Problèmes sur la racine carrée

Carrés parfaits et racines

1. Donner, sans calculatrice, les valeurs de \(\sqrt{64}\), \(\sqrt{121}\) et \(\sqrt{144}\).
   $$ 8^2 = 64 \hspace{2em} 11^2 = 121 \hspace{2em} 12^2 = 144 $$

   $$ \sqrt{64} = 8 \hspace{2em} \sqrt{121} = 11 \hspace{2em} \sqrt{144} = 12 $$
2. Expliquer pourquoi \(\sqrt{-25}\) n'existe pas.

   Le carré d'un nombre est toujours positif : \(5^2 = 25\) et \((-5)^2 = 25\). Aucun nombre n'a donc pour carré \(-25\).

   La racine carrée n'est définie que pour un nombre positif : \(\sqrt{-25}\) n'existe pas.

3. Le nombre \(\sqrt{30}\) est-il un nombre entier ? Justifier sans calculatrice.
   $$ 5^2 = 25 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 6^2 = 36 $$

   \(30\) est strictement compris entre deux carrés parfaits consécutifs : ce n'est pas un carré parfait, et

   $$ 5 < \sqrt{30} < 6 $$

   \(\sqrt{30}\) n'est donc pas un nombre entier.

Encadrer une racine carrée

1. Encadrer \(\sqrt{50}\) par deux entiers consécutifs, en détaillant la démarche.

   On cherche les deux carrés parfaits consécutifs qui entourent \(50\) :

   $$ 7^2 = 49 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 8^2 = 64 $$

   $$ 49 < 50 < 64 $$

   $$ 7 < \sqrt{50} < 8 $$
2. Encadrer de la même façon \(\sqrt{200}\).
   $$ 14^2 = 196 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 15^2 = 225 $$

   $$ 196 < 200 < 225 $$

   $$ 14 < \sqrt{200} < 15 $$
3. Entre quels entiers consécutifs se trouve \(\sqrt{99}\) ? Expliquer pourquoi il est très proche de l'un des deux.
   $$ 9^2 = 81 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 10^2 = 100 $$

   $$ 9 < \sqrt{99} < 10 $$

   \(99\) est juste en dessous du carré parfait \(100\) : sa racine est donc juste en dessous de \(10\). La calculatrice donne \(\sqrt{99} \approx 9.95\).

Le côté d'un terrain carré

Un terrain carré a une aire de \(1 \ 600 \ \text{m}^2\). Un second terrain, carré lui aussi, a une aire de \(2 \ 000 \ \text{m}^2\).

1. Calculer la longueur exacte du côté du premier terrain.

   Le côté est le nombre positif dont le carré vaut \(1 \ 600\) :

   $$ 40^2 = 1 \ 600 $$

   $$ \sqrt{1 \ 600} = 40 \ \text{m} $$
2. Donner un encadrement du côté de ce second terrain par deux entiers consécutifs.

   Le côté du second terrain mesure \(\sqrt{2 \ 000} \ \text{m}\).

   $$ 44^2 = 1 \ 936 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 45^2 = 2 \ 025 $$

   $$ 1 \ 936 < 2 \ 000 < 2 \ 025 $$

   $$ 44 \ \text{m} < \sqrt{2 \ 000} < 45 \ \text{m} $$
3. De combien de mètres le côté du second terrain dépasse-t-il celui du premier ? Donner un encadrement, puis une valeur approchée au dixième à la calculatrice.

   On retire \(40 \ \text{m}\) à chaque membre de l'encadrement précédent : l'écart est compris entre \(4 \ \text{m}\) et \(5 \ \text{m}\).

   $$ \sqrt{2 \ 000} - 40 \approx 44.72 - 40 $$

   $$ \text{environ} \ 4.7 \ \text{m} $$

Remonter de la racine au nombre

On lit cette fois l'encadrement à l'envers : on connaît les entiers qui encadrent la racine, on cherche le nombre.

1. Un nombre entier \(n\) vérifie \(6 < \sqrt{n} < 7\). Encadrer \(n\).

   Le carré et la racine carrée se défont l'un l'autre : on élève chaque membre au carré.

   $$ 6^2 = 36 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 7^2 = 49 $$

   $$ 36 < n < 49 $$
2. Compter les entiers \(n\) qui vérifient ce même encadrement.

   Ce sont les entiers de \(37\) à \(48\) :

   $$ 48 - 37 + 1 = 12 $$

   $$ 12 \ \text{entiers} $$
3. Parmi ces douze entiers, lequel a la racine carrée la plus proche de \(7\) ? Justifier sans calculatrice.

   Plus un nombre positif est grand, plus sa racine carrée est grande. La racine la plus proche de \(7\) est donc celle du plus grand de ces entiers.

   $$ n = 48 $$

Paver le plus grand carré

Un paysagiste dispose de \(300\) dalles carrées de \(1 \ \text{m}\) de côté. Il veut en faire une terrasse carrée, sans couper de dalle, la plus grande possible.

1. Déterminer la longueur du côté de cette terrasse.

   Le côté \(c\) est un entier de mètres, et la terrasse utilise \(c^2\) dalles, au plus \(300\).

   $$ 17^2 = 289 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 18^2 = 324 $$

   \(289 \leqslant 300\) mais \(324 > 300\) : on ne peut pas dépasser \(17\).

   $$ c = 17 \ \text{m} $$
2. Combien de dalles restera-t-il au paysagiste une fois cette terrasse posée ?
   $$ 300 - 289 $$

   $$ 11 \ \text{dalles} $$
3. Son client préfère une terrasse d'un mètre de plus de côté. Combien de dalles le paysagiste doit-il acheter ?

   La terrasse de \(18 \ \text{m}\) de côté demande \(18^2 = 324\) dalles.

   $$ 324 - 300 $$

   $$ 24 \ \text{dalles} $$
4. On imagine maintenant une terrasse carrée d'exactement \(300 \ \text{m}^2\), en coupant des dalles. Son côté mesure-t-il plus ou moins de \(17.5 \ \text{m}\) ? Trancher sans calculatrice de racine.

   Le côté mesure \(\sqrt{300} \ \text{m}\). On compare les carrés :

   $$ 17.5^2 = 306.25 $$

   \(300 < 306.25\), et plus un nombre positif est grand, plus sa racine est grande :

   $$ \sqrt{300} < 17.5 $$

   Le côté mesure moins de \(17.5 \ \text{m}\).

Le caillou dans l'aven

Pour estimer la profondeur d'un aven, une spéléologue lâche un caillou et chronomètre sa chute. En \(t\) secondes, le caillou tombe de \(d = 4.9 \times t^2\) mètres. On néglige d'abord le temps que met le son pour remonter.

1. Calculer la profondeur de l'aven si la chute dure \(2 \ \text{s}\), puis la durée de la chute dans un aven de \(44.1 \ \text{m}\).
   $$ d = 4.9 \times 2^2 = 4.9 \times 4 = 19.6 \ \text{m} $$

   Pour \(44.1 \ \text{m}\), la durée \(t\) est un nombre positif qui vérifie \(4.9 \times t^2 = 44.1\) :

   $$ t^2 = 44.1 \div 4.9 = 9 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} t = \sqrt{9} = 3 \ \text{s} $$

   $$ d = 19.6 \ \text{m} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} t = 3 \ \text{s} $$
2. Dans un autre aven, le chronomètre indique une durée comprise entre \(2.4 \ \text{s}\) et \(2.5 \ \text{s}\). Encadrer la profondeur de cet aven.

   Les durées sont positives : plus \(t\) est grand, plus \(t^2\) est grand, et plus la profondeur est grande. On calcule aux deux bornes :

   $$ 4.9 \times 2.4^2 = 4.9 \times 5.76 = 28.224 $$

   $$ 4.9 \times 2.5^2 = 4.9 \times 6.25 = 30.625 $$

   $$ 28.224 \ \text{m} < d < 30.625 \ \text{m} $$

   Un dixième de seconde d'incertitude donne près de \(2.4 \ \text{m}\) d'incertitude sur la profondeur.

3. Léna affirme : « Un aven deux fois plus profond demande une chute deux fois plus longue. » Trancher, puis trouver par quel nombre il faut multiplier la durée de chute pour doubler la profondeur.

   Si la durée double, la profondeur est multipliée par \(4\), et non par \(2\) :

   $$ 4.9 \times (2t)^2 = 4.9 \times 4 \times t^2 = 4 \times d $$

   Si l'on multiplie la durée par un nombre positif \(k\), la profondeur est multipliée par \(k^2\). Pour la doubler, il faut \(k^2 = 2\) :

   $$ 4.9 \times (kt)^2 = k^2 \times 4.9 \times t^2 = k^2 \times d \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} k = \sqrt{2} $$

   Léna a tort : pour doubler la profondeur, on multiplie la durée par \(\sqrt{2} \approx 1.41\).

   Vérification : une chute de \(2 \ \text{s}\) donne \(19.6 \ \text{m}\) ; une chute de \(2\sqrt{2} \ \text{s}\), dont le carré vaut \(8\), donne \(4.9 \times 8 = 39.2 \ \text{m}\), le double.

4. Dans un troisième aven, la spéléologue entend le choc \(3 \ \text{s}\) après avoir lâché le caillou : cette durée comprend la chute, puis la remontée du son, à \(340 \ \text{m/s}\). Compléter le tableau, en choisissant les dernières profondeurs, pour encadrer la profondeur au dixième de mètre. Justifier qu'une seule profondeur convient.

   Profondeur \(d\) en \(\text{m}\)	Chute : \(\sqrt{\frac{d}{4.9}}\) en \(\text{s}\)	Son : \(\frac{d}{340}\) en \(\text{s}\)	Total en \(\text{s}\)
   \(38\)	\(2.785\)	\(0.112\)	\(2.897\)
   \(40\)
   \(42\)

   Pour une profondeur \(d\), la chute dure \(\sqrt{\frac{d}{4.9}}\) secondes, d'après la question 1, et le son remonte en \(\frac{d}{340}\) seconde.

   Profondeur \(d\) en \(\text{m}\)	Chute : \(\sqrt{\frac{d}{4.9}}\) en \(\text{s}\)	Son : \(\frac{d}{340}\) en \(\text{s}\)	Total en \(\text{s}\)
   \(38\)	\(2.785\)	\(0.112\)	\(2.897\)
   \(40\)	\(2.857\)	\(0.118\)	\(2.975\)
   \(42\)	\(2.928\)	\(0.124\)	\(3.052\)
   \(41\)	\(2.893\)	\(0.121\)	\(3.014\)
   \(40.6\)	\(2.878\)	\(0.119\)	\(2.997\)
   \(40.7\)	\(2.882\)	\(0.120\)	\(3.002\)

   Le total passe au-dessus de \(3 \ \text{s}\) entre \(40\) et \(42\), puis entre \(40\) et \(41\), puis entre \(40.6\) et \(40.7\). Quand \(d\) augmente, \(\frac{d}{4.9}\) augmente, donc sa racine carrée aussi, et \(\frac{d}{340}\) augmente : le total augmente toujours, et ne peut valoir \(3 \ \text{s}\) qu'une seule fois.

   $$ 40.6 \ \text{m} < d < 40.7 \ \text{m} $$

   Sans tenir compte du son, on aurait trouvé \(44.1 \ \text{m}\), soit environ \(3.5 \ \text{m}\) de trop.

L'écran le plus grand

La taille d'un écran se donne par la longueur de sa diagonale. Deux téléviseurs ont chacun une diagonale de \(140 \ \text{cm}\) : l'un au format \(4/3\), l'autre au format \(16/9\). La largeur et la hauteur du premier sont proportionnelles à \(4\) et à \(3\), celles du second à \(16\) et à \(9\).

1. On note \(4k\) et \(3k\) la largeur et la hauteur de l'écran \(4/3\), en centimètres. Calculer \(k\), puis les dimensions de cet écran.

   La diagonale partage l'écran en deux triangles rectangles. D'après le théorème de Pythagore :

   $$ (4k)^2 + (3k)^2 = 140^2 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} 16k^2 + 9k^2 = 25k^2 = 19 \ 600 $$

   $$ k^2 = 19 \ 600 \div 25 = 784 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} k = \sqrt{784} = 28 $$

   $$ 112 \ \text{cm} \times 84 \ \text{cm} $$
2. Calculer de même les dimensions de l'écran \(16/9\), au millimètre près.

   Avec une largeur \(16k\) et une hauteur \(9k\), d'après le théorème de Pythagore :

   $$ (16k)^2 + (9k)^2 = 256k^2 + 81k^2 = 337k^2 = 19 \ 600 $$

   $$ k^2 = \frac{19 \ 600}{337} \approx 58.16 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} k = \sqrt{\frac{19 \ 600}{337}} \approx 7.626 $$

   $$ 16k \approx 122.0 \ \text{cm} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 9k \approx 68.6 \ \text{cm} $$
3. Un vendeur affirme : « À diagonale égale, le \(16/9\) offre la plus grande image, puisqu'il est plus large. » Trancher en comparant les aires, puis calculer la diagonale d'un écran \(16/9\) de même aire que l'écran \(4/3\).

   On calcule l'aire du \(16/9\) avec la valeur exacte de \(k^2\), pour ne pas cumuler les arrondis :

   $$ 4/3 : \quad 112 \times 84 = 9 \ 408 \ \text{cm}^2 $$

   $$ 16/9 : \quad 16k \times 9k = 144 k^2 = 144 \times \frac{19 \ 600}{337} \approx 8 \ 375 \ \text{cm}^2 $$

   Le vendeur a tort : le \(4/3\) a une aire plus grande d'environ \(1 \ 033 \ \text{cm}^2\).

   Pour un \(16/9\) de même aire que le \(4/3\), il faut \(144 k^2 = 9 \ 408\), et sa diagonale mesure \(\sqrt{337 k^2}\) :

   $$ k^2 = \frac{9 \ 408}{144} \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} \text{diagonale} = \sqrt{337 \times \frac{9 \ 408}{144}} \approx \sqrt{22 \ 017} $$

   $$ \text{diagonale} \approx 148.4 \ \text{cm} $$
4. Parmi tous les écrans rectangulaires de diagonale \(140 \ \text{cm}\), lequel a la plus grande aire ? Prouver qu'aucun ne fait mieux. On pourra noter \(L\) et \(\ell\) la largeur et la hauteur, et développer \((L - \ell)^2\).

   D'après le théorème de Pythagore, \(L^2 + \ell^2 = 19 \ 600\). Un carré est toujours positif, donc :

   $$ (L - \ell)^2 = L^2 - 2L\ell + \ell^2 = 19 \ 600 - 2L\ell \geqslant 0 $$

   $$ 2L\ell \leqslant 19 \ 600 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} L \times \ell \leqslant 9 \ 800 $$

   L'aire vaut \(9 \ 800 \ \text{cm}^2\) exactement quand \((L - \ell)^2 = 0\), c'est-à-dire quand \(L = \ell\) : l'écran est carré, et \(2L^2 = 19 \ 600\).

   $$ L^2 = 9 \ 800 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} L = \sqrt{9 \ 800} \approx 99.0 \ \text{cm} $$

   $$ \text{l'écran carré} : \quad 9 \ 800 \ \text{cm}^2 $$

   Vérification : les diagonales d'un rectangle se coupent en leur milieu et ont la même longueur, donc les quatre coins de chaque écran sont à \(70 \ \text{cm}\) du centre. Sur ce cercle, le carré couvre la plus grande surface.