Problèmes sur les puissances

Des longueurs en puissances de dix

Écrire chaque longueur en mètres, à l'aide d'une puissance de \(10\).

1. \(1 \ 000 \ \text{m}\)

   La longueur est déjà en mètres, et \(1 \ 000 = 10 \times 10 \times 10\) :

   $$ 1 \ 000 \ \text{m} = 10^3 \ \text{m} $$
2. \(0.001 \ \text{cm}\)
   $$ 0.001 \ \text{cm} = 10^{-3} \ \text{cm} $$

   Or \(1 \ \text{cm} = 0.01 \ \text{m} = 10^{-2} \ \text{m}\), donc :

   $$ 0.001 \ \text{cm} = 10^{-3} \times 10^{-2} \ \text{m} $$

   $$ 0.001 \ \text{cm} = 10^{-3 + (-2)} \ \text{m} $$

   $$ 0.001 \ \text{cm} = 10^{-5} \ \text{m} $$
3. \(1 \ 000 \ \text{km}\)
   $$ 1 \ 000 \ \text{km} = 10^3 \ \text{km} $$

   Or \(1 \ \text{km} = 1 \ 000 \ \text{m} = 10^3 \ \text{m}\), donc :

   $$ 1 \ 000 \ \text{km} = 10^3 \times 10^3 \ \text{m} $$

   $$ 1 \ 000 \ \text{km} = 10^6 \ \text{m} $$
4. \(1 \ 000 \ 000 \ \text{km}\)
   $$ 1 \ 000 \ 000 \ \text{km} = 10^6 \ \text{km} $$

   Avec, de nouveau, \(1 \ \text{km} = 10^3 \ \text{m}\) :

   $$ 1 \ 000 \ 000 \ \text{km} = 10^6 \times 10^3 \ \text{m} $$

   $$ 1 \ 000 \ 000 \ \text{km} = 10^9 \ \text{m} $$

Écriture décimale et écriture scientifique

Les calculs doivent apparaître ci-dessous :

Ordres de grandeur d'engins

La liste suivante donne la vitesse maximale de quelques engins :

• Tracteur : \(\sim 40 \ \text{km/h}\)
• Formule 1 : \(\sim 370 \ \text{km/h}\)
• Avion de ligne : \(\sim 1 \ 200 \ \text{km/h}\)
• Vélo : \(\sim 35 \ \text{km/h}\)
• Charrue : \(\sim 15 \ \text{km/h}\)

1. Convertir ces vitesses dans l'unité standard de physique, le \(\text{m/s}\), en arrondissant à deux chiffres après la virgule.

   En une heure, soit \(3 \ 600 \ \text{s}\), parcourir \(1 \ \text{km}\), soit \(1 \ 000 \ \text{m}\), revient à parcourir \(\frac{1 \ 000}{3 \ 600} \ \text{m}\) chaque seconde : on divise donc chaque vitesse par \(3.6\).

   • Tracteur : \(\frac{40}{3.6} \simeq 11.11 \ \text{m/s}\)

   • Formule 1 : \(\frac{370}{3.6} \simeq 102.78 \ \text{m/s}\)

   • Avion de ligne : \(\frac{1 \ 200}{3.6} \simeq 333.33 \ \text{m/s}\)

   • Vélo : \(\frac{35}{3.6} \simeq 9.72 \ \text{m/s}\)

   • Charrue : \(\frac{15}{3.6} \simeq 4.17 \ \text{m/s}\)

2. Écrire ces mêmes vitesses, en \(\text{m/s}\), en écriture scientifique.

   • Tracteur : \(\sim 1.111 \times 10^1 \ \text{m/s}\)

   • Formule 1 : \(\sim 1.027 \ 8 \times 10^2 \ \text{m/s}\)

   • Avion de ligne : \(\sim 3.333 \ 3 \times 10^2 \ \text{m/s}\)

   • Vélo : \(\sim 9.72 \times 10^0 \ \text{m/s}\)

   • Charrue : \(\sim 4.17 \times 10^0 \ \text{m/s}\)

3. Enfin, remplir le tableau suivant et en déduire l'ordre de grandeur de la vitesse de chaque engin.

   Vitesse Engin	Tracteur	Formule 1	Avion de ligne	Vélo	Charrue
   Écriture scientifique
   Ordre de grandeur

   Vitesse Engin	Tracteur	Formule 1	Avion de ligne	Vélo	Charrue
   Écriture scientifique	$$ 1.111 \times 10^1 $$	$$ 1.027 \ 8 \times 10^2 $$	$$ 3.333 \ 3 \times 10^2 $$	$$ 9.72 \times 10^0 $$	$$ 4.17 \times 10^0 $$
   Ordre de grandeur	$$ 10^1 $$	$$ 10^2 $$	$$ 10^2 $$	$$ 10^0 $$	$$ 10^0 $$

   L'ordre de grandeur est la puissance de \(10\) de l'écriture scientifique : la Formule 1 et l'avion de ligne sont du même ordre de grandeur, comme le vélo et la charrue.

L'année-lumière

La lumière se déplace dans l'espace à la vitesse de \(300 \ 000 \ \text{km}\) par seconde.

1. Convertir cette vitesse en \(\text{m/s}\).
   $$ V = 300 \ 000 \ \text{km/s} $$

   Or \(1 \ \text{km} = 1 \ 000 \ \text{m}\), donc :

   $$ V = 300 \ 000 \times 1 \ 000 \ \text{m/s} $$

   $$ V = 300 \ 000 \ 000 \ \text{m/s} $$
2. Écrire cette même vitesse, en \(\text{m/s}\), en écriture scientifique.
   $$ V = 300 \ 000 \ 000 \ \text{m/s} $$

   $$ V = 3 \times 10^{8} \ \text{m/s} $$
3. Une année-lumière est la distance parcourue par la lumière en un an, et un an compte \(31 \ 557 \ 600 \ \text{s}\). Calculer la distance correspondant à une année-lumière, en mètres, et la donner en écriture scientifique.

   La distance parcourue est la vitesse multipliée par la durée :

   $$ D = 3 \times 10^{8} \times 31 \ 557 \ 600 \ \text{m} $$

   $$ D = 94 \ 672 \ 800 \times 10^{8} \ \text{m} $$

   On écrit \(94 \ 672 \ 800\) en écriture scientifique, puis on regroupe les puissances de \(10\) :

   $$ D = 9.467 \ 28 \times 10^{7} \times 10^{8} \ \text{m} $$

   $$ D = 9.467 \ 28 \times 10^{7 + 8} \ \text{m} $$

   $$ D = 9.467 \ 28 \times 10^{15} \ \text{m} $$

Trois calculs faux

Trois élèves ont chacun écrit un calcul faux. Pour chaque calcul, repérer l'erreur, puis écrire le calcul juste et la valeur du résultat.

1. Léa écrit \(2^3 \times 2^4 = 2^{12}\).

   Léa a multiplié les exposants. En revenant à la définition, on compte les facteurs :

   $$ 2^3 \times 2^4 = \underbrace{2 \times 2 \times 2}_{3 \text{ facteurs}} \times \underbrace{2 \times 2 \times 2 \times 2}_{4 \text{ facteurs}} $$

   Cela fait \(3 + 4 = 7\) facteurs : les exposants s'additionnent.

   $$ 2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128 $$

   Vérification : \(8 \times 16 = 128\), alors que \(2^{12} = 4 \ 096\).

2. On passe à la copie de Tom, qui écrit \(\frac{10^6}{10^2} = 10^3\).

   Tom a divisé les exposants. En revenant à la définition, on simplifie les facteurs communs :

   $$ \frac{10^6}{10^2} = \frac{10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10}{10 \times 10} $$

   Il reste \(6 - 2 = 4\) facteurs au numérateur : les exposants se soustraient.

   $$ \frac{10^6}{10^2} = 10^4 = 10 \ 000 $$

   Vérification : \(\frac{1 \ 000 \ 000}{100} = 10 \ 000\), alors que \(10^3 = 1 \ 000\).

3. Dernière copie, celle d'Inès, qui écrit \(2^3 \times 5^3 = 10^6\).

   Inès a additionné les exposants, alors que les bases \(2\) et \(5\) sont différentes. Les deux puissances ont le même exposant : on regroupe les bases sous cet exposant.

   $$ 2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 $$

   $$ 2^3 \times 5^3 = 10^3 = 1 \ 000 $$

   Vérification : \(8 \times 125 = 1 \ 000\), alors que \(10^6 = 1 \ 000 \ 000\).

Des photos sur une clé USB

Dans un ordinateur, les unités de mémoire vont de \(2^{10}\) en \(2^{10}\) : un kilooctet (\(\text{ko}\)) vaut \(2^{10}\) octets, un mégaoctet (\(\text{Mo}\)) vaut \(2^{10} \ \text{ko}\) et un gigaoctet (\(\text{Go}\)) vaut \(2^{10} \ \text{Mo}\). On rappelle que \(2^{10} = 1 \ 024\).

1. Écrire \(1 \ \text{Go}\) en octets sous la forme d'une seule puissance de \(2\), puis la capacité d'une clé USB de \(32 \ \text{Go}\).
   $$ 1 \ \text{Go} = 2^{10} \times 2^{10} \times 2^{10} \ \text{octets} = 2^{10 + 10 + 10} \ \text{octets} $$

   $$ 1 \ \text{Go} = 2^{30} \ \text{octets} $$

   Comme \(32 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5\) :

   $$ 32 \ \text{Go} = 2^5 \times 2^{30} \ \text{octets} $$

   $$ 32 \ \text{Go} = 2^{35} \ \text{octets} $$
2. Paul veut remplir cette clé de photos, qui occupent chacune \(4 \ \text{Mo}\). Écrire la taille d'une photo en octets, sous la forme d'une seule puissance de \(2\).
   $$ 1 \ \text{Mo} = 2^{10} \times 2^{10} \ \text{octets} = 2^{20} \ \text{octets} $$

   Comme \(4 = 2^2\) :

   $$ 4 \ \text{Mo} = 2^2 \times 2^{20} \ \text{octets} $$

   $$ 4 \ \text{Mo} = 2^{22} \ \text{octets} $$
3. Paul affirme qu'il pourra ranger \(10 \ 000\) de ces photos sur sa clé de \(32 \ \text{Go}\). Trancher par le calcul, sans calculatrice, puis dire si une clé de \(64 \ \text{Go}\) lui suffirait.

   Le nombre de photos que contient la clé de \(32 \ \text{Go}\) est le quotient de sa capacité par la taille d'une photo :

   $$ \frac{2^{35}}{2^{22}} = 2^{35 - 22} = 2^{13} $$

   $$ 2^{13} = 2^{10} \times 2^{3} = 1 \ 024 \times 8 $$

   $$ 2^{13} = 8 \ 192 $$

   Comme \(8 \ 192 < 10 \ 000\), Paul a tort. Une clé de \(64 \ \text{Go}\) contient deux fois plus d'octets, car \(64 = 2^6\) :

   $$ \frac{2^{6} \times 2^{30}}{2^{22}} = \frac{2^{36}}{2^{22}} = 2^{14} = 16 \ 384 $$

   Paul ne peut ranger que \(8 \ 192\) photos sur sa clé ; une clé de \(64 \ \text{Go}\), qui en contient \(16 \ 384\), lui suffirait.

   $$ 32 \ \text{Go} : 8 \ 192 \ \text{photos} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 64 \ \text{Go} : 16 \ 384 \ \text{photos} $$

Le robinet qui goutte

Un robinet qui fuit laisse tomber des gouttes d'environ \(0.05 \ \text{mL}\) chacune. On se demande combien de gouttes il faudrait pour remplir une baignoire de \(240 \ \text{L}\).

1. Écrire le volume d'une goutte en litres, en écriture scientifique.

   Comme \(1 \ \text{mL} = 0.001 \ \text{L} = 10^{-3} \ \text{L}\), et \(0.05 = 5 \times 10^{-2}\) :

   $$ 0.05 \ \text{mL} = 5 \times 10^{-2} \times 10^{-3} \ \text{L} $$

   $$ 0.05 \ \text{mL} = 5 \times 10^{-2 + (-3)} \ \text{L} $$

   $$ 0.05 \ \text{mL} = 5 \times 10^{-5} \ \text{L} $$
2. Écrire le volume de la baignoire en écriture scientifique.

   Le nombre placé devant la puissance de \(10\) doit être compris entre \(1\) et \(10\) :

   $$ 240 \ \text{L} = 2.4 \times 10^{2} \ \text{L} $$
3. Calculer le nombre de gouttes qui remplissent la baignoire, en utilisant les formules de puissances, et le donner en écriture scientifique.

   On divise le volume de la baignoire par celui d'une goutte : les nombres devant les puissances entre eux, les puissances de \(10\) entre elles.

   $$ N = \frac{2.4 \times 10^{2}}{5 \times 10^{-5}} = \frac{2.4}{5} \times 10^{2 - (-5)} $$

   $$ N = 0.48 \times 10^{7} $$

   Mais \(0.48\) n'est pas compris entre \(1\) et \(10\) : on l'écrit \(4.8 \times 10^{-1}\).

   $$ N = 4.8 \times 10^{-1} \times 10^{7} $$

   $$ N = 4.8 \times 10^{6} \ \text{gouttes} $$

   Son ordre de grandeur est \(10^{6}\) : il faut quelques millions de gouttes.

4. Il tombe une goutte par seconde, et une semaine compte \(604 \ 800\) secondes. Écrire ce nombre en écriture scientifique, puis dire, en comparant les ordres de grandeur, si la baignoire serait pleine au bout d'une semaine.
   $$ 604 \ 800 = 6.048 \times 10^{5} $$

   Une semaine compte de l'ordre de \(10^{5}\) secondes, donc de l'ordre de \(10^{5}\) gouttes, alors qu'il en faut de l'ordre de \(10^{6}\) :

   $$ \text{la baignoire ne serait pas pleine} $$

   Il faudrait environ dix fois plus de temps : un peu moins de deux mois.

Le tableau du tournoi

Dans un tournoi de tennis à élimination directe, les joueurs s'affrontent deux par deux à chaque tour : le gagnant de chaque match passe au tour suivant, le perdant est éliminé. Voici le tableau d'un tournoi de \(16\) joueurs.

1. Écrire \(16\) comme une puissance de \(2\). Calculer le nombre de matchs de chaque tour et le nombre total de matchs, puis vérifier sur le tableau.
   $$ 16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 $$

   Chaque match réunit deux joueurs, et chaque tour divise le nombre de joueurs par \(2\). Le tour \(1\) compte donc \(8 = 2^3\) matchs, le tour \(2\) en compte \(4 = 2^2\), le tour \(3\) en compte \(2 = 2^1\), et la finale \(1 = 2^0\).

   $$ 8 + 4 + 2 + 1 = 15 \ \text{matchs} $$

   Vérification : le tableau compte \(8\) traits verticaux au tour \(1\), puis \(4\) au tour \(2\), puis \(2\) au tour \(3\), et un seul pour la finale.

2. On change de tournoi : le tableau de Roland-Garros compte \(128\) joueurs. Écrire \(128\) comme une puissance de \(2\), puis calculer le nombre de joueurs encore en lice après \(3\) tours, le nombre de tours et le nombre total de matchs.
   $$ 128 = 2^7 $$

   Chaque tour divise le nombre de joueurs par \(2\). Après \(3\) tours :

   $$ \frac{2^7}{2^3} = 2^{7 - 3} = 2^4 = 16 $$

   Il ne reste qu'un joueur quand on a divisé \(7\) fois par \(2\) : \(\frac{2^7}{2^7} = 2^0 = 1\). Le premier tour compte \(\frac{128}{2} = 64\) matchs, et chaque tour deux fois moins que le précédent :

   $$ 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 127 $$

   $$ 16 \ \text{joueurs} \hspace{2em} 7 \ \text{tours} \hspace{2em} 127 \ \text{matchs} $$
3. Comparer le nombre de matchs au nombre de joueurs dans ces deux tournois. Prouver, sans additionner, qu'un tournoi de \(2^n\) joueurs compte \(2^n - 1\) matchs, en comptant les joueurs éliminés. En déduire la valeur de la somme \(1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}\).

   Dans les deux cas, il y a un match de moins que de joueurs :

   $$ 15 = 16 - 1 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 127 = 128 - 1 $$

   Chaque match élimine exactement un joueur, et chaque joueur éliminé l'a été par un seul match. À la fin, il ne reste que le vainqueur : \(2^n - 1\) joueurs ont été éliminés, par autant de matchs.

   $$ 2^n \ \text{joueurs} : 2^n - 1 \ \text{matchs} $$

   Tour par tour, on compte \(\frac{2^n}{2} = 2^{n-1}\) matchs au premier tour, \(2^{n-2}\) au deuxième, et ainsi de suite jusqu'à \(2^0 = 1\) en finale. Les deux décomptes donnent le même nombre de matchs :

   $$ 1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1 $$

   Pour \(n = 4\), on retrouve bien le tableau de la figure : \(1 + 2 + 4 + 8 = 15\), soit \(16 - 1\).

4. On change de sport : un tournoi de badminton réunit \(1 \ 000\) joueurs, et \(1 \ 000\) n'est pas une puissance de \(2\). Des joueurs sont donc exemptés du premier tour : ils passent directement au deuxième, qui doit réunir un nombre de joueurs égal à une puissance de \(2\). Déterminer le nombre de joueurs exemptés, le nombre de tours et le nombre total de matchs, et prouver qu'il n'y a pas d'autre possibilité.

   On encadre \(1 \ 000\) entre deux puissances de \(2\) :

   $$ 2^9 = 512 < 1 \ 000 < 1 \ 024 = 2^{10} $$

   Si \(P\) joueurs restent au deuxième tour, le premier tour a éliminé \(1 \ 000 - P\) joueurs : il a compté \(1 \ 000 - P\) matchs, qui réunissent \(2 \times (1 \ 000 - P)\) joueurs. Ce nombre ne peut pas dépasser \(1 \ 000\).

   Avec \(P = 2^9\) : le premier tour réunit \(2 \times (1 \ 000 - 512) = 2 \times 488 = 976\) joueurs. C'est possible.

   Avec \(P = 2^8\) : il en faudrait \(2 \times (1 \ 000 - 256) = 2 \times 744 = 1 \ 488\). C'est impossible, et une puissance de \(2\) plus petite en demanderait encore plus.

   Comme \(2^{10}\) dépasse \(1 \ 000\), seul \(P = 512\) convient. Les \(976\) joueurs du premier tour laissent :

   $$ 1 \ 000 - 976 = 24 \ \text{exemptés} $$

   Il faut ensuite \(9\) tours pour passer de \(2^9\) joueurs à un seul, soit \(1 + 9 = 10\) tours. Enfin, chaque match élimine un joueur, jusqu'au vainqueur.

   $$ 24 \ \text{exemptés} \hspace{2em} 10 \ \text{tours} \hspace{2em} 999 \ \text{matchs} $$

   Vérification : \(488\) matchs au premier tour, puis \(2^9 - 1 = 511\) d'après la question 3, et \(488 + 511 = 999\).

Le verre d'eau et l'océan

Un verre contient \(250 \ \text{g}\) d'eau. Une molécule d'eau a une masse d'environ \(3 \times 10^{-23} \ \text{g}\), et l'eau des océans une masse d'environ \(1.4 \times 10^{21} \ \text{kg}\). La frise place ces trois masses, en grammes : d'une graduation à la suivante, on multiplie par \(10\).

1. Calculer le nombre de molécules d'eau que contient le verre, en écriture scientifique, puis vérifier son ordre de grandeur sur la frise.

   On divise la masse du verre par celle d'une molécule, en écrivant \(250 = 2.5 \times 10^{2}\) :

   $$ \frac{2.5 \times 10^{2}}{3 \times 10^{-23}} = \frac{2.5}{3} \times 10^{2 - (-23)} \approx 0.83 \times 10^{25} $$

   $$ \text{environ } 8.3 \times 10^{24} \ \text{molécules} $$

   Vérification : de la molécule au verre, la frise compte un peu moins de \(25\) graduations, soit un facteur un peu inférieur à \(10^{25}\).

2. On passe aux océans. Calculer le nombre de verres d'eau qu'ils contiennent.

   On convertit la masse des océans en grammes, avec \(1 \ \text{kg} = 10^{3} \ \text{g}\) :

   $$ 1.4 \times 10^{21} \times 10^{3} = 1.4 \times 10^{24} \ \text{g} $$

   On divise par la masse d'un verre :

   $$ \frac{1.4 \times 10^{24}}{2.5 \times 10^{2}} = \frac{1.4}{2.5} \times 10^{24 - 2} = 0.56 \times 10^{22} $$

   $$ \text{environ } 5.6 \times 10^{21} \ \text{verres} $$

   Vérification : du verre aux océans, la frise compte un peu moins de \(22\) graduations.

3. Hugo affirme : « Il y a plus de molécules dans un verre d'eau que de verres d'eau dans tous les océans. » Trancher en comparant les ordres de grandeur.

   Le nombre de molécules d'un verre a pour ordre de grandeur \(10^{24}\), le nombre de verres des océans \(10^{21}\) :

   $$ 10^{24} > 10^{21} $$

   $$ \text{Hugo a raison} $$

   Et de loin : les deux ordres de grandeur sont séparés par \(3\) graduations, un facteur \(10^{3} = 1 \ 000\).

4. Léa vide son verre d'eau dans la mer. Des siècles plus tard, ses molécules se sont réparties uniformément dans toute l'eau des océans. On puise alors un verre d'eau de mer. Estimer le nombre de molécules du verre de Léa qu'il contient, et justifier.

   Les \(8.3 \times 10^{24}\) molécules du verre de Léa se partagent également entre les \(5.6 \times 10^{21}\) verres d'eau des océans. Chaque verre en reçoit :

   $$ \frac{8.3 \times 10^{24}}{5.6 \times 10^{21}} = \frac{8.3}{5.6} \times 10^{24 - 21} \approx 1.5 \times 10^{3} $$

   $$ \text{environ } 1 \ 500 \ \text{molécules du verre de Léa} $$

   C'est aussi le nombre de fois où les molécules d'un verre sont plus nombreuses que les verres des océans : Hugo avait raison à environ \(1 \ 500\) contre \(1\).