Problèmes sur le calcul littéral

Développer et factoriser

1. Développer et réduire \(A = 4(3x - 5)\).
   $$ A = 4 \times 3x - 4 \times 5 $$

   $$ A = 12x - 20 $$
2. Développer et réduire \(B = 2(x + 7) - 3(x - 1)\).

   Le facteur \(- 3\) multiplie les deux termes de la parenthèse : \(- 3 \times (- 1) = 3\).

   $$ B = 2x + 14 - 3x + 3 $$

   $$ B = - x + 17 $$
3. Factoriser \(C = 15x + 10\).

   \(5\) est un facteur commun aux deux termes :

   $$ C = 5 \times 3x + 5 \times 2 $$

   $$ C = 5(3x + 2) $$

Mettre un problème en équation

Un abonnement de salle de sport coûte \(30 \ \text{€}\) à l'inscription, puis \(18 \ \text{€}\) par mois. Une personne a dépensé \(174 \ \text{€}\) au total. Pendant combien de mois a-t-elle payé l'abonnement ?

1. Choisir l'inconnue et dire précisément ce qu'elle désigne.

   Soit \(x\) le nombre de mois d'abonnement payés.

2. Traduire la situation par une équation.

   En \(x\) mois, la personne paie \(18x\) euros, auxquels s'ajoutent les \(30 \ \text{€}\) d'inscription :

   $$ 18x + 30 = 174 $$
3. Résoudre cette équation.
   $$ 18x \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 30} \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=} 174 $$

   $$ 18x = 174 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 30} $$

   $$ 18x = 144 $$

   $$ \frac{18x}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{18}} = \frac{144}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{18}} $$

   $$ x = 8 $$

   Un terme qui change de membre change de signe ; en vert, ce par quoi on divise les deux membres à la fois.

4. Répondre à la question posée par une phrase.

   On vérifie : \(18 \times 8 + 30 = 144 + 30 = 174\).

   $$ \text{La personne a payé } 8 \text{ mois d'abonnement.} $$

Démontrer avec des lettres

On choisit un nombre entier, on lui ajoute son successeur, puis on ajoute \(1\) au résultat.

1. Tester ce programme avec le nombre \(4\), puis avec le nombre \(9\). Que remarque-t-on ?
   $$ 4 + 5 + 1 = 10 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 9 + 10 + 1 = 20 $$

   Les deux résultats sont pairs : ce sont même les doubles de \(5\) et de \(10\), les successeurs des nombres choisis.

2. En appelant \(n\) le nombre choisi, écrire l'expression obtenue, puis la réduire.

   Le successeur de \(n\) est \(n + 1\) :

   $$ n + (n + 1) + 1 = n + n + 1 + 1 $$

   $$ n + (n + 1) + 1 = 2n + 2 $$
3. En factorisant cette expression réduite, démontrer que le résultat est toujours un nombre pair.

   \(2\) est un facteur commun aux deux termes :

   $$ 2n + 2 = 2(n + 1) $$

   Comme \(n + 1\) est un nombre entier, le résultat est le double d'un entier : il est toujours pair.

Corriger une copie

Sur sa copie, Inès a développé trois expressions. Chacune de ses égalités contient une erreur.

1. Inès a écrit \(3(x + 4) = 3x + 4\). Remplacer \(x\) par \(1\) dans chaque membre pour prouver que cette égalité est fausse, puis écrire le bon développement.
   $$ 3 \times (1 + 4) = 15 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 3 \times 1 + 4 = 7 $$

   Les deux membres ne sont pas égaux pour \(x = 1\) : l'égalité est fausse. Inès a oublié de multiplier \(4\) par \(3\).

   $$ 3(x + 4) = 3x + 12 $$
2. La ligne suivante de la copie est \(5 - 2(x - 3) = 5 - 2x - 6\). Repérer l'erreur, puis développer et réduire correctement.

   L'erreur porte sur le signe : \(- 2 \times (- 3) = 6\), et non \(- 6\).

   $$ 5 - 2(x - 3) = 5 - 2x + 6 $$

   $$ 5 - 2(x - 3) = 11 - 2x $$
3. La dernière ligne de la copie est \((x + 3)(x + 2) = x^2 + 6\). Repérer l'erreur, puis développer et réduire correctement.

   Inès n'a multiplié que les premiers termes entre eux et les seconds entre eux. La double distributivité donne quatre produits :

   $$ (x + 3)(x + 2) = x^2 + 2x + 3x + 6 $$

   $$ (x + 3)(x + 2) = x^2 + 5x + 6 $$

L'allée autour du bassin

Un bassin carré de \(x\) mètres de côté est entouré d'une allée de \(1 \ \text{m}\) de large. La figure n'est pas à l'échelle.

1. Tom calcule l'aire de l'allée comme l'aire du grand carré moins celle du bassin. Écrire son expression, puis la développer et la réduire.

   L'allée ajoute \(1 \ \text{m}\) de chaque côté du bassin : le grand carré a pour côté \(x + 2\).

   $$ A = (x + 2)(x + 2) - x^2 $$

   $$ A = x^2 + 2x + 2x + 4 - x^2 $$

   $$ A = 4x + 4 $$
2. Léa découpe cette même allée en quatre rectangles identiques, séparés par les pointillés. Donner les dimensions d'un rectangle, écrire l'expression de Léa, puis démontrer que Tom et Léa trouvent la même aire.

   Chaque rectangle mesure \(x + 1\) de long sur \(1\) de large ; son aire vaut \(x + 1\). Léa trouve donc \(4(x + 1)\), qu'on développe :

   $$ 4(x + 1) = 4x + 4 $$

   On retrouve l'expression de Tom : les deux calculs donnent la même aire.

3. Pour couvrir exactement cette allée, on dispose de \(48 \ \text{m}^2\) de dalles. Mettre le problème en équation, puis déterminer le côté du bassin.

   L'aire de l'allée doit valoir \(48 \ \text{m}^2\) :

   $$ 4x \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 4} \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=} 48 $$

   $$ 4x = 48 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 4} $$

   $$ 4x = 44 $$

   $$ \frac{4x}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{4}} = \frac{44}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{4}} $$

   $$ x = 11 $$

   On vérifie : \(4 \times 11 + 4 = 48\).

   $$ \text{Le bassin mesure } 11 \ \text{m} \text{ de côté.} $$
4. On change de bassin : un autre bassin carré, de \(15 \ \text{m}\) de côté, est entouré de la même allée, et le devis prévoit \(60 \ \text{m}^2\) de dalles. Dire si cela suffit, en justifiant.

   On remplace \(x\) par \(15\) dans l'aire de l'allée :

   $$ 4 \times 15 + 4 = 64 $$

   L'allée mesure \(64 \ \text{m}^2\), plus que les \(60 \ \text{m}^2\) prévus.

   $$ \text{Les dalles ne suffisent pas : il en manque } 4 \ \text{m}^2. $$

Le calcul éclair de Yanis

Pour calculer \(43 \times 47\) de tête, Yanis multiplie \(4\) par son suivant \(5\), puis \(3\) par \(7\), et écrit les deux résultats côte à côte :

Son astuce vaut pour deux nombres de même chiffre des dizaines, dont les chiffres des unités font \(10\) à eux deux. La figure découpe le produit \(43 \times 47\) ; elle n'est pas à l'échelle.

1. Appliquer l'astuce à \(62 \times 68\), puis à \(91 \times 99\), et vérifier chaque résultat par un autre calcul.

   Pour \(62 \times 68\) :

   $$ 6 \times 7 = 42 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 2 \times 8 = 16 $$

   $$ 62 \times 68 = 4 \ 216 $$

   Vérification : \(62 \times 68 = 62 \times 70 - 62 \times 2 = 4 \ 340 - 124 = 4 \ 216\).

   Pour \(91 \times 99\) : \(9 \times 10 = 90\) et \(1 \times 9 = 9\). Coller \(90\) et \(9\) donnerait \(909\), bien trop peu puisque \(90 \times 90 = 8 \ 100\). Un autre calcul donne :

   $$ 91 \times 99 = 91 \times 100 - 91 = 9 \ 100 - 91 $$

   $$ 91 \times 99 = 9 \ 009 $$

   L'astuce marche encore, à condition d'écrire le second produit sur deux chiffres : \(09\).

2. Calculer l'aire des quatre rectangles de la figure, puis expliquer pourquoi les deux rectangles verts réunis valent \(40 \times 10\). Où se cache le \(4 \times 5\) de Yanis ?
   $$ 40 \times 40 = 1 \ 600 \hspace{2em} 40 \times 7 = 280 \hspace{2em} 3 \times 40 = 120 \hspace{2em} 3 \times 7 = 21 $$

   Les deux rectangles verts ont un côté de \(40\) : on factorise par \(40\), et les unités \(7\) et \(3\) font \(10\).

   $$ 40 \times 7 + 3 \times 40 = 40 \times (7 + 3) = 40 \times 10 $$

   Le carré bleu et les deux rectangles verts forment donc \(40 \times 40 + 40 \times 10 = 40 \times 50\) :

   $$ 43 \times 47 = 40 \times 50 + 3 \times 7 = 2 \ 000 + 21 $$

   \(40 \times 50\) vaut \(4 \times 5 = 20\) centaines : ce sont les deux premiers chiffres de Yanis.

3. On note \(a\) le chiffre des dizaines et \(b\) celui des unités du premier nombre, qui s'écrit \(10a + b\). Écrire le second nombre, puis démontrer que leur produit vaut \(100a(a + 1) + b(10 - b)\). Expliquer enfin pourquoi le second produit tient toujours sur deux chiffres.

   Le second nombre a \(a\) dizaines et \(10 - b\) unités : il s'écrit \(10a + 10 - b\). On développe par double distributivité :

   $$ (10a + b)(10a + 10 - b) = 100a^2 + 100a - 10ab + 10ab + 10b - b^2 $$

   $$ (10a + b)(10a + 10 - b) = 100a^2 + 100a + 10b - b^2 $$

   L'expression annoncée, développée, donne la même chose :

   $$ 100a(a + 1) + b(10 - b) = 100a^2 + 100a + 10b - b^2 $$

   $$ (10a + b)(10a + 10 - b) = 100a(a + 1) + b(10 - b) $$

   \(100a(a + 1)\) compte \(a(a + 1)\) centaines. Le second produit ne les déborde pas s'il reste inférieur à \(100\). Or \(b\) et \(10 - b\) jouent le même rôle, et pour \(b\) de \(1\) à \(5\) :

   $$ 1 \times 9 = 9 \hspace{2em} 2 \times 8 = 16 \hspace{2em} 3 \times 7 = 21 \hspace{2em} 4 \times 6 = 24 \hspace{2em} 5 \times 5 = 25 $$

   Il vaut au plus \(25\) : il tient sur deux chiffres, en écrivant \(09\) quand il vaut \(9\).

4. On change d'astuce. Pour \(37 \times 77\), dont les unités sont égales et les dizaines font \(10\), Yanis calcule \(3 \times 7 + 7 = 28\) et \(7 \times 7 = 49\), puis écrit \(2 \ 849\). Tester cette astuce sur \(24 \times 84\), puis la démontrer.

   Pour \(24 \times 84\) : \(2 \times 8 + 4 = 20\) et \(4 \times 4 = 16\), d'où \(2 \ 016\).

   Vérification : \(24 \times 84 = 24 \times 80 + 24 \times 4 = 1 \ 920 + 96 = 2 \ 016\).

   On note \(a\) le chiffre des dizaines du premier nombre et \(b\) le chiffre des unités commun. Les deux nombres s'écrivent \(10a + b\) et \(10(10 - a) + b = 100 - 10a + b\) :

   $$ (10a + b)(100 - 10a + b) = 1 \ 000a - 100a^2 + 10ab + 100b - 10ab + b^2 $$

   $$ (10a + b)(100 - 10a + b) = 1 \ 000a - 100a^2 + 100b + b^2 $$

   On factorise les trois premiers termes par \(100\) :

   $$ (10a + b)(100 - 10a + b) = 100 \bigl( a(10 - a) + b \bigr) + b^2 $$

   \(a(10 - a) + b\) donne les centaines, comme \(3 \times 7 + 7 = 28\) pour \(37 \times 77\). Et \(b^2\) vaut au plus \(81\) : il tient sur deux chiffres, à écrire \(04\) dans \(32 \times 72 = 2 \ 304\).

Le brownie de la kermesse

Pour la kermesse, un brownie rectangulaire est découpé en parts carrées : \(a\) rangées de \(b\) parts, avec au moins \(3\) rangées et \(3\) parts par rangée. Les parts du bord, colorées, ont une croûte ; celles de l'intérieur sont moelleuses. On note \(C\) le nombre de parts du bord et \(M\) celui des parts moelleuses.

1. Compter les parts du bord et les parts moelleuses du brownie de la figure, puis celles d'un brownie de \(10\) rangées de \(10\) parts.

   La figure montre \(5\) rangées de \(7\) parts. Les parts moelleuses forment un rectangle de \(3\) rangées de \(5\) parts :

   $$ M = 3 \times 5 = 15 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} C = 5 \times 7 - 15 = 20 $$

   $$ C = 20 \quad \text{et} \quad M = 15 $$

   Pour \(10\) rangées de \(10\) parts, l'intérieur compte \(8\) rangées de \(8\) parts :

   $$ M = 8 \times 8 = 64 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} C = 100 - 64 = 36 $$

   $$ C = 36 \quad \text{et} \quad M = 64 $$
2. Exprimer \(M\) en fonction de \(a\) et \(b\), puis \(C\) sous forme réduite. Vérifier sur la figure.

   L'intérieur perd la première et la dernière rangée, et une part à chaque bout de rangée : il compte \(a - 2\) rangées de \(b - 2\) parts. Les parts du bord sont toutes les autres :

   $$ C = ab - (a - 2)(b - 2) = ab - (ab - 2b - 2a + 4) $$

   $$ C = ab - ab + 2b + 2a - 4 $$

   $$ M = (a - 2)(b - 2) \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} C = 2a + 2b - 4 $$

   Vérification sur la figure, avec \(a = 5\) et \(b = 7\) : \(M = 3 \times 5 = 15\) et \(C = 10 + 14 - 4 = 20\). On retrouve aussi \(C\) en faisant le tour : \(2a + 2b\) parts, moins les \(4\) coins comptés deux fois.

3. Le comité veut autant de parts du bord que de parts moelleuses. Développer \((a - 4)(b - 4)\), puis démontrer que \(M - C = (a - 4)(b - 4) - 8\).
   $$ (a - 4)(b - 4) = ab - 4b - 4a + 16 $$

   D'une part, en développant \(M\) :

   $$ M - C = ab - 2b - 2a + 4 - (2a + 2b - 4) = ab - 4a - 4b + 8 $$

   D'autre part :

   $$ (a - 4)(b - 4) - 8 = ab - 4a - 4b + 16 - 8 = ab - 4a - 4b + 8 $$

   $$ M - C = (a - 4)(b - 4) - 8 $$

   Avoir autant de parts de chaque sorte, c'est avoir \(M - C = 0\), c'est-à-dire \((a - 4)(b - 4) = 8\).

4. Trouver tous les brownies, avec \(a \leqslant b\), qui ont autant de parts du bord que de parts moelleuses, et prouver qu'il n'y en a pas d'autre. On pourra compléter ce tableau.

   \(a - 4\)	\(1\)
   \(b - 4\)	\(8\)
   \(a\)	\(5\)
   \(b\)	\(12\)
   \(M\)	\(30\)
   \(C\)	\(30\)

   \(a - 4\) et \(b - 4\) sont des nombres entiers de produit \(8\). Comme \(a \geqslant 3\) et \(b \geqslant 3\), chacun vaut au moins \(- 1\) : s'ils étaient négatifs tous les deux, ils vaudraient \(- 1\), de produit \(1\) ; si un seul l'était, ou si l'un valait \(0\), le produit serait négatif ou nul. Ils sont donc positifs, et \(8 = 1 \times 8 = 2 \times 4 = 4 \times 2 = 8 \times 1\) :

   \(a - 4\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)	\(8\)
   \(b - 4\)	\(8\)	\(4\)	\(2\)	\(1\)
   \(a\)	\(5\)	\(6\)	\(8\)	\(12\)
   \(b\)	\(12\)	\(8\)	\(6\)	\(5\)
   \(M\)	\(30\)	\(24\)	\(24\)	\(30\)
   \(C\)	\(30\)	\(24\)	\(24\)	\(30\)

   Les deux dernières colonnes redonnent les mêmes brownies, tournés d'un quart de tour. Avec \(a \leqslant b\), il en reste deux :

   $$ 5 \ \text{rangées de} \ 12 \ \text{parts} \quad \text{ou} \quad 6 \ \text{rangées de} \ 8 \ \text{parts} $$

   Vérification : \(3 \times 10 = 30\) parts moelleuses sur \(5 \times 12 = 60\) parts, et \(4 \times 6 = 24\) sur \(6 \times 8 = 48\).