Problèmes sur les nombres relatifs en quatrième

Des dates avant notre ère, des points perdus, un sous-marin, une montagne : le signe dit le sens.

Calculer un écart entre deux nombres relatifs
Multiplier et diviser des relatifs dans un contexte
Retrouver une donnée de départ ou repérer une erreur
Interpréter le signe d'un résultat

Calculer un écart

Pour l'ascension du mont Everest, le camp de base se situe à $5 \ 364 \ \text{m}$ d'altitude et le sommet à $8 \ 849 \ \text{m}$.

Calculer le dénivelé de cette ascension.

$$ D = 8 \ 849 - 5 \ 364 $$

$$ D = 3 \ 485 \ \text{m} $$
Les températures extrêmes enregistrées en France sont :
- la plus basse : $-36.7 \ \text{°C}$ ;
- la plus haute : $46.0 \ \text{°C}$.
Calculer l'écart entre ces deux températures.

$$ E = 46.0 - (-36.7) $$

$$ E = 46.0 + 36.7 $$

$$ E = 82.7 \ \text{°C} $$

L'âge des sages de l'Antiquité

Déterminer, le plus précisément possible, l'âge auquel chacun de ces personnages est mort. Une date avant Jésus-Christ se repère par un nombre négatif.

Lao-tseu a vécu du milieu du VI ^ème siècle av. J.-C. jusqu'au milieu du V ^ème siècle av. J.-C.

Un voyage de mille lieues commence toujours par un premier pas

Le milieu du VI^ème siècle av. J.-C. est l'an $-550$, celui du V^ème siècle av. J.-C. l'an $-450$ :

$$ A_1 \approx (-450) - (-550) $$

$$ A_1 \approx -450 + 550 $$

$$ A_1 \approx 100 \ \text{ans} $$
Confucius serait né le 28 septembre 551 av. J.-C. et serait mort le 11 avril 479 av. J.-C.

Exige beaucoup de toi-même et attends peu des autres

Appelons $A_2'$ la durée écoulée du 28 septembre 551 av. J.-C. au 28 septembre 479 av. J.-C. :

$$ A_2' = (-479) - (-551) $$

$$ A_2' = -479 + 551 $$

$$ A_2' = 72 \ \text{ans} $$

Le 11 avril tombe avant le 28 septembre : Confucius est mort avant d'avoir fêté ses $72$ ans.

$$ A_2 = 72 - 1 $$

$$ A_2 = 71 \ \text{ans} $$
Socrate serait né vers 470 av. J.-C. et mort vers 399 av. J.-C.

Tout ce que je sais, c'est que je ne sais rien

$$ A_3 \approx (-399) - (-470) $$

$$ A_3 \approx -399 + 470 $$

$$ A_3 \approx 71 \ \text{ans} $$
Sénèque aurait vécu de 4 av. J.-C. environ à 65 ap. J.-C. environ. Attention : le calendrier ne compte pas d'année $0$, on passe directement de l'an 1 av. J.-C. à l'an 1 ap. J.-C.

Si l'année $0$ existait, l'écart serait :

$$ 65 - (-4) = 65 + 4 = 69 $$

Mais cette année $0$ n'a jamais eu lieu : il faut retirer une année.

$$ A_4 \approx 69 - 1 $$

$$ A_4 \approx 68 \ \text{ans} $$

Le jeu du Trivial Pursuit

Dans un Trivial Pursuit amélioré, on attribue :

$+4$ points à chaque bonne réponse ;
$-3$ points à chaque mauvaise réponse ;
$-1$ point à chaque question esquivée.

Chaque round compte $8$ questions.

Au premier round, Erwan a donné $4$ bonnes réponses et $2$ mauvaises, et il a esquivé $2$ questions.

Calculer son score pour ce round.

$$ R_1 = 4 \times 4 + 2 \times (-3) + 2 \times (-1) $$

$$ R_1 = 16 - 6 - 2 $$

$$ R_1 = 8 \ \text{points} $$
Au deuxième round, ce même Erwan a donné $4$ bonnes réponses et $3$ mauvaises, et il a esquivé $1$ question.

Calculer son score pour ce deuxième round.

$$ R_2 = 4 \times 4 + 3 \times (-3) + 1 \times (-1) $$

$$ R_2 = 16 - 9 - 1 $$

$$ R_2 = 6 \ \text{points} $$

Au troisième round, Erwan a esquivé $3$ questions et marqué $10$ points.

Trouver combien de bonnes et de mauvaises réponses il a données.

Erwan a répondu à $8 - 3 = 5$ questions. Ses $3$ esquives lui coûtent $3 \times (-1) = -3$ points. On essaie toutes les répartitions possibles des $5$ réponses :

Bonnes réponses	$$ 5 $$	$$ 4 $$	$$ 3 $$	$$ 2 $$	$$ 1 $$	$$ 0 $$
Mauvaises réponses	$$ 0 $$	$$ 1 $$	$$ 2 $$	$$ 3 $$	$$ 4 $$	$$ 5 $$
Score	$$ 17 $$	$$ 10 $$	$$ 3 $$	$$ -4 $$	$$ -11 $$	$$ -18 $$

Par exemple, pour $4$ bonnes réponses et $1$ mauvaise :

$$ 4 \times 4 + 1 \times (-3) + 3 \times (-1) = 16 - 3 - 3 = 10 $$

C'est la seule répartition qui donne $10$ points :

$$ 4 \text{ bonnes réponses} \quad \text{et} \quad 1 \text{ mauvaise réponse} $$

La plongée du sous-marin

Un sous-marin plonge à vitesse constante. On repère sa position par son altitude par rapport à la surface de la mer : à $10\text{h}00$, elle vaut $-30 \ \text{m}$ ; à $10\text{h}15$, elle vaut $-120 \ \text{m}$.

Pour trouver de combien l'altitude varie chaque minute, Inès écrit :

$$ (-30 - 120) \div 15 = -10 $$

Repérer son erreur, puis calculer la bonne variation par minute.

Une variation se calcule en retirant l'altitude de départ à l'altitude d'arrivée. Inès a retiré $120$ à $-30$ : elle a ajouté les deux profondeurs au lieu de calculer leur écart.

$$ V = (-120) - (-30) $$

$$ V = -120 + 30 = -90 $$

$$ v = (-90) \div 15 $$

$$ v = -6 \ \text{m par minute} $$

Le signe $-$ dit que le sous-marin descend : il perd $6 \ \text{m}$ d'altitude chaque minute.
Le sous-marin plonge à cette même vitesse depuis qu'il a quitté la surface. Retrouver l'heure à laquelle il l'a quittée.

À la surface, son altitude valait $0$. Pour passer de $0$ à $-30 \ \text{m}$ en perdant $6 \ \text{m}$ par minute, il lui a fallu :

$$ t = (-30) \div (-6) $$

$$ t = 5 \ \text{min} $$

Le quotient de deux nombres négatifs est positif : c'est bien une durée. On vérifie : $5 \times (-6) = -30$.

$$ \text{il a quitté la surface à } 9\text{h}55 $$
Le capitaine annonce que ce même sous-marin, toujours à la même vitesse, atteindra l'altitude $-156 \ \text{m}$ à $10\text{h}20$. Trancher par un calcul.

De $10\text{h}15$ à $10\text{h}20$, il s'écoule $5 \ \text{min}$ :

$$ -120 + 5 \times (-6) = -120 - 30 = -150 $$

À $10\text{h}20$, le sous-marin ne sera qu'à $-150 \ \text{m}$. Il lui faut en réalité :

$$ \bigl[(-156) - (-120)\bigr] \div (-6) = (-36) \div (-6) = 6 \ \text{min} $$

$$ \text{le capitaine a tort : il l'atteindra à } 10\text{h}21 $$

La température en montagne

En montagne, la température baisse d'environ $6 \ \text{°C}$ chaque fois que l'on monte de $1 \ 000 \ \text{m}$. Un matin, au pied de la montagne, à $500 \ \text{m}$ d'altitude, il fait $12 \ \text{°C}$.

Le sommet est à $4 \ 500 \ \text{m}$ d'altitude. Calculer la température au sommet ce matin-là.

Du pied au sommet, on monte de $4 \ 500 - 500 = 4 \ 000 \ \text{m}$, soit $4$ fois $1 \ 000 \ \text{m}$. La température varie donc de :

$$ 4 \times (-6) = -24 $$

$$ T = 12 + (-24) $$

$$ T = -12 \ \text{°C} $$
Au même moment, le thermomètre du refuge affiche $-3 \ \text{°C}$. Retrouver l'altitude du refuge, puis vérifier sur la figure.

Du pied au refuge, la température varie de :

$$ -3 - 12 = -15 $$

Chaque montée de $1 \ 000 \ \text{m}$ la fait varier de $-6$. Le nombre de fois $1 \ 000 \ \text{m}$ est donc :

$$ (-15) \div (-6) = 2.5 $$

On monte de $2.5 \times 1 \ 000 = 2 \ 500 \ \text{m}$ au-dessus du pied :

$$ 500 + 2 \ 500 $$

$$ \text{le refuge est à } 3 \ 000 \ \text{m} $$

Sur la figure, le pointillé du refuge rejoint bien la graduation $3 \ 000 \ \text{m}$.
Maël affirme : « À mi-hauteur entre le pied et le sommet de cette même montagne, la température est la moyenne de celles du pied et du sommet, donc il y fait $0 \ \text{°C}$. » Trancher par le calcul.

La mi-hauteur est à l'altitude :

$$ (500 + 4 \ 500) \div 2 = 2 \ 500 \ \text{m} $$

On y monte de $2 \ 000 \ \text{m}$ depuis le pied, soit $2$ fois $1 \ 000 \ \text{m}$ :

$$ 12 + 2 \times (-6) = 12 - 12 = 0 $$

La moyenne des températures du pied et du sommet vaut, elle :

$$ \bigl[12 + (-12)\bigr] \div 2 = 0 \div 2 = 0 $$

$$ \text{Maël a raison : il fait } 0 \ \text{°C à } 2 \ 500 \ \text{m} $$

Au-dessus de $2 \ 500 \ \text{m}$, la température est donc négative : le refuge, plus haut, est bien sous zéro.

La cible de fléchettes

À chaque volée, on lance trois fléchettes sur cette cible, et le score est le produit des trois nombres touchés. Une fléchette peut retomber dans un secteur déjà touché. Les croix marquent la volée de Samir.

Calculer le score de Samir.

$$ ({-}2) \times 3 \times ({-}1) $$

Deux facteurs négatifs, un nombre pair : le produit est positif.

$$ 6 $$
Trouver le meilleur et le pire score possibles, et prouver qu'on ne peut faire ni mieux, ni pire.

Chaque nombre de la cible est à une distance de zéro d'au plus $4$ : un score est à une distance de zéro d'au plus $4 \times 4 \times 4 = 64$.

Le pire score : trois fléchettes sur le $-4$ donnent trois facteurs négatifs, un nombre impair.

$$ ({-}4) \times ({-}4) \times ({-}4) = -64 $$

Aucun score n'est plus loin de zéro : on ne peut pas faire pire.

$$ \text{pire score} : -64 $$

Le meilleur score : un score positif a zéro ou deux facteurs négatifs. Sans facteur négatif, chaque nombre vaut au plus $3$, et le score au plus $3 \times 3 \times 3 = 27$. Avec deux facteurs négatifs, ceux-ci sont à une distance de zéro d'au plus $4$, et le nombre positif vaut au plus $3$ :

$$ ({-}4) \times ({-}4) \times 3 = 48 $$

$$ \text{meilleur score} : 48 $$

Le pire score vise trois fois le $-4$ ; le meilleur, deux fois le $-4$ et une fois le $3$, et non trois fois le plus grand nombre de la cible.

Julia obtient un score de $-4$, et ses trois nombres ont pour somme $-5$. Retrouver les trois nombres qu'elle a touchés, et prouver qu'il n'y a pas d'autre possibilité. On pourra chercher d'abord leurs distances à zéro, puis leurs signes.

Les distances à zéro : leur produit vaut $4$. Si l'une vaut $4$, les deux autres valent $1$. Sinon, aucune ne vaut $3$, car $4$ n'est pas un multiple de $3$ : ce sont des $1$ et des $2$, et il faut deux $2$ pour obtenir $4$.

$$ 4 \times 1 \times 1 \hspace{2em} \text{ou} \hspace{2em} 2 \times 2 \times 1 $$

Les signes : le score est négatif, donc le nombre de facteurs négatifs est impair. La cible ne porte la distance $4$ que sur le $-4$ ; les distances $1$ et $2$ y figurent avec les deux signes.

Avec $-4$, les deux autres facteurs négatifs doivent être en nombre pair : deux $-1$, ou deux $1$.
Avec $2 \times 2 \times 1$, il faut trois facteurs négatifs, ou un seul : le $-1$, ou l'un des deux $-2$.

Nombres touchés	Score	Somme
$-4 \ ; \ {-}1 \ ; \ {-}1$	$-4$	$-6$
$-4 \ ; \ 1 \ ; \ 1$	$-4$	$-2$
$-2 \ ; \ {-}2 \ ; \ {-}1$	$-4$	$-5$
$-2 \ ; \ 2 \ ; \ 1$	$-4$	$1$
$2 \ ; \ 2 \ ; \ {-}1$	$-4$	$3$

Cinq volées donnent $-4$, et une seule a pour somme $-5$.

$$ -2 \ ; \ {-}2 \ ; \ {-}1 $$

Vérification : $({-}2) \times ({-}2) \times ({-}1) = 4 \times ({-}1) = -4$ et $-2 + ({-}2) + ({-}1) = -5$.

Moins par moins

Léo affirme : « $({-}3) \times ({-}2) = -6$, car deux nombres négatifs donnent un résultat encore plus négatif. » Dans ce repère, chaque point a pour abscisse un nombre, et pour ordonnée le produit de $-3$ par ce nombre. On a placé les points des nombres $0$ à $3$.

Calculer le produit de $-3$ par $3$, par $2$, par $1$ et par $0$, puis vérifier les points placés. De combien le produit change-t-il quand le nombre diminue de $1$ ?

$$ ({-}3) \times 3 = -9 \hspace{2em} ({-}3) \times 2 = -6 \hspace{2em} ({-}3) \times 1 = -3 \hspace{2em} ({-}3) \times 0 = 0 $$

Ce sont bien les ordonnées des quatre points placés. De $-9$ à $-6$, de $-6$ à $-3$, puis de $-3$ à $0$ :

$$ \text{le produit augmente de } 3 $$
En prolongeant cette même régularité, prévoir le produit de $-3$ par $-1$, par $-2$ et par $-3$, puis placer les trois points. Où serait le point de Léo ?

Chaque fois que le nombre diminue de $1$, on ajoute $3$ au produit :

$$ 0 + 3 = 3 \hspace{2em} 3 + 3 = 6 \hspace{2em} 6 + 3 = 9 $$

$$ ({-}3) \times ({-}1) = 3 \hspace{2em} ({-}3) \times ({-}2) = 6 \hspace{2em} ({-}3) \times ({-}3) = 9 $$

Les sept points sont alignés. Le point de Léo, $({-}2 \ ; \ {-}6)$, tomberait sous l'axe des abscisses, loin de cette droite : le produit redescendrait au lieu de continuer à monter.
Une régularité ne prouve rien. On admet que la distributivité reste vraie avec des nombres relatifs. Calculer de deux façons $({-}3) \times \bigl(2 + ({-}2)\bigr)$, et en déduire que Léo a tort.

Première façon : la parenthèse vaut $0$.

$$ ({-}3) \times \bigl(2 + ({-}2)\bigr) = ({-}3) \times 0 = 0 $$

Seconde façon : on développe.

$$ ({-}3) \times \bigl(2 + ({-}2)\bigr) = ({-}3) \times 2 + ({-}3) \times ({-}2) = -6 + ({-}3) \times ({-}2) $$

Les deux calculs donnent le même nombre : $-6 + ({-}3) \times ({-}2) = 0$. Le produit $({-}3) \times ({-}2)$ est donc l'opposé de $-6$.

$$ ({-}3) \times ({-}2) = 6 $$

Léo a tort, et la régularité de la question 2 avait vu juste.
On généralise : $a$ et $b$ désignent deux nombres positifs. Prouver que $({-}a) \times ({-}b) = a \times b$.

On reprend la méthode de la question 3 avec $({-}a) \times \bigl(b + ({-}b)\bigr)$. La parenthèse vaut $0$, donc ce produit vaut $0$. En développant :

$$ ({-}a) \times b + ({-}a) \times ({-}b) = 0 $$

Le produit $({-}a) \times b$ n'a qu'un facteur négatif : il vaut $-(a \times b)$. Donc :

$$ -(a \times b) + ({-}a) \times ({-}b) = 0 $$

Le produit $({-}a) \times ({-}b)$ est l'opposé de $-(a \times b)$ :

$$ ({-}a) \times ({-}b) = a \times b $$

C'est la règle des signes : le produit de deux nombres négatifs est positif.

Nombres touchés	Score	Somme
\(-4 \ ; \ {-}1 \ ; \ {-}1\)	\(-4\)	\(-6\)
\(-4 \ ; \ 1 \ ; \ 1\)	\(-4\)	\(-2\)
\(-2 \ ; \ {-}2 \ ; \ {-}1\)	\(-4\)	\(-5\)
\(-2 \ ; \ 2 \ ; \ 1\)	\(-4\)	\(1\)
\(2 \ ; \ 2 \ ; \ {-}1\)	\(-4\)	\(3\)