Problèmes sur les nombres décimaux

L'intervalle entre deux nombres

1. Écrire trois nombres compris entre \(1{,}5\) et \(1{,}6\).

   Par exemple \(1{,}56\), puis \(1{,}57\) et \(1{,}59\).

2. Combien de nombres existe-t-il en tout entre \(1{,}5\) et \(1{,}6\) ? Justifier votre réponse par un raisonnement.

   Il en existe une infinité : entre deux nombres décimaux, on peut toujours en placer un autre en ajoutant une décimale, par exemple \(1{,}565\) entre \(1{,}56\) et \(1{,}57\), et recommencer sans fin.

Les achats à la boulangerie

La piste d'athlétisme

Une piste d'athlétisme mesure \(0{,}4 \ \text{km}\) de long.

1. Un élève court cinq tours de cette piste. Calculer la distance parcourue, en kilomètres.

   Cinq tours représentent :

   $$ D = 5 \times 0{,}4 $$

   $$ D = 2 \ \text{km} $$
2. Ce même élève court maintenant \(4{,}4 \ \text{km}\) sur la piste. Calculer le nombre de tours effectués.

   Il faut raisonner dans l'autre sens, et chercher combien de fois \(0{,}4\) est contenu dans \(4{,}4\) :

   $$ N = 4{,}4 \div 0{,}4 $$

   $$ N = 11 \ \text{tours} $$

Le partage des pizzas

Pour un match de foot, Ewen, Pierre, Elouann et Ronan ont commandé trois pizzas :

• la première coûte \(16{,}80 \ \text{€}\) ;
• la deuxième coûte \(14{,}20 \ \text{€}\) ;
• la troisième coûte \(13{,}60 \ \text{€}\).

1. Les quatre amis partagent la dépense à parts égales. Calculer la somme que doit payer chacun.

   On appelle \(S_{T}\) la somme totale :

   $$ S_{T} = 16{,}80 + 14{,}20 + 13{,}60 $$

   $$ S_{T} = 44{,}60 \ \text{€} $$

   On appelle \(S_{\text{ind}}\) la part de chacun : on divise la somme totale par \(4\).

   $$ S_{\text{ind}} = 44{,}60 \div 4 $$

   $$ S_{\text{ind}} = 11{,}15 \ \text{€} $$
2. Ewen a payé les trois pizzas à lui seul. Calculer la somme que les trois autres doivent lui rendre, à eux trois.

   Chacun des trois autres rend à Ewen sa part :

   $$ S_{\text{rendue}} = 3 \times 11{,}15 $$

   $$ S_{\text{rendue}} = 33{,}45 \ \text{€} $$

   On vérifie : \(44{,}60 - 11{,}15 = 33{,}45\), la part d'Ewen mise à part.

L'expérience scientifique

Une biologiste mesure \(0{,}75 \ \text{L}\) d'une solution et la répartit également dans trois tubes à essai.

1. Calculer le volume de solution que contient chaque tube.

   On divise le volume total par \(3\) :

   $$ V_{\text{tube}} = 0{,}75 \div 3 $$

   $$ V_{\text{tube}} = 0{,}25 \ \text{L} $$
2. Elle répète cette même expérience \(8\) fois de suite. Calculer le volume total de solution utilisé.

   Chaque expérience utilise \(0{,}75 \ \text{L}\) : on multiplie ce volume par \(8\).

   $$ V_{\text{total}} = 0{,}75 \times 8 $$

   $$ V_{\text{total}} = 6 \ \text{L} $$

Construction d'un bulletin de salaire

En reprenant la trame suivante, construire un bulletin de salaire complet pour un salaire de \(2 \ 200 \ \text{€}\) brut. Les montants sont arrondis au centime.

Sachant que :

• chaque cotisation se calcule en appliquant son taux au salaire brut ;
• pour les salaires inférieurs à \(1{,}6\) fois le SMIC, ce qui est le cas ici, il y a une exonération de \(30 \ \%\) sur le total des cotisations patronales ;
• les cotisations salariales représentent \(22 \ \%\) du salaire brut ;
• le coût total employeur est la somme du salaire brut et des cotisations patronales après exonération ;
• le salaire net est la différence entre le salaire brut et les cotisations salariales.

Le ticket de caisse taché

Léa retrouve le ticket de caisse de ses courses, mais une tache d'encre en cache une partie :

1. Retrouver le montant caché des trois paquets de café.

   Le total moins les deux montants lisibles donne le montant caché \(M\) :

   $$ M = 20{,}64 - 5{,}34 - 3{,}60 $$

   $$ M = 20{,}64 - 8{,}94 $$

   $$ M = 11{,}70 \ \text{€} $$
2. En déduire le prix d'un seul de ces paquets de café.

   Les trois paquets coûtent ensemble \(11{,}70 \ \text{€}\) : on divise ce montant par \(3\).

   $$ P = 11{,}70 \div 3 $$

   $$ P = 3{,}90 \ \text{€} $$

   On vérifie : \(3 \times 3{,}90 = 11{,}70\).

3. On revient au montant des trois paquets : Tom, le frère de Léa, a trouvé \(1{,}17 \ \text{€}\). Sans poser de calcul, montrer par un ordre de grandeur qu'il s'est trompé.

   On arrondit chaque nombre à l'unité : \(20{,}64\) est proche de \(21\), \(5{,}34\) de \(5\) et \(3{,}60\) de \(4\).

   $$ 21 - 5 - 4 = 12 $$

   $$ M \approx 12 \ \text{€} $$

   Le résultat de Tom est environ dix fois trop petit : il a sans doute mal placé la virgule.

Deux compagnies de taxi

Pour rentrer de la gare, Samia hésite entre deux compagnies de taxi. Chacune facture une prise en charge, puis un prix par kilomètre parcouru :

1. Calculer le prix d'une course de \(5 \ \text{km}\) avec chaque compagnie, puis dire laquelle est la moins chère.

   On ajoute la prise en charge au prix des kilomètres :

   $$ A = 2{,}60 + 5 \times 1{,}15 = 2{,}60 + 5{,}75 $$

   $$ B = 4{,}10 + 5 \times 0{,}95 = 4{,}10 + 4{,}75 $$

   $$ \text{Alpha} : 8{,}35 \ \text{€} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \text{Bêta} : 8{,}85 \ \text{€} $$

   Pour \(5 \ \text{km}\), la compagnie Alpha est la moins chère.

2. Reprendre ces mêmes calculs pour une course de \(12 \ \text{km}\). Que constate-t-on ?
   $$ A = 2{,}60 + 12 \times 1{,}15 = 2{,}60 + 13{,}80 $$

   $$ B = 4{,}10 + 12 \times 0{,}95 = 4{,}10 + 11{,}40 $$

   $$ \text{Alpha} : 16{,}40 \ \text{€} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \text{Bêta} : 15{,}50 \ \text{€} $$

   Cette fois, c'est la compagnie Bêta la moins chère : le classement s'est inversé entre \(5 \ \text{km}\) et \(12 \ \text{km}\).

3. Déterminer à partir de quelle distance la compagnie Bêta devient la plus avantageuse, et justifier.

   Au départ, Bêta coûte plus cher de :

   $$ 4{,}10 - 2{,}60 = 1{,}50 \ \text{€} $$

   Mais chaque kilomètre y coûte moins cher de :

   $$ 1{,}15 - 0{,}95 = 0{,}20 \ \text{€} $$

   L'écart de départ est rattrapé au bout de :

   $$ 1{,}50 \div 0{,}20 $$

   $$ 7{,}5 \ \text{km} $$

   Au-delà de \(7{,}5 \ \text{km}\), la compagnie Bêta est la plus avantageuse ; en deçà, c'est Alpha. On contrôle avec \(7 \ \text{km}\) : Alpha coûte \(10{,}65 \ \text{€}\) et Bêta \(10{,}75 \ \text{€}\). Avec \(8 \ \text{km}\), Alpha coûte \(11{,}80 \ \text{€}\) et Bêta \(11{,}70 \ \text{€}\).

Le plein du scooter

Léo fait le plein de son scooter. La pompe arrondit le montant au centime près ; sur la photo de l'afficheur, un reflet cache le prix au litre, qui s'écrit au millième d'euro.

1. Léo pense que le prix au litre était de \(1{,}80 \ \text{€}\). Montrer qu'il se trompe.

   Avec ce prix, le montant exact serait :

   $$ 6{,}23 \times 1{,}80 = 11{,}214 $$

   Le premier chiffre en trop est un \(4\) : on arrondit au centime du dessous.

   $$ 11{,}21 \ \text{€} \neq 11{,}20 \ \text{€} $$

   La pompe aurait affiché \(11{,}21 \ \text{€}\) : le prix au litre était un peu plus bas.

2. Ce même montant de \(11{,}20 \ \text{€}\) est un arrondi. Encadrer le montant exact, avant l'arrondi.

   Au-dessus de \(11{,}20\), le premier chiffre en trop doit valoir au plus \(4\) : le montant exact reste en dessous de \(11{,}205\). En dessous de \(11{,}20\), il commence par \(11{,}19\), et ce chiffre doit valoir au moins \(5\) : le montant exact vaut au moins \(11{,}195\).

   $$ 11{,}195 \leqslant \text{montant exact} < 11{,}205 $$

   Vérification : \(11{,}195\) s'arrondit bien à \(11{,}20\), mais \(11{,}205\) s'arrondit déjà à \(11{,}21\).

3. Retrouver tous les prix au litre possibles, et prouver qu'il n'y en a pas d'autre. On pourra calculer \(11{,}20 \div 6{,}23\), puis compléter ce tableau :

   Prix au litre	\(1{,}796 \ \text{€}\)	................	................	................
   Montant exact	\(11{,}18908 \ \text{€}\)	................	................	................
   Montant affiché	\(11{,}19 \ \text{€}\)	................	................	................

   Le quotient donne l'ordre de grandeur du prix :

   $$ 11{,}20 \div 6{,}23 \approx 1{,}7977 $$

   On essaie les prix au millième voisins :

   Prix au litre	\(1{,}796 \ \text{€}\)	\(1{,}797 \ \text{€}\)	\(1{,}798 \ \text{€}\)	\(1{,}799 \ \text{€}\)
   Montant exact	\(11{,}18908 \ \text{€}\)	\(11{,}19531 \ \text{€}\)	\(11{,}20154 \ \text{€}\)	\(11{,}20777 \ \text{€}\)
   Montant affiché	\(11{,}19 \ \text{€}\)	\(11{,}20 \ \text{€}\)	\(11{,}20 \ \text{€}\)	\(11{,}21 \ \text{€}\)

   Chaque millième d'euro de plus sur le prix ajoute \(6{,}23 \times 0{,}001 = 0{,}00623 \ \text{€}\) au montant exact : le montant grandit avec le prix. Sous \(1{,}796 \ \text{€}\), le montant exact reste sous \(11{,}18908\), donc sous \(11{,}195\) ; au-dessus de \(1{,}799 \ \text{€}\), il dépasse \(11{,}20777\), donc \(11{,}205\).

   $$ 1{,}797 \ \text{€} \quad \text{ou} \quad 1{,}798 \ \text{€} $$

   La photo ne permet pas de trancher entre ces deux prix.

4. On change de véhicule : Chloé fait le plein de sa voiture, avec plus de \(10 \ \text{L}\). Elle affirme que le montant et le volume lui suffisent toujours à retrouver le prix au litre. Prouver qu'elle a raison, en comparant les montants exacts obtenus avec deux prix au litre différents.

   On appelle \(V\) le volume, en litres, avec \(V > 10\), et \(p\) et \(q\) deux prix au litre différents, avec \(p < q\). Écrits au millième d'euro, ils diffèrent d'au moins \(0{,}001 \ \text{€}\). L'écart entre leurs montants exacts vaut :

   $$ V \times q - V \times p = V \times (q - p) $$

   Comme \(q - p\) vaut au moins \(0{,}001\), cet écart vaut au moins \(V \times 0{,}001\), qui dépasse \(10 \times 0{,}001 = 0{,}01\) : plus d'un centime.

   Or, d'après la question 2, les montants exacts qui s'arrondissent à un même centime tiennent dans un intervalle de longueur \(0{,}01\), borne haute exclue : deux d'entre eux diffèrent de moins d'un centime. Deux prix différents donnent donc deux montants affichés différents.

   $$ V > 10 \ \text{L} : \ \text{un seul prix au litre possible} $$

   Pour le scooter, deux prix voisins ne changent le montant exact que de \(0{,}00623 \ \text{€}\), moins d'un centime : d'où les deux réponses de la question 3.

La virgule oubliée

Trésorière du club théâtre, Nina saisit dans un tableur les montants de ces huit factures. Le tableur affiche un total de \(6 \ 616{,}50 \ \text{€}\) : des montants ont été tapés sans leur virgule.

1. Si l'on tape \(1 \ 845\) au lieu de \(18{,}45\), de combien le total augmente-t-il ? Montrer que taper sans sa virgule un montant \(m\), écrit au centime, augmente toujours le total de \(99 \times m\).
   $$ 1 \ 845 - 18{,}45 = 1 \ 826{,}55 $$

   C'est justement \(99 \times 18{,}45 = 1 \ 826{,}55\). En général, un montant \(m\) écrit au centime a deux chiffres après la virgule : tapé sans elle, il devient \(100 \times m\). Le total augmente de :

   $$ 100 \times m - m = 99 \times m $$

   $$ \text{hausse du total} = 99 \times m $$
2. Calculer le vrai total, puis prouver que Nina a oublié plus d'une virgule.
   $$ T = 64{,}35 + 27{,}80 + 18{,}45 + 42{,}90 + 15{,}65 + 36{,}20 + 53{,}75 + 21{,}40 $$

   $$ T = 280{,}50 \ \text{€} $$

   Le tableur affiche en trop :

   $$ 6 \ 616{,}50 - 280{,}50 = 6 \ 336 $$

   Si plusieurs montants sont tapés sans virgule, par exemple \(a\) et \(b\), les hausses s'ajoutent : \(99 \times a + 99 \times b = 99 \times (a + b)\). La somme des montants tapés sans virgule vaut donc :

   $$ 6 \ 336 \div 99 $$

   $$ \text{montants tapés sans virgule} : 64 \ \text{€} \ \text{en tout} $$

   Aucune facture ne vaut \(64{,}00 \ \text{€}\) - la plus proche vaut \(64{,}35 \ \text{€}\) : Nina a oublié plus d'une virgule.

3. On suppose que Nina a oublié exactement deux virgules. Retrouver les deux montants, et prouver qu'il n'y a pas d'autre possibilité. On pourra compléter ce tableau, où chaque montant reçoit ce qu'il lui manque pour atteindre la somme trouvée à la question 2 :

   Montant	Ce qu'il manque	Parmi les factures ?
   \(15{,}65 \ \text{€}\)
   \(18{,}45 \ \text{€}\)
   \(21{,}40 \ \text{€}\)
   \(27{,}80 \ \text{€}\)
   \(36{,}20 \ \text{€}\)
   \(42{,}90 \ \text{€}\)
   \(53{,}75 \ \text{€}\)
   \(64{,}35 \ \text{€}\)

   Chacun des deux montants oubliés a son partenaire parmi les factures : il suffit de passer toutes les factures en revue.

   Montant	Ce qu'il manque	Parmi les factures ?
   \(15{,}65 \ \text{€}\)	\(48{,}35 \ \text{€}\)	non
   \(18{,}45 \ \text{€}\)	\(45{,}55 \ \text{€}\)	non
   \(21{,}40 \ \text{€}\)	\(42{,}60 \ \text{€}\)	non
   \(27{,}80 \ \text{€}\)	\(36{,}20 \ \text{€}\)	oui
   \(36{,}20 \ \text{€}\)	\(27{,}80 \ \text{€}\)	oui
   \(42{,}90 \ \text{€}\)	\(21{,}10 \ \text{€}\)	non
   \(53{,}75 \ \text{€}\)	\(10{,}25 \ \text{€}\)	non
   \(64{,}35 \ \text{€}\)	dépasse déjà \(64 \ \text{€}\)	non

   Les deux « oui » désignent la même paire, vue de ses deux côtés : c'est la seule.

   $$ 27{,}80 \ \text{€} \quad \text{et} \quad 36{,}20 \ \text{€} $$

   Vérification : \(280{,}50 + 99 \times 64 = 280{,}50 + 6 \ 336 = 6 \ 616{,}50\), le total affiché.

4. Prouver que Nina n'a pas pu oublier trois virgules, ni davantage.

   Quatre oublis ou plus : les quatre plus petits montants dépassent déjà \(64 \ \text{€}\).

   $$ 15{,}65 + 18{,}45 + 21{,}40 + 27{,}80 = 83{,}30 $$

   Trois oublis : si les trois montants comprennent à la fois \(15{,}65\) et \(18{,}45\), il manque pour le troisième :

   $$ 64 - 15{,}65 - 18{,}45 = 29{,}90 $$

   Aucune facture ne vaut \(29{,}90 \ \text{€}\). Sinon, au plus un des trois montants vaut \(15{,}65\) ou \(18{,}45\) : le plus petit vaut au moins \(15{,}65\), le deuxième au moins \(21{,}40\) et le troisième au moins \(27{,}80\). Leur somme vaut donc au moins :

   $$ 15{,}65 + 21{,}40 + 27{,}80 = 64{,}85 $$

   C'est plus que \(64\).

   $$ \text{trois oublis ou plus} : \ \text{impossible} $$