Rédiger le cours
Moon Arrows Sun
Arrows
Return Retour
Accueil Home
Imprimer

Le calcul littéral et algébrique

Une même expression s'écrit en produit ou en somme : passer de l'une à l'autre ouvre la voie aux équations.

Une terrasse mesure \(5 \ \text{m}\) de large sur \(x\) mètres de long. On l'agrandit de \(3 \ \text{m}\) en longueur : son aire devient \(5(x + 3)\).

$$ 5(x + 3) = 5x + 15 $$

À gauche, une terrasse allongée ; à droite, l'ancienne plus une bande de \(15 \ \text{m}^2\).

Développer ou factoriser, c'est compter la même surface autrement.

Forme factorisée / forme développée

Une forme factorisée est un produit de facteurs.

Une forme développée est une somme de termes.


Exemple :

$$ (x-3)(x-1) \hspace{2em} (\text{factorisée}) $$
$$ x^2 -4x + 3 \hspace{2em} (\text{développée}) $$

On passe d'une forme à l'autre en développant ou en factorisant.

Développement

Deux manières de développer :

  1. Par une distributivité

    1. La simple distributivité s'écrit :

      $$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{k}(a+b) = \textcolor{rgb(93 183 129)}{k} a + \textcolor{rgb(93 183 129)}{k} b $$
      Un rectangle de côtés k et a plus b, découpé en deux rectangles d'aires ka et kb qui partagent le côté k
      \(a\)
      \(b\)
      \(k\)
      \(ka\)
      \(kb\)
             Un rectangle de côtés k et a plus b, découpé en deux rectangles d'aires ka et kb qui partagent le côté k - support à compléter
      \(a\)
      \(b\)
      \(k\)

    2. La double distributivité s'écrit :

      $$ (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd $$
      Un rectangle de côtés a plus b et c plus d, découpé en quatre rectangles d'aires ac, bc, ad et bd
      \(a\)
      \(b\)
      \(c\)
      \(d\)
      \(ac\)
      \(bc\)
      \(ad\)
      \(bd\)
             Un rectangle de côtés a plus b et c plus d, découpé en quatre rectangles d'aires ac, bc, ad et bd - support à compléter
      \(a\)
      \(b\)
      \(c\)
      \(d\)
  2. Par une identité remarquable

    1. La première identité remarquable s'écrit :

      $$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \hspace{2em} (1^{ \text{ère}} \text{ id. rem.}) $$
      Un carré de côté a plus b, découpé en un carré a au carré, un carré b au carré et deux rectangles ab
      \(a\)
      \(b\)
      \(a\)
      \(b\)
      \(a^2\)
      \(b^2\)
      \(ab\)
      \(ab\)
             Un carré de côté a plus b, découpé en un carré a au carré, un carré b au carré et deux rectangles ab - support à compléter
      \(a\)
      \(b\)
      \(a\)
      \(b\)

      Exemple :

      $$ A = (3+4x)^2 $$
      $$ A = 3^2 + 2 \times 3 \times 4x + (4x)^2 $$
      $$ A = 3^2 + 24x + 16x^2 $$
      $$ A = 9 + 24x + 16x^2 $$
    2. Deuxième identité remarquable

      La même, avec un signe \((-)\) devant le double produit :

      $$ (a \textcolor{rgb(93 183 129)}{-} b)^2 = a^2 \textcolor{rgb(93 183 129)}{-} 2ab + b^2 \hspace{2em} (2^{ \text{ème}} \text{ id. rem.}) $$

    3. La troisième identité remarquable s'écrit :

      $$ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \hspace{2em} (3^{ \text{ème}} \text{ id. rem.}) $$

      Exemple :

      $$ (x + 4)(x - 4) = x^2 - 16 $$

Factorisation

  1. En identifiant un facteur commun :

    $$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{k} a + \textcolor{rgb(93 183 129)}{k} b = \textcolor{rgb(93 183 129)}{k}(a+b) $$

    Exemple :

    $$ 2x + 4 = 2 \times (x + 2) $$

  2. En identifiant une différence de deux carrés :

    $$ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \hspace{2em} (3^{ \text{ème}} \text{ id. rem.}) $$

Les équations du premier degré

Une équation

Une équation est une égalité qui contient un nombre inconnu. La résoudre, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui la rendent vraie : les solutions.

Tester si un nombre est solution ne demande qu'un calcul. \(4\) est-il solution de \(3x + 2 = 14\) ?

$$ 3 \times 4 + 2 = 14 \hspace{2em} \text{l'égalité est vraie, donc } 4 \text{ est solution} $$

Les deux règles de résolution

Une équation est une balance : ce qu'on fait d'un côté, on le fait de l'autre.

$$ a = b \iff a + c = b + c $$
$$ a = b \iff a \times c = b \times c \quad (c \neq 0) $$

D'abord l'addition ou la soustraction pour isoler le terme en \(x\), puis la division pour isoler \(x\).

Résolvons \(3x + 2 = 14\) :

$$ 3x + 2 - 2 = 14 - 2 \hspace{2em} \text{soit} \hspace{2em} 3x = 12 $$
$$ \frac{3x}{3} = \frac{12}{3} $$
$$ x = 4 $$

On termine par une vérification : \(3 \times 4 + 2 = 14\).

Conjecturer une solution au tableur

Au tableur, on balaie les valeurs de \(x\) et chercher où les deux membres sont égaux.

Exemple : \(5x - 4 = 2x + 11\). 

A2 : =A1+0,5
B2 : =5*A2-4
C2 : =2*A2+11
A : \(x\)
B : \(5x-4\)
C : \(2x+11\)
\(4\)
\(16\)
\(19\)
\(4.5\)
\(18.5\)
\(20\)
\(5\)
\(21\)
\(21\)
\(5.5\)
\(23.5\)
\(22\)
balayage de \(5x - 4 = 2x + 11\), de \(0.5\) en \(0.5\)

Les deux colonnes se croisent en \(x = 5\) : c'est la conjecture. La résolution la confirme :

$$ 5x - 4 = 2x + 11 $$
$$ 3x = 15 $$
$$ x = 5 $$

Le balayage ne trouve que les solutions tombant sur une valeur testée.

Mettre un problème en équation

Quatre étapes :

  1. choisir l'inconnue et dire ce qu'elle désigne ;
  2. traduire l'énoncé par une équation;
  3. résoudre cette équation ;
  4. revenir à la question posée pour formuler la réponse.

Un abonnement coûte \(15\ \text{€}\) par mois, plus \(20\ \text{€}\) de frais d'inscription. Au bout de combien de mois aura-t-on dépensé \(140\ \text{€}\) ?

Appelons \(x\) le nombre de mois. La dépense totale est \(15x + 20\) :

$$ 15x + 20 = 140 $$

On retranche \(20\), puis on divise par \(15\) :

$$ 15x = 120 \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} x = 8 $$
$$ \text{Il faut } 8 \text{ mois pour dépenser } 140\ \text{€} $$

Le plus délicat est la mise en équation, pas le calcul.