Les opérations sur les nombres relatifs

Un nombre relatif

Un nombre relatif est un nombre muni d'un signe : $(+)$ s'il est positif, $(-)$ s'il est négatif. Il n'est pas forcément entier.

Deux nombres opposés ont la même distance à zéro et des signes contraires : leur somme vaut $0$.

Les sommes et les différences ont été vues en cinquième. Ce chapitre ajoute la multiplication et la division , puis les met au travail sur des situations où le signe a un sens : températures, altitudes, soldes.

Le signe d'un produit ou d'un quotient

On calcule d'abord les distances à zéro , puis on donne au résultat le signe que dicte le tableau.

Signe	$$ (+) $$	$$ (-) $$
$$ (+) $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$
$$ (-) $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$

La règle est la même pour la multiplication et pour la division.

Exemples :

$$ B = \left(-3 \right) \times \left(-4 \right) $$

$$ C = \left(-56 \right) \div 7 $$

Plusieurs facteurs à la suite

On compte le nombre de facteurs négatifs, puis :

si ce nombre est impair , c'est $\textcolor{rgb(232 124 124)}{(-)}$
si ce nombre est pair , c'est $\textcolor{rgb(93 183 129)}{(+)}$

On peut alors gérer les signes à part du résultat numérique du produit.

Exemple :

$$ D = \left(-3\right) \times \left(-4 \right) \times \left(-5 \right) $$

Une différence de températures

Passer d'une température à une autre, c'est soustraire la valeur de départ à la valeur d'arrivée. Le signe du résultat dit le sens : positif, il a fait plus chaud ; négatif, il a fait plus froid.

$$ \text{écart} = \text{arrivée} - \text{départ} $$

Exemple : à Oymiakon, en Sibérie, le thermomètre affiche $-47$ °C le matin et $-19$ °C l'après-midi. De combien de degrés est-il monté ?

$$ \left(-19\right) - \left(-47\right) $$

Retrancher un nombre négatif revient à ajouter son opposé : c'est pour cela que l'écart est plus grand que chacune des deux températures.

Un dénivelé en montagne

Une altitude au-dessus du niveau de la mer est positive , une profondeur est négative . Une montée compte en $+$, une descente en $-$, et le dénivelé total est leur somme.

Exemple : une randonnée part d'un refuge à $1\,850$ m, monte de $620$ m jusqu'au col, puis redescend de $940$ m jusqu'au village. À quelle altitude se termine-t-elle ?

$$ 1\,850 + 620 - 940 $$

Conséquence : en additionnant les montées et les descentes d'un parcours, on obtient le dénivelé net , qui ne dit rien de la fatigue : deux randonnées de dénivelé net nul peuvent être très différentes.

Un solde de compte

Un dépôt s'écrit avec un $+$, un retrait avec un $-$. Un solde négatif signifie que le compte est à découvert .

Exemple : un compte affiche $-35$ €. Un même prélèvement de $12$ € est passé $4$ fois. Quel est le nouveau solde ?

$$ \left(-35\right) + 4 \times \left(-12\right) $$