La racine carrée en quatrième

Le carré a son opération inverse : la racine carrée, qui donne une valeur exacte ou un encadrement.

Un tapis carré couvre $9 \ \text{m}^2$ : son côté mesure $3 \ \text{m}$.

La racine carrée remonte du carré à son côté.

Les carrés parfaits

Un carré parfait est le carré d'un nombre entier.

Ceux des entiers de $1$ à $12$ sont à connaître par cœur:

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
$n^2$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$	$49$	$64$	$81$	$100$	$121$	$144$

Soit $a$ un nombre positif. La racine carrée de $a$, notée $\sqrt{a}$, est l'unique nombre positif dont le carré vaut $a$.

$$ \sqrt{a} = b \iff b^2 = a \hspace{2em} \text{avec} \ (a \geqslant 0 \quad \text{et} \quad b \geqslant 0) $$

$\sqrt{-9}$ n'existe pas ; $(-7)^2 = 49$ mais $\sqrt{49} = 7$, le nombre positif.

Le carré et la racine carrée se défont l'un l'autre :

$$ \left(\sqrt{a}\right)^2 = a $$

$$ \sqrt{a^2} = a \hspace{2em} (a \geqslant 0) $$

Lorsque $a$ n'est pas un carré parfait, on encadre $\sqrt{a}$ par les deux entiers consécutifs dont les carrés encadrent $a$.

$$ n^2 < a < (n+1)^2 \implies n < \sqrt{a} < n + 1 $$

Exemple : encadrer $\sqrt{50}$ entre deux entiers.

$\sqrt{50} \approx 7.07$ est une valeur approchée ; la valeur exacte est $\sqrt{50}$.

La racine carrée donne la longueur du côté d'un carré dont on connaît l'aire, et avec Pythagore une longueur dont on connaît le carré.