$$ R_3 = \ldots $$
 Relais 4
$$ R_4 = \ldots $$
 le dernier résultat revient au départ
Le relais complété : départ 8, puis 16, 12 et 42, et le relais 4 redonne 8 Départ
$$ 8 $$
 Relais 1
$$ R_1 = 16 $$
 Relais 2
$$ R_2 = 12 $$
 Relais 3
$$ R_3 = 42 $$
 Relais 4
$$ R_4 = 8 $$
 le dernier résultat revient au départ

  1. Relais \(1\). Mathis a autant d'années que le nombre de départ, et sa mère quatre fois son âge. Dans combien d'années sa mère aura-t-elle le double de l'âge de Mathis ?

    Mathis a \(8\) ans et sa mère \(32\) ans. Soit \(x\) le nombre d'années cherché :

    $$ 32 + x = 2(8 + x) $$
    $$ 32 + x = 16 + 2x $$
    $$ x = 16 $$

    Dans \(16\) ans, sa mère aura \(48\) ans, le double des \(24\) ans de Mathis.

    $$ R_1 = 16 $$

  2. Relais \(2\). La longueur d'un rectangle dépasse sa largeur de \(R_1\) centimètres, et son périmètre mesure \(80 \ \text{cm}\). Combien mesure sa largeur ?

    Soit \(x\) la largeur, en centimètres ; la longueur vaut \(x + 16\) :

    $$ 2(x + x + 16) = 80 $$
    $$ 4x + 32 = 80 $$
    $$ 4x = 48 $$
    $$ x = 12 $$

    La largeur mesure \(12 \ \text{cm}\), et la longueur \(28 \ \text{cm}\).

    $$ R_2 = 12 $$

  3. Relais \(3\). Dans un triangle, un angle mesure le double du plus petit, et le troisième \(R_2\) degrés de plus que le plus petit. Combien mesure le plus petit angle ?

    Soit \(x\) le plus petit angle, en degrés. La somme des angles d'un triangle vaut \(180 \ [°]\) :

    $$ x + 2x + (x + 12) = 180 $$
    $$ 4x + 12 = 180 $$
    $$ 4x = 168 $$
    $$ x = 42 $$

    Le plus petit angle mesure \(42 \ [°]\) ; les deux autres, \(84 \ [°]\) et \(54 \ [°]\).

    $$ R_3 = 42 $$

  4. Relais \(4\). Retrancher un nombre de \(R_3\) donne le même résultat que le multiplier par \(4\) puis ajouter \(2\). Quel est ce nombre ?

    Soit \(x\) ce nombre :

    $$ 42 - x = 4x + 2 $$
    $$ 42 - 2 = 4x + x $$
    $$ 40 = 5x $$
    $$ x = 8 $$

    Le nombre cherché est \(8\) : c'est le nombre de départ, le relais se referme. Vérification : \(42 - 8 = 34\), et \(4 \times 8 + 2 = 34\).

    $$ R_4 = 8 $$