Problèmes sur les nombres décimaux

La carte de cantine

La carte de cantine de Yanis affiche un solde de \(12.40 \ \text{€}\). Chaque repas coûte \(3.85 \ \text{€}\), et la carte accepte un solde négatif, que les parents remboursent ensuite.

1. Calculer le prix de \(5\) repas.
   $$ 5 \times 3.85 $$

   $$ 19.25 \ \text{€} $$
2. Calculer le solde de la carte après ces \(5\) repas.
   $$ 12.40 - 19.25 $$

   $$ -6.85 \ \text{€} $$

   Le solde est négatif : les parents doivent \(6.85 \ \text{€}\).

3. Combien de repas Yanis pouvait-il prendre sans passer sous zéro ? Justifier.
   $$ 12.40 \div 3.85 = 3.22\ldots $$

   Le quotient n'est pas entier : on garde l'entier du dessous, car un quatrième repas ferait passer le solde sous zéro.

   $$ 3 \times 3.85 = 11.55 \ \text{€} \quad \text{et} \quad 4 \times 3.85 = 15.40 \ \text{€} $$

   $$ 3 \ \text{repas} $$

La descente du plongeur

Un plongeur part de la surface et descend à vitesse constante. Sa position, repérée par rapport à la surface, varie de \(-0.75 \ \text{m}\) chaque seconde.

1. Calculer sa position au bout de \(12.4\) secondes.
   $$ \left(-0.75\right) \times 12.4 $$

   $$ -9.3 \ \text{m} $$
2. On garde la même descente : au bout de combien de secondes atteint-il la position \(-27 \ \text{m}\) ?

   On multiplie le dividende et le diviseur par \(100\) pour rendre le diviseur entier :

   $$ \left(-27\right) \div \left(-0.75\right) = \left(-2 \ 700\right) \div \left(-75\right) $$

   $$ 36 \ \text{s} $$
3. Pour remonter sans danger, il ne doit pas monter de plus de \(0.3 \ \text{m}\) par seconde. Calculer la durée minimale de sa remontée depuis \(-27 \ \text{m}\).
   $$ 27 \div 0.3 = 270 \div 3 $$

   $$ 90 \ \text{s} $$

   Soit \(1 \ \text{min} \ 30 \ \text{s}\).

Le meilleur prix au litre

Au supermarché, le même jus d'orange se vend en trois formats :

• une bouteille de \(1.5 \ \text{L}\) à \(2.19 \ \text{€}\) ;
• une brique de \(0.75 \ \text{L}\) à \(1.15 \ \text{€}\) ;
• un pack de \(6\) canettes de \(0.33 \ \text{L}\) à \(3.49 \ \text{€}\).

1. Calculer le volume de jus du pack de canettes.
   $$ 6 \times 0.33 $$

   $$ 1.98 \ \text{L} $$
2. Calculer le prix d'un litre de jus pour chaque format, arrondi au centime.
   $$ 2.19 \div 1.5 = 1.46 \ \text{€} $$

   $$ 1.15 \div 0.75 = 1.533\ldots \approx 1.53 \ \text{€} $$

   $$ 3.49 \div 1.98 = 1.762\ldots \approx 1.76 \ \text{€} $$

   Les deux derniers quotients ne tombent pas juste : on regarde le chiffre des millièmes pour arrondir au centime.

3. Quel format est le plus avantageux ? Justifier.

   Le litre est le moins cher dans la bouteille de \(1.5 \ \text{L}\) : \(1.46 \ \text{€}\), contre \(1.53 \ \text{€}\) et \(1.76 \ \text{€}\).

   $$ \text{la bouteille de} \ 1.5 \ \text{L} $$

Le carrelage de la salle de bains

Le sol d'une salle de bains est un rectangle de \(2.8 \ \text{m}\) sur \(2.15 \ \text{m}\). Le carrelage se vend par boîtes qui couvrent chacune \(1.44 \ \text{m}^2\), à \(32.90 \ \text{€}\) la boîte.

1. Calculer l'aire du sol.
   $$ 2.8 \times 2.15 $$

   $$ 6.02 \ \text{m}^2 $$
2. Combien de boîtes faut-il acheter ? Justifier.
   $$ 6.02 \div 1.44 = 4.18\ldots $$

   Quatre boîtes ne couvrent que \(5.76 \ \text{m}^2\) : il faut prendre l'entier du dessus.

   $$ 5 \ \text{boîtes} $$
3. Calculer le prix de ces boîtes.
   $$ 5 \times 32.90 $$

   $$ 164.50 \ \text{€} $$

La fonte du glacier

Chaque année, on mesure la variation d'épaisseur d'un glacier des Alpes :

1. Calculer la variation d'épaisseur du glacier sur ces cinq années.
   $$ -1.2 - 0.8 + 0.3 - 1.6 - 2.1 $$

   $$ -5.4 \ \text{m} $$
2. Calculer la variation moyenne par an.
   $$ \left(-5.4\right) \div 5 $$

   $$ -1.08 \ \text{m} $$
3. On suppose que le glacier continue de perdre cette épaisseur moyenne chaque année. Au bout de combien d'années aura-t-il perdu \(30 \ \text{m}\) de plus ? Justifier.
   $$ 30 \div 1.08 = 3 \ 000 \div 108 = 27.7\ldots $$

   Au bout de \(27\) ans, il n'a perdu que \(27 \times 1.08 = 29.16 \ \text{m}\) : il faut une année de plus.

   $$ 28 \ \text{ans} $$

Les erreurs de la calculatrice

Noé a recopié quatre résultats de sa calculatrice, mais il a parfois oublié le signe, ou mal placé la virgule :

• \(\left(-4.8\right) \times 2.05 = -9.84\) ;
• \(0.62 \times \left(-0.5\right) = 0.31\) ;
• \(\left(-31.5\right) \div \left(-0.9\right) = 3.5\) ;
• \(198.4 \div \left(-6.2\right) = -32\).

1. Repérer, sans calculer, le résultat dont le signe est faux.

   Le produit d'un positif et d'un négatif est négatif :

   $$ 0.62 \times \left(-0.5\right) \ \text{ne peut pas valoir} \ 0.31 $$
2. Pour chacun des trois autres calculs, écrire un ordre de grandeur, puis repérer le résultat dont la virgule est mal placée.
   $$ \left(-4.8\right) \times 2.05 \approx \left(-5\right) \times 2 = -10 $$

   $$ \left(-31.5\right) \div \left(-0.9\right) \approx 30 \div 1 = 30 $$

   $$ 198.4 \div \left(-6.2\right) \approx 200 \div \left(-6\right) \approx -33 $$

   Le troisième résultat est dix fois trop petit :

   $$ \left(-31.5\right) \div \left(-0.9\right) \ \text{ne peut pas valoir} \ 3.5 $$
3. Corriger les deux résultats faux.
   $$ 0.62 \times \left(-0.5\right) = -0.31 \hspace{2em} \left(-31.5\right) \div \left(-0.9\right) = 35 $$

Deux nombres et leur produit

Deux nombres décimaux n'ont chacun qu'un chiffre après la virgule. Leur somme vaut \(0.9\) et leur produit vaut \(-0.36\).

Coup de pouce : en multipliant chaque nombre par \(10\), on cherche deux entiers relatifs dont la somme vaut \(9\) et le produit \(-36\).

1. Trouver ces deux nombres.

   Le produit \(-36\) est négatif : les deux entiers sont de signes contraires. On essaie les décompositions de \(36\) :

   $$ 12 + \left(-3\right) = 9 \quad \text{et} \quad 12 \times \left(-3\right) = -36 $$

   $$ 1.2 \quad \text{et} \quad -0.3 $$
2. Montrer qu'il n'y a pas d'autre solution.

   Les couples d'entiers de signes contraires dont le produit vaut \(-36\) sont, au signe près, \(1\) et \(36\), \(2\) et \(18\), \(3\) et \(12\), \(4\) et \(9\), \(6\) et \(6\). Leurs sommes :

   $$ \pm 35 \hspace{2em} \pm 16 \hspace{2em} \pm 9 \hspace{2em} \pm 5 \hspace{2em} 0 $$

   Une seule somme vaut \(9\), celle de \(12\) et de \(-3\) : la solution est unique.

Arrondir avant ou après ?

Un tapis rectangulaire mesure \(2.46 \ \text{m}\) sur \(3.46 \ \text{m}\). Pour donner son aire au dixième, Léa arrondit d'abord chaque longueur au dixième, puis multiplie. Hugo multiplie d'abord, puis arrondit le produit au dixième.

1. Calculer le résultat de Léa, puis celui de Hugo.
   $$ \text{Léa} : \ 2.5 \times 3.5 = 8.75 \approx 8.8 \ \text{m}^2 $$

   $$ \text{Hugo} : \ 2.46 \times 3.46 = 8.5116 \approx 8.5 \ \text{m}^2 $$
2. Qui donne la bonne valeur arrondie ? Expliquer pourquoi les deux méthodes ne donnent pas le même résultat.

   Hugo : l'arrondi porte sur l'aire, qui vaut \(8.5116 \ \text{m}^2\). Léa a allongé chaque côté de \(0.04 \ \text{m}\) avant de multiplier : ces deux petites erreurs sont multipliées par les longueurs, et l'aire grossit d'environ \(0.04 \times 3.5 + 0.04 \times 2.5 = 0.24 \ \text{m}^2\).

   $$ \text{on arrondit à la fin du calcul} $$