Les opérations sur les nombres relatifs en quatrième

Températures, altitudes, soldes : les nombres ont un signe, et le calcul doit en tenir compte.

Un plongeur descend de $3 \ \text{m}$ par minute pendant $4$ minutes :

$$ ({-}3) \times 4 = {-}12 \ \text{m} $$

S'il remonte au même rythme, le produit change de signe.

Deux facteurs de même signe donnent un produit positif : c'est la règle des signes.

Un nombre relatif

Un nombre relatif est un nombre muni d'un signe : $(+)$ s'il est positif, $(-)$ s'il est négatif, entier ou non.

Deux nombres opposés ont la même distance à zéro et des signes contraires : leur somme vaut $0$.

On transforme d'abord la différence en somme : soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé.

$$ a - \left(-b\right) = a + b \hspace{2em} a + \left(-b\right) = a - \left(+b\right) = a - b $$

On compare ensuite les signes des termes :

signes identiques : on ajoute les distances à zéro et on garde ce signe
signes contraires : on soustrait les distances à zéro et on garde le signe de la plus grande

Exemple :

$$ A = \left(-7\right) - \left(-12\right) + \left(-4\right) $$

$$ A = -7 + 12 - 4 $$

$$ A = 1 $$

On calcule d'abord les distances à zéro, puis le signe donné par le tableau.

Signe	$$ (+) $$	$$ (-) $$
$$ (+) $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$
$$ (-) $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$

La règle est la même pour la multiplication et la division.

Exemples :

$$ B = \left(-3\right) \times \left(-4\right) $$

$$ C = \left(-56\right) \div 7 $$

Pour une suite de facteurs, on compte les facteurs négatifs :

Ce comptage ne vaut que sur une suite ininterrompue de $\times$ et de $\div$ : une addition ou une soustraction rompt la chaîne.

La chaîne tient : trois facteurs négatifs.

$$ D = \left(-3\right) \times \left(-4\right) \times \left(-5\right) $$

$$ D = -60 $$

La chaîne est rompue : le $+$ coupe le calcul en deux.

$$ E = \left(-3\right) \times \left(-4\right) + \left(-5\right) \times 2 $$

$$ E = 12 - 10 $$

$$ E = 2 $$

Une différence de températures : à Oymiakon, il fait $-47$ °C le matin et $-19$ °C l'après-midi. De combien la température a-t-elle monté ?

$$ F = \left(-19\right) - \left(-47\right) $$

$$ F = -19 + 47 $$

$$ F = 28 \text{ °C} $$

Un dénivelé : une randonnée part de $1 \ 850$ m, monte de $620$ m puis descend de $940$ m. À quelle altitude arrive-t-elle ?

$$ G = 1 \ 850 + 620 - 940 $$

$$ G = 1 \ 530 \text{ m} $$