Moon Arrows Sun
Arrows
Return Retour
Accueil Home
Imprimer

Les casse-tête des fractions

Un labyrinthe, des pyramides, un carré magique et l'écriture des scribes égyptiens : quatre casse-tête pour calculer avec des fractions, sans calculatrice.

Le labyrinthe des trois quarts

On entre par la case \(\mathrm{A1}\) et l'on sort par la case \(\mathrm{F5}\), en passant d'une case à sa voisine par un côté.

Colorier les cases égales à \(\frac{3}{4}\), puis tracer le chemin de l'entrée à la sortie qui ne passe que par elles.

Un labyrinthe de six colonnes, de A à F, et de cinq lignes, de 1 à 5 : on entre par la case A1, en haut à gauche, et l'on sort par la case F5, en bas à droite ; chaque case porte un nombre A B C D E F 1 2 3 4 5 Entrée Sortie
$$ \frac{6}{8} $$
$$ \frac{4}{3} $$
$$ 0.34 $$
$$ \frac{7}{8} $$
$$ \frac{6}{9} $$
$$ 0.7 $$
$$ 0.75 $$
$$ \frac{9}{12} $$
$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} $$
$$ \frac{9}{16} $$
$$ \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} $$
$$ -\frac{3}{4} $$
$$ \frac{8}{6} $$
$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} $$
$$ \frac{15}{20} $$
$$ \frac{1}{2} \div \frac{3}{2} $$
$$ \frac{12}{16} $$
$$ 1 - \frac{1}{3} $$
$$ \frac{18}{27} $$
$$ \frac{18}{24} $$
$$ 3 \div 4 $$
$$ \frac{21}{28} $$
$$ 1 - \frac{1}{4} $$
$$ 0.075 $$
$$ \frac{12}{15} $$
$$ \frac{1}{2} \div \frac{2}{3} $$
$$ 4 \div 3 $$
$$ \frac{15}{25} $$
$$ \frac{75}{100} $$
$$ \frac{-6}{-8} $$
Le labyrinthe corrigé : les quatorze cases égales à trois quarts sont coloriées ; le chemin, en vert, passe par A1, A2, B2, C2, C3, C4, D4, E4, E5 et F5, et les quatre autres cases, en bleu, forment deux impasses A B C D E F 1 2 3 4 5 Entrée Sortie
$$ \frac{6}{8} $$
$$ \frac{4}{3} $$
$$ 0.34 $$
$$ \frac{7}{8} $$
$$ \frac{6}{9} $$
$$ 0.7 $$
$$ 0.75 $$
$$ \frac{9}{12} $$
$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} $$
$$ \frac{9}{16} $$
$$ \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} $$
$$ -\frac{3}{4} $$
$$ \frac{8}{6} $$
$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} $$
$$ \frac{15}{20} $$
$$ \frac{1}{2} \div \frac{3}{2} $$
$$ \frac{12}{16} $$
$$ 1 - \frac{1}{3} $$
$$ \frac{18}{27} $$
$$ \frac{18}{24} $$
$$ 3 \div 4 $$
$$ \frac{21}{28} $$
$$ 1 - \frac{1}{4} $$
$$ 0.075 $$
$$ \frac{12}{15} $$
$$ \frac{1}{2} \div \frac{2}{3} $$
$$ 4 \div 3 $$
$$ \frac{15}{25} $$
$$ \frac{75}{100} $$
$$ \frac{-6}{-8} $$
  1. Parmi les cases écartées, une porte l'opposé de \(\frac{3}{4}\) et trois portent son inverse. Nommer ces quatre cases.

    L'opposé de \(\frac{3}{4}\) est \(-\frac{3}{4}\), en \(\mathrm{F2}\).

    L'inverse de \(\frac{3}{4}\) est \(\frac{4}{3}\) : il est écrit en \(\mathrm{B1}\), et s'écrit aussi \(\frac{8}{6}\) en \(\mathrm{A3}\) et \(4 \div 3\) en \(\mathrm{C5}\).

    $$ \text{opposé} : \mathrm{F2} \quad \text{inverse} : \mathrm{B1} \ ; \ \mathrm{A3} \ ; \ \mathrm{C5} $$
  2. Justifier par une simplification que la case \(\mathrm{D4}\) est sur le chemin, et que la case \(\mathrm{A4}\) n'y est pas.
    $$ \frac{21}{28} = \frac{3 \times \cancel{7}}{4 \times \cancel{7}} = \frac{3}{4} $$
    $$ \frac{18}{27} = \frac{2 \times \cancel{9}}{3 \times \cancel{9}} = \frac{2}{3} $$

    Or \(\frac{2}{3} = \frac{8}{12}\) et \(\frac{3}{4} = \frac{9}{12}\) : la case \(\mathrm{A4}\) ne vaut pas \(\frac{3}{4}\).

Les pyramides de produits

Dans une pyramide de produits, chaque brique porte le produit des deux briques sur lesquelles elle repose.

Deux pyramides de produits de quatre étages. Pyramide A : la base porte cinq sixièmes, moins trois dixièmes, 4 et moins un huitième, le reste est vide. Pyramide B : la base porte trois cinquièmes, deux briques vides, puis trois huitièmes ; au deuxième étage, un demi, une brique vide, trois quarts ; le troisième étage est vide ; le sommet porte vingt-cinq vingt-quatrièmes
$$ \frac{5}{6} $$
$$ -\frac{3}{10} $$
$$ 4 $$
$$ -\frac{1}{8} $$
 Pyramide A
$$ \frac{3}{5} $$
$$ \frac{3}{8} $$
$$ \frac{1}{2} $$
$$ \frac{3}{4} $$
$$ \frac{25}{24} $$
 Pyramide B
  1. Compléter la pyramide A, de la base vers le sommet, en écrivant chaque produit sous forme irréductible.

    Au deuxième étage, un seul facteur est négatif : chaque produit est négatif.

    $$ \frac{5}{6} \times \left(-\frac{3}{10}\right) = -\frac{15}{60} = -\frac{1}{4} $$
    $$ \left(-\frac{3}{10}\right) \times 4 = -\frac{12}{10} = -\frac{6}{5} $$
    $$ 4 \times \left(-\frac{1}{8}\right) = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2} $$

    Au troisième étage, les deux facteurs sont négatifs : les produits sont positifs.

    $$ \left(-\frac{1}{4}\right) \times \left(-\frac{6}{5}\right) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} $$
    $$ \left(-\frac{6}{5}\right) \times \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $$

    Le sommet :

    $$ \frac{3}{10} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{50} $$
    La pyramide A complétée : à la base cinq sixièmes, moins trois dixièmes, 4, moins un huitième ; puis moins un quart, moins six cinquièmes, moins un demi ; puis trois dixièmes et trois cinquièmes ; au sommet neuf cinquantièmes
    $$ \frac{5}{6} $$
    $$ -\frac{3}{10} $$
    $$ 4 $$
    $$ -\frac{1}{8} $$
    $$ -\frac{1}{4} $$
    $$ -\frac{6}{5} $$
    $$ -\frac{1}{2} $$
    $$ \frac{3}{10} $$
    $$ \frac{3}{5} $$
    $$ \frac{9}{50} $$
     Pyramide A
  2. Une brique qui manque à la base s'obtient en divisant la brique posée sur elle par l'autre brique qui la soutient. Compléter la pyramide B, en commençant par les deux briques qui manquent à sa base : le sommet, déjà écrit, permet de vérifier le résultat.

    Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :

    $$ \frac{1}{2} \div \frac{3}{5} = \frac{1}{2} \times \frac{5}{3} = \frac{5}{6} $$
    $$ \frac{3}{4} \div \frac{3}{8} = \frac{3}{4} \times \frac{8}{3} = \frac{24}{12} = 2 $$

    On remonte ensuite étage par étage :

    $$ \frac{5}{6} \times 2 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} $$
    $$ \frac{1}{2} \times \frac{5}{3} = \frac{5}{6} \quad \text{et} \quad \frac{5}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} $$
    $$ \frac{5}{6} \times \frac{5}{4} = \frac{25}{24} $$

    On retrouve le sommet écrit.

    La pyramide B complétée : à la base trois cinquièmes, cinq sixièmes, 2, trois huitièmes ; puis un demi, cinq tiers, trois quarts ; puis cinq sixièmes et cinq quarts ; au sommet vingt-cinq vingt-quatrièmes
    $$ \frac{3}{5} $$
    $$ \frac{5}{6} $$
    $$ 2 $$
    $$ \frac{3}{8} $$
    $$ \frac{1}{2} $$
    $$ \frac{5}{3} $$
    $$ \frac{3}{4} $$
    $$ \frac{5}{6} $$
    $$ \frac{5}{4} $$
    $$ \frac{25}{24} $$
     Pyramide B

Le carré magique

Dans un carré magique, les trois cases de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale ont la même somme : la somme magique.

Deux carrés de trois cases sur trois, colonnes A à C, lignes 1 à 3. Le premier porte un sixième en A1, un demi en C1, cinq douzièmes en B2 et deux tiers en C3 ; ses autres cases sont vides. Le second carré est vide A B C 1 2 3
$$ \frac{1}{6} $$
$$ \frac{1}{2} $$
$$ \frac{5}{12} $$
$$ \frac{2}{3} $$
 Premier carré A B C 1 2 3 Second carré
  1. Calculer la somme magique du premier carré, à partir de sa diagonale \(\mathrm{A1}\), \(\mathrm{B2}\), \(\mathrm{C3}\) déjà remplie.
    $$ \frac{1}{6} + \frac{5}{12} + \frac{2}{3} = \frac{2}{12} + \frac{5}{12} + \frac{8}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} $$
    $$ \text{somme magique} : \frac{5}{4} $$
  2. Compléter le premier carré, en écrivant chaque fraction sous forme irréductible.

    Une case qui manque vaut la somme magique moins les deux autres cases de sa ligne, de sa colonne ou de sa diagonale. Tout s'écrit en douzièmes :

    $$ \mathrm{B1} = \frac{15}{12} - \frac{2}{12} - \frac{6}{12} = \frac{7}{12} $$
    $$ \mathrm{C2} = \frac{15}{12} - \frac{6}{12} - \frac{8}{12} = \frac{1}{12} $$
    $$ \mathrm{A3} = \frac{15}{12} - \frac{6}{12} - \frac{5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $$
    $$ \mathrm{B3} = \frac{15}{12} - \frac{4}{12} - \frac{8}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} $$
    $$ \mathrm{A2} = \frac{15}{12} - \frac{2}{12} - \frac{4}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} $$
    Le premier carré complété : un sixième, sept douzièmes, un demi ; trois quarts, cinq douzièmes, un douzième ; un tiers, un quart, deux tiers A B C 1 2 3
    $$ \frac{1}{6} $$
    $$ \frac{7}{12} $$
    $$ \frac{1}{2} $$
    $$ \frac{3}{4} $$
    $$ \frac{5}{12} $$
    $$ \frac{1}{12} $$
    $$ \frac{1}{3} $$
    $$ \frac{1}{4} $$
    $$ \frac{2}{3} $$
     Premier carré
  3. On passe au second carré. Retrancher \(\frac{5}{12}\) à chaque case du premier carré, et écrire les neuf résultats dans le second.

    Chaque case passe en douzièmes, par exemple en \(\mathrm{A1}\) :

    $$ \frac{1}{6} - \frac{5}{12} = \frac{2}{12} - \frac{5}{12} = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4} $$
    Le second carré complété : moins un quart, un sixième, un douzième ; un tiers, 0, moins un tiers ; moins un douzième, moins un sixième, un quart A B C 1 2 3
    $$ -\frac{1}{4} $$
    $$ \frac{1}{6} $$
    $$ \frac{1}{12} $$
    $$ \frac{1}{3} $$
    $$ 0 $$
    $$ -\frac{1}{3} $$
    $$ -\frac{1}{12} $$
    $$ -\frac{1}{6} $$
    $$ \frac{1}{4} $$
     Second carré
  4. Expliquer pourquoi le second carré est encore magique, puis donner sa somme magique.

    Chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale compte trois cases, qui ont toutes perdu \(\frac{5}{12}\) : les huit sommes ont perdu la même quantité, et restent donc égales.

    $$ \frac{5}{4} - 3 \times \frac{5}{12} = \frac{15}{12} - \frac{15}{12} = 0 $$
    $$ \text{somme magique} : 0 $$

Les fractions égyptiennes

Les scribes de l'Égypte ancienne écrivaient une fraction comme une somme de fractions de numérateur \(1\), toutes différentes, dites unitaires, comme \(\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\).

Le carré unité partagé en six parts coloriées : un demi, un quart, un huitième, un seizième, un trente-deuxième et un soixante-quatrième ; une petite case blanche reste, marquée d'un point d'interrogation
$$ \frac{1}{2} $$
$$ \frac{1}{4} $$
$$ \frac{1}{8} $$
$$ \frac{1}{16} $$
$$ \frac{1}{32} $$
$$ \frac{1}{64} $$
\(?\)
Le carré unité partagé en six parts coloriées : un demi, un quart, un huitième, un seizième, un trente-deuxième et un soixante-quatrième ; la petite case blanche qui reste vaut un soixante-quatrième
$$ \frac{1}{2} $$
$$ \frac{1}{4} $$
$$ \frac{1}{8} $$
$$ \frac{1}{16} $$
$$ \frac{1}{32} $$
$$ \frac{1}{64} $$
$$ \frac{1}{64} $$
  1. Les six morceaux de l'œil d'Horus notaient les fractions du hekat, la mesure de grain des scribes, de la moitié au soixante-quatrième. Calculer la somme de ces six fractions, puis ce qui leur manque pour faire \(1\).
    $$ \frac{32}{64} + \frac{16}{64} + \frac{8}{64} + \frac{4}{64} + \frac{2}{64} + \frac{1}{64} = \frac{63}{64} $$
    $$ 1 - \frac{63}{64} = \frac{64}{64} - \frac{63}{64} = \frac{1}{64} $$
    $$ \text{il manque} \ \frac{1}{64} $$
  2. Un hekat vaut \(320\) ro, une mesure plus petite. Calculer en ro chacune des six parts de l'œil, puis la part qui manque.
    $$ \frac{1}{2} \times 320 = 160 \ \text{ro} $$

    Chaque part vaut la moitié de la précédente : \(160\), puis \(80\), \(40\), \(20\), \(10\) et \(5\) ro, soit \(315\) ro en tout.

    $$ \frac{1}{64} \times 320 = \frac{320}{64} = 5 $$
    $$ \text{il manque} \ 5 \ \text{ro} $$
  3. Pour écrire n'importe quelle fraction à l'égyptienne, Fibonacci décrit en 1202 une méthode : retrancher la plus grande fraction unitaire qui ne la dépasse pas, puis recommencer avec le reste. Décomposer de cette façon \(\frac{5}{8}\), puis \(\frac{2}{5}\), en suivant l'exemple :
    $$ \frac{7}{10} - \frac{1}{2} = \frac{7}{10} - \frac{5}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \quad \text{donc} \quad \frac{7}{10} = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} $$
    $$ \frac{5}{8} - \frac{1}{2} = \frac{5}{8} - \frac{4}{8} = \frac{1}{8} $$
    $$ \frac{5}{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} $$

    \(\frac{2}{5}\) est plus petit que \(\frac{1}{2} = \frac{5}{10}\), mais plus grand que \(\frac{1}{3}\), car \(\frac{2}{5} = \frac{6}{15}\) et \(\frac{1}{3} = \frac{5}{15}\) :

    $$ \frac{2}{5} - \frac{1}{3} = \frac{6}{15} - \frac{5}{15} = \frac{1}{15} $$
    $$ \frac{2}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15} $$
  4. Décomposer \(\frac{4}{5}\) par la même méthode : il faut trois fractions unitaires.
    $$ \frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10} $$

    \(\frac{1}{3} = \frac{10}{30}\) dépasse \(\frac{3}{10} = \frac{9}{30}\) : la plus grande fraction unitaire qui ne dépasse pas \(\frac{3}{10}\) est \(\frac{1}{4}\).

    $$ \frac{3}{10} - \frac{1}{4} = \frac{6}{20} - \frac{5}{20} = \frac{1}{20} $$
    $$ \frac{4}{5} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{20} $$
  5. Calculer \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\), puis décomposer \(\frac{7}{12}\) par la méthode de Fibonacci. Que montrent ces deux résultats ?
    $$ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12} $$
    $$ \frac{7}{12} - \frac{1}{2} = \frac{7}{12} - \frac{6}{12} = \frac{1}{12} $$
    $$ \frac{7}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} $$

    Une même fraction peut donc s'écrire de plusieurs façons à l'égyptienne.