Afficher en version longue
Rédiger le cours
Moon Arrows Sun
Arrows
Return Retour
Accueil Home
Imprimer

Les puissances

Un même facteur répété s'écrit en abrégé, et les puissances se combinent par des règles simples sur les exposants.

Une bactérie se divise en deux toutes les heures : au bout de \(10\) heures, elles sont \(2^{10}\) ; au bout de \(20\) heures, \(2^{20}\).

$$ 2^{10} = 1 \ 024 \hspace{3em} 2^{20} = 1 \ 048 \ 576 $$

Doubler le temps ne double pas le nombre : il l'élève au carré.

Une puissance compte des répétitions d'un même facteur, et croît plus vite qu'une addition.

Puissances de \(x\)

Soit \(x\) et \(y\) deux nombres, et \(a\) un entier naturel.

On définit une puissance de \(x\) par un produit de facteurs identiques:

$$ x^a = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } $$

Exemples :

$$ 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 $$
$$ 10^2 = 10 \times 10 = 100 $$

  1. Pour multiplier deux puissances de même base :

    $$ x^a \times x^b = x^{a+b} $$

    Exemple :

    $$ 1 \ 000 \times 100 = 100 \ 000 $$

    Et avec la formule :

    $$ 10^3 \times 10^2 = 10^{3 + 2} = 10^5 \hspace{2em} (= 100 \ 000) $$

  2. Pour diviser deux puissances de même base :

    $$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$

    Exemple :

    $$ \frac{1 \ 000}{100} = 10 $$

    Et avec la formule :

    $$ \frac{10^3}{10^2} = 10^{3 - 2} = 10^1 \hspace{2em} (= 10) $$

Produit de puissances de même exposant

Lorsque deux nombres portent le même exposant, on peut regrouper les bases.

$$ x^n \times y^n = (x \times y)^n $$

Le produit de deux puissances de même exposant

On écrit chaque puissance comme un produit de facteurs répétés :

$$ x^n \times y^n = \underbrace{x \times \dots \times x}_{n \text{ fois}} \times \underbrace{y \times \dots \times y}_{n \text{ fois}} $$

On associe chaque \(x\) à un \(y\) :

$$ x^n \times y^n = \underbrace{(x \times y) \times \dots \times (x \times y)}_{n \text{ fois}} $$

C'est une puissance de base \(x \times y\) :

$$ x^n \times y^n = (x \times y)^n $$
$$ 2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 = 10^3 = 1 \ 000 $$