Problèmes sur les nombres fractionnaires

Fraction, décimal, pourcentage

Compléter le tableau suivant, en arrondissant si besoin au centième près.

Multiplications et divisions

Calculer les résultats des opérations suivantes, en donnant chaque résultat sous forme de fraction simplifiée.

1. $$ A = 2 \times \frac{3}{4} $$
   $$ A = \frac{2 \times 3}{4} $$

   $$ A = \frac{6}{4} $$

   $$ A = \frac{3 \times \cancel{2}}{2 \times \cancel{2}} $$

   $$ A = \frac{3}{2} $$
2. $$ B = 5 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} $$
   $$ B = 5 \times \frac{1}{\cancel{2}} \times \frac{\cancel{2}}{3} $$

   $$ B = \frac{5}{3} $$
3. $$ C = \frac{5}{7} \times \frac{7}{3} \times \left(-\frac{1}{2}\right) $$
   $$ C = -\frac{5}{\cancel{7}} \times \frac{\cancel{7}}{3} \times \frac{1}{2} $$

   $$ C = -\frac{5}{3 \times 2} $$

   $$ C = -\frac{5}{6} $$
4. $$ D = \frac{3}{4} \div \frac{3}{4} $$

   Diviser par \(\frac{3}{4}\), c'est multiplier par son inverse \(\frac{4}{3}\) :

   $$ D = \frac{3}{4} \times \frac{4}{3} $$

   $$ D = \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \times \frac{\cancel{4}}{\cancel{3}} $$

   $$ D = 1 $$

Colorier les parts d'un carré

Tracer sur le quadrillage ci-dessous un carré de \(12\) carreaux sur \(12\), puis :

1. Colorier la moitié de ce carré en vert.

   Le carré compte \(12 \times 12 = 144\) carreaux. La moitié de \(144\) carreaux :

   $$ \frac{1}{2} \times 144 = 72 $$

   $$ 72 \ \text{carreaux, soit } 6 \text{ colonnes} $$
2. Dans ce même carré, colorier un quart en bleu, sans recouvrir le vert.
   $$ \frac{1}{4} \times 144 = 36 $$

   $$ 36 \ \text{carreaux, soit } 3 \text{ colonnes} $$
3. Toujours dans ce carré, colorier un sixième en rouge, sans recouvrir les carreaux déjà coloriés.
   $$ \frac{1}{6} \times 144 = 24 $$

   $$ 24 \ \text{carreaux, soit } 2 \text{ colonnes} $$

4. Quelle fraction du carré est restée sans couleur ? La calculer en comptant les carreaux sur le dessin.

   Sur le dessin, il reste une seule colonne blanche, soit \(12\) carreaux sur \(144\) :

   $$ 144 - 72 - 36 - 24 = 12 $$

   $$ \frac{12}{144} = \frac{\cancel{12} \times 1}{\cancel{12} \times 12} $$

   $$ \frac{1}{12} \ \text{du carré} $$

Retrouver le nombre de départ

Dans chaque cas, on connaît le résultat d'une multiplication par une fraction, et l'on cherche le nombre de départ.

1. Les \(\frac{3}{5}\) d'une cagnotte valent \(42 \ \text{€}\). Calculer le montant de la cagnotte.

   Prendre les \(\frac{3}{5}\) de la cagnotte, c'est la multiplier par \(\frac{3}{5}\). Pour remonter au départ, on divise donc \(42\) par \(\frac{3}{5}\), c'est-à-dire qu'on multiplie par son inverse \(\frac{5}{3}\) :

   $$ 42 \div \frac{3}{5} = 42 \times \frac{5}{3} $$

   $$ 42 \times \frac{5}{3} = \frac{210}{3} $$

   $$ 70 \ \text{€} $$

   On vérifie : \(\frac{3}{5} \times 70 = 42\).

2. On change de nombre. Pour trouver le nombre dont les \(\frac{2}{3}\) valent \(\frac{4}{5}\), Inès écrit \(\frac{4}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{15}\). Expliquer son erreur, puis trouver le bon nombre.

   Inès a multiplié par \(\frac{2}{3}\) au lieu de diviser. D'ailleurs, les \(\frac{2}{3}\) de son résultat ne redonnent pas \(\frac{4}{5}\) : \(\frac{2}{3} \times \frac{8}{15} = \frac{16}{45}\). Il faut diviser par \(\frac{2}{3}\) :

   $$ \frac{4}{5} \div \frac{2}{3} = \frac{4}{5} \times \frac{3}{2} $$

   $$ \frac{4}{5} \times \frac{3}{2} = \frac{12}{10} $$

   $$ \frac{6}{5} $$

   On vérifie : \(\frac{2}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}\).

3. Un autre nombre, multiplié par \(-\frac{4}{7}\), donne \(\frac{8}{21}\). Trouver ce nombre.

   On divise \(\frac{8}{21}\) par \(-\frac{4}{7}\), c'est-à-dire qu'on multiplie par son inverse \(-\frac{7}{4}\) :

   $$ \frac{8}{21} \times \left(-\frac{7}{4}\right) = -\frac{2 \times \cancel{4} \times \cancel{7}}{3 \times \cancel{7} \times \cancel{4}} $$

   $$ -\frac{2}{3} $$

   On vérifie : \(-\frac{2}{3} \times \left(-\frac{4}{7}\right) = \frac{8}{21}\).

La citronnade de la fête du collège

Pour la fête du collège, une classe a préparé \(18 \ \text{L}\) de citronnade. Les \(\frac{5}{6}\) de la citronnade sont servis dans des verres de \(\frac{1}{4} \ \text{L}\), et le reste est versé dans des gourdes de \(\frac{2}{3} \ \text{L}\).

1. Calculer le volume de citronnade servi en verres, puis le nombre de verres remplis.

   Les \(\frac{5}{6}\) de \(18 \ \text{L}\) :

   $$ \frac{5}{6} \times 18 = \frac{5 \times 3 \times \cancel{6}}{\cancel{6}} = 15 $$

   $$ 15 \ \text{L} $$

   Chercher combien de fois \(\frac{1}{4} \ \text{L}\) tient dans \(15 \ \text{L}\), c'est diviser par \(\frac{1}{4}\), donc multiplier par \(4\) :

   $$ 15 \div \frac{1}{4} = 15 \times 4 $$

   $$ 60 \ \text{verres} $$
2. Le reste de cette même citronnade part dans les gourdes. Déterminer combien de gourdes on peut remplir entièrement, et ce qu'il reste de citronnade.

   Il reste \(18 - 15 = 3 \ \text{L}\) de citronnade. Combien de fois \(\frac{2}{3} \ \text{L}\) tient-il dans \(3 \ \text{L}\) ?

   $$ 3 \div \frac{2}{3} = 3 \times \frac{3}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 $$

   On ne remplit pas une demi-gourde : on remplit \(4\) gourdes entières, qui contiennent \(4 \times \frac{2}{3} = \frac{8}{3} \ \text{L}\). Il reste :

   $$ 3 - \frac{8}{3} = \frac{9}{3} - \frac{8}{3} = \frac{1}{3} $$

   $$ 4 \ \text{gourdes pleines} \quad \text{et} \quad \frac{1}{3} \ \text{L de reste} $$
3. L'an prochain, la classe veut servir \(90\) verres de \(\frac{1}{4} \ \text{L}\), en gardant le même partage : les \(\frac{5}{6}\) en verres, le reste en gourdes. \(20 \ \text{L}\) de citronnade suffiront-ils ? Justifier.

   Les \(90\) verres demandent \(90 \times \frac{1}{4} = \frac{90}{4} = \frac{45}{2} \ \text{L}\), soit \(22.5 \ \text{L}\) : c'est déjà plus que \(20 \ \text{L}\).

   Ces \(\frac{45}{2} \ \text{L}\) ne sont que les \(\frac{5}{6}\) du total. Pour retrouver le volume total, on divise par \(\frac{5}{6}\) :

   $$ \frac{45}{2} \div \frac{5}{6} = \frac{45}{2} \times \frac{6}{5} = \frac{270}{10} = 27 $$

   $$ 27 \ \text{L} $$

   Il faut préparer \(27 \ \text{L}\) de citronnade : \(20 \ \text{L}\) ne suffiront pas.

La balle de ping-pong

Après chaque choc sur la table, une balle de ping-pong remonte aux \(\frac{3}{4}\) de la hauteur d'où elle vient de tomber. On la lâche de \(32 \ \text{cm}\), devant un tableau gradué tous les \(2 \ \text{cm}\).

1. Calculer la hauteur des trois premiers rebonds, puis vérifier les résultats sur la figure.

   Chaque hauteur est les \(\frac{3}{4}\) de la précédente :

   $$ \frac{3}{4} \times 32 = 24 \hspace{2em} \frac{3}{4} \times 24 = 18 \hspace{2em} \frac{3}{4} \times 18 = \frac{54}{4} = \frac{27}{2} $$

   $$ 24 \ \text{cm} \hspace{2em} 18 \ \text{cm} \hspace{2em} \frac{27}{2} \ \text{cm} = 13.5 \ \text{cm} $$

   Vérification : le premier arc monte jusqu'à la ligne épaisse de \(24\), le deuxième une graduation au-dessus de \(16\), et le troisième entre \(12\) et \(14\).

2. On change de balle : une balle du même modèle, lâchée d'une hauteur inconnue, remonte à \(27 \ \text{cm}\) après son troisième choc. Retrouver la hauteur d'où elle a été lâchée.

   Trois chocs multiplient la hauteur de départ par \(\frac{3}{4}\), trois fois de suite :

   $$ \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{27}{64} $$

   Pour remonter à la hauteur de départ, on divise \(27\) par \(\frac{27}{64}\), c'est-à-dire qu'on multiplie par son inverse \(\frac{64}{27}\) :

   $$ 27 \div \frac{27}{64} = 27 \times \frac{64}{27} = 64 $$

   $$ 64 \ \text{cm} $$

   Vérification : de \(64 \ \text{cm}\), la balle remonte à \(48 \ \text{cm}\), puis à \(36 \ \text{cm}\), puis à \(27 \ \text{cm}\).

3. On revient à la balle lâchée de \(32 \ \text{cm}\). Au moment d'un choc, on appelle \(D\) la distance totale qu'elle a parcourue depuis le lâcher, en descendant et en montant, et \(h\) la hauteur du rebond qui suit. Compléter le tableau. Que remarque-t-on ?

   Choc	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
   \(D \ (\text{cm})\)	\(32\)	..........	..........	..........
   \(h \ (\text{cm})\)	\(24\)	..........	..........	..........
   \(D + 8 \times h\)	\(224\)	..........	..........	..........

   Entre deux chocs, la balle monte de \(h\) puis redescend de \(h\) : on ajoute \(2 \times h\) à \(D\). Du troisième au quatrième choc, par exemple :

   $$ D = 116 + 2 \times \frac{27}{2} = 143 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} h = \frac{3}{4} \times \frac{27}{2} = \frac{81}{8} $$

   Choc	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
   \(D \ (\text{cm})\)	\(32\)	\(80\)	\(116\)	\(143\)
   \(h \ (\text{cm})\)	\(24\)	\(18\)	\(\frac{27}{2}\)	\(\frac{81}{8}\)
   \(D + 8 \times h\)	\(224\)	\(224\)	\(224\)	\(224\)

   Au quatrième choc, par exemple : \(143 + 8 \times \frac{81}{8} = 143 + 81 = 224\).

   $$ D + 8 \times h = 224 \ \text{à chaque choc} $$
4. Tom affirme qu'en rebondissant assez longtemps, la balle finira par avoir parcouru plus de \(2.30 \ \text{m}\). Prouver que \(D + 8 \times h\) garde la même valeur d'un choc au suivant, puis trancher.

   Au choc suivant, la balle a parcouru \(D + 2 \times h\), et le nouveau rebond vaut \(\frac{3}{4} \times h\). On calcule la même expression avec ces deux nouvelles valeurs :

   $$ D + 2 \times h + 8 \times \frac{3}{4} \times h = D + 2 \times h + 6 \times h $$

   $$ D + 2 \times h + 6 \times h = D + 8 \times h $$

   L'expression ne change pas d'un choc au suivant : elle vaut toujours \(224\), sa valeur au premier choc. À chaque choc :

   $$ D = 224 - 8 \times h $$

   La hauteur \(h\) du rebond suivant n'est jamais nulle : à chaque choc, la distance \(D\) reste sous les \(224 \ \text{cm}\). Entre deux chocs, la balle a parcouru moins qu'au choc suivant, donc moins de \(224 \ \text{cm}\) aussi.

   $$ D < 224 \ \text{cm} $$

   Tom a tort : quel que soit le nombre de rebonds, la balle ne parcourt jamais \(2.24 \ \text{m}\), et encore moins \(2.30 \ \text{m}\).

La mesure à trois temps

En musique, chaque note dure une fraction de ronde. Un point placé après une note multiplie sa durée par \(\frac{3}{2}\) : c'est une note pointée. Une mesure à trois temps dure \(\frac{3}{4}\) de ronde, et ses notes doivent la remplir exactement.

1. Calculer la durée d'une noire pointée, puis celle d'une blanche pointée. Laquelle remplit à elle seule une mesure à trois temps ?
   $$ \text{noire pointée} : \frac{3}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{8} \hspace{2em} \text{blanche pointée} : \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4} $$

   $$ \text{la blanche pointée}, \ \text{qui dure} \ \frac{3}{4} \ \text{de ronde} $$

   Vérification : une noire pointée dure autant qu'une noire et une croche, \(\frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\).

2. Une mesure à trois temps commence par une noire pointée, suivie d'une double croche. Prouver qu'aucune note seule, pointée ou non, ne peut la compléter, puis trouver toutes les façons de la compléter avec deux notes.

   Il reste à remplir :

   $$ \frac{3}{4} - \frac{3}{8} - \frac{1}{16} = \frac{12}{16} - \frac{6}{16} - \frac{1}{16} = \frac{5}{16} $$

   La double croche pointée dure \(\frac{3}{2} \times \frac{1}{16} = \frac{3}{32}\) : on écrit toutes les durées en trente-deuxièmes de ronde. Il reste \(\frac{10}{32}\).

   Note	Simple	Pointée
   ronde	\(\frac{32}{32}\)	\(\frac{48}{32}\)
   blanche	\(\frac{16}{32}\)	\(\frac{24}{32}\)
   noire	\(\frac{8}{32}\)	\(\frac{12}{32}\)
   croche	\(\frac{4}{32}\)	\(\frac{6}{32}\)
   double croche	\(\frac{2}{32}\)	\(\frac{3}{32}\)

   Aucune durée ne vaut \(\frac{10}{32}\) : aucune note seule ne complète la mesure. Avec deux notes, la plus longue dure au moins la moitié de \(\frac{10}{32}\), soit \(\frac{5}{32}\), et moins de \(\frac{10}{32}\) : c'est une croche pointée ou une noire.

   $$ \frac{10}{32} - \frac{6}{32} = \frac{4}{32} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{10}{32} - \frac{8}{32} = \frac{2}{32} $$

   \(\frac{4}{32}\) est la durée d'une croche, \(\frac{2}{32}\) celle d'une double croche.

   $$ \text{croche pointée et croche} \hspace{2em} \text{ou} \hspace{2em} \text{noire et double croche} $$
3. Trouver toutes les mesures à trois temps faites de trois notes de durées différentes, pointées ou non, sans tenir compte de leur ordre, et prouver qu'il n'y en a pas d'autre. On pourra raisonner sur la note la plus longue.

   En trente-deuxièmes, la mesure dure \(\frac{24}{32}\). On passe en revue la note la plus longue, de la plus longue à la plus courte ; les deux autres, plus courtes et de durées différentes, doivent compléter la mesure. La plus longue des deux dure alors plus de la moitié de ce qui reste.

   Blanche pointée ou plus longue : elle remplit déjà la mesure, ou la dépasse. Impossible.

   Une blanche : elle dure \(\frac{16}{32}\), il reste \(\frac{8}{32}\). La plus longue des deux autres dure plus de \(\frac{4}{32}\) et moins de \(\frac{8}{32}\) : c'est la croche pointée, \(\frac{6}{32}\), et il reste \(\frac{2}{32}\), une double croche.

   Une noire pointée : elle dure \(\frac{12}{32}\), il reste \(\frac{12}{32}\). La plus longue des deux autres dure plus de \(\frac{6}{32}\) et moins de \(\frac{12}{32}\) : c'est la noire, \(\frac{8}{32}\), et il reste \(\frac{4}{32}\), une croche.

   Une noire : les deux autres durent au plus \(\frac{6}{32}\) et \(\frac{4}{32}\), et la mesure au plus \(\frac{8}{32} + \frac{6}{32} + \frac{4}{32} = \frac{18}{32}\). Impossible.

   Plus courte qu'une noire : les trois notes durent au plus \(\frac{6}{32} + \frac{4}{32} + \frac{3}{32} = \frac{13}{32}\). Impossible.

   $$ \text{blanche} + \text{croche pointée} + \text{double croche} $$

   $$ \text{noire pointée} + \text{noire} + \text{croche} $$

   Vérification : \(\frac{16}{32} + \frac{6}{32} + \frac{2}{32} = \frac{24}{32}\) et \(\frac{12}{32} + \frac{8}{32} + \frac{4}{32} = \frac{24}{32}\), soit \(\frac{3}{4}\) de ronde.