La racine carrée

Les carrés parfaits

Un carré parfait

Un carré parfait est le carré d'un nombre entier.

Les carrés parfaits des entiers de $0$ à $12$ sont à connaître par cœur :

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
$n^2$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$	$49$	$64$	$81$	$100$	$121$	$144$

La racine carrée

La racine carrée d'un nombre positif

Soit $a$ un nombre positif . La racine carrée de $a$, notée $\sqrt{a}$, est l'unique nombre positif dont le carré vaut $a$.

$$ \sqrt{a} = b \iff b^2 = a \quad \text{avec } a \geqslant 0 \text{ et } b \geqslant 0 $$

Ainsi, $\sqrt{49}$ vaut $7$ :

$$ \sqrt{49} = 7 \quad \text{car} \quad 7^2 = 49 $$

La condition $a \geqslant 0$ est indispensable : aucun nombre au carré ne donne un résultat négatif, donc $\sqrt{-9}$ n'existe pas. La condition $b \geqslant 0$ l'est tout autant : $(-7)^2$ vaut aussi $49$, mais on ne retient que la solution positive .

Deux opérations qui s'annulent

Élever au carré et prendre la racine carrée sont deux opérations inverses l'une de l'autre, sur les nombres positifs.

$$ \left(\sqrt{a}\right)^2 = a $$

$$ \sqrt{a^2} = a \qquad (a \geqslant 0) $$

Encadrer une racine carrée

Lorsque $a$ n'est pas un carré parfait, $\sqrt{a}$ n'est pas un nombre entier. On l'encadre alors par les deux entiers consécutifs dont les carrés encadrent $a$.

$$ n^2 < a < (n+1)^2 \implies n < \sqrt{a} < n + 1 $$

Cherchons par exemple un encadrement de $\sqrt{50}$. On repère les carrés parfaits qui entourent $50$ :

$$ 49 < 50 < 64 $$

soit, en écrivant ces carrés parfaits sous forme de carrés :

$$ 7^2 < 50 < 8^2 $$

Les trois nombres étant positifs, on peut passer à la racine carrée sans changer le sens des inégalités :

$$ 7 < \sqrt{50} < 8 $$

La calculatrice affiche $\sqrt{50} \approx 7{,}07$, ce qui confirme l'encadrement. Mais cet affichage n'est qu'une valeur approchée : l'écriture exacte reste $\sqrt{50}$.

Racine carrée et longueur

La racine carrée répond à une question de géométrie : quelle est la longueur du côté d'un carré dont on connaît l'aire ? Un carré d'aire $50\ \text{cm}^2$ a pour côté $\sqrt{50}\ \text{cm}$, soit un peu plus de $7\ \text{cm}$.

C'est aussi ce qui apparaît dans le théorème de Pythagore : une fois le carré de la longueur cherchée obtenu, c'est la racine carrée qui donne la longueur elle-même.