Les nombres rationnels en quatrième

Une fraction est un nombre à part entière : elle se multiplie, se divise, et a un opposé et un inverse.

Une recette prévue pour six personnes doit servir quatre convives : il faut en prendre les deux tiers.

$$ \frac{2}{3} \times 300 = 200 \ \text{g de farine} $$

Multiplier ne fait pas toujours grandir.

Multiplier par une fraction inférieure à $1$, c'est prendre une part de la quantité.

Une fraction

Une fraction est un nombre $F$ qui s'écrit :

$$ F = \frac{a}{b} \hspace{2em} \text{avec} \ (b \neq 0) $$

$a$ est le numérateur, $b$ le dénominateur.

On multiplie les éléments du haut entre eux, et de même pour les éléments du bas.

$$ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a c}{bd} $$

Exemple :

$$ M = \frac{1}{7} \times \frac{3}{2} $$

Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse.

$$ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} $$

Attention : il est interdit de diviser par zéro.

Exemple :

$$ D = \frac{4}{5} \div \frac{7}{6} $$

Un nombre rationnel peut s'écrire comme le quotient de deux nombres entiers relatifs, le second non nul.

$$ \frac{a}{b} \hspace{2em} \text{avec} \ (a \ \text{et} \ b \ \text{entiers}, \ b \neq 0) $$

Les entiers ($5 = \frac{5}{1}$) et les décimaux en sont ; $\sqrt{2}$ ne l'est pas.

L'opposé s'ajoute pour donner $0$ ; l'inverse se multiplie pour donner $1$. Le nombre $0$ est le seul à n'avoir pas d'inverse.

$$ -\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} $$

$$ \text{l'inverse de } \frac{a}{b} \text{ est } \frac{b}{a} $$

Le mot « de » se traduit par un signe de multiplication.

$$ \frac{a}{b} \text{ de } N = \frac{a}{b} \times N $$

Exemples : les trois quarts de $60\ \text{€}$, puis la moitié des trois quarts d'un gâteau.