Les parallélogrammes et les translations en quatrième

Les quadrilatères particuliers se reconnaissent à leurs propriétés, et le parallélogramme décrit un glissement : la translation.

Reconnaître un parallélogramme, un losange, un rectangle et un carré
Connaître les propriétés des côtés et des diagonales de chaque quadrilatère
Construire l'image d'une figure par une translation
Relier une translation à un parallélogramme
Connaître ce qu'une translation conserve

Sur un tapis roulant, chaque point d'une valise avance de la même longueur, dans la même direction et le même sens.

La valise n'a ni tourné ni grandi.

Une translation déplace toute la figure d'un même mouvement.

Les quadrilatères

Les types de quadrilatères

Parallélogramme	Losange
un parallélogramme	un losange
Rectangle	Carré
un rectangle	un carré

Les propriétés des quadrilatères

Propriété	Parallélogramme	Losange	Rectangle	Carré
ses côtés opposés sont parallèles	x	x	x	x
ses côtés opposés sont de même longueur	x	x	x	x
tous ses côtés sont de même longueur		x		x
ses diagonales se coupent en leur milieu	x	x	x	x
ses diagonales sont de même longueur			x	x
ses diagonales se coupent perpendiculairement		x		x
a un angle droit sur chaque sommet			x	x

propriétés des quadrilatères

Le losange, le rectangle et le carré sont des parallélogrammes.

Reconnaître un parallélogramme

Un quadrilatère non croisé est un parallélogramme dès qu'il a une seule de ces quatre propriétés :

Par la définition	Par les diagonales
ses côtés opposés sont parallèles deux à deux	ses diagonales se coupent en leur milieu
Par les longueurs	Par un couple de côtés
ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux	deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur

Deux côtés opposés de même longueur ne suffisent pas : c'est le cas du trapèze isocèle.

Reconnaître un parallélogramme particulier

Reconnaître un losange

Un parallélogramme est un losange dès qu'il a une seule de ces deux propriétés :

Par deux côtés consécutifs	Par les diagonales
deux côtés consécutifs sont de même longueur	ses diagonales sont perpendiculaires

Reconnaître un rectangle

Un parallélogramme est un rectangle dès qu'il a une seule de ces deux propriétés :

Par un angle	Par les diagonales
il a un angle droit	ses diagonales sont de même longueur

Reconnaître un carré

Un losange ou un rectangle est un carré dès qu'il a aussi une propriété de l'autre :

Un losange, par un angle	Un losange, par les diagonales
il a un angle droit	ses diagonales sont de même longueur
Un rectangle, par les côtés	Un rectangle, par les diagonales
deux côtés consécutifs sont de même longueur	ses diagonales sont perpendiculaires

Les translations

Une translation

Une translation fait glisser une figure sans la tourner ni la déformer, selon une direction, un sens et une longueur représentés par une flèche.

Les flèches qui mènent chaque point à son image sont parallèles, de même sens et de même longueur.

Le lien avec le parallélogramme

Une translation se traduit par un parallélogramme. On l'appelle $t$, et l'on prend deux points $A$ et $B$ :

$$ \begin{cases} A' \text{ est l'image de } A \text{ par } t \\ B' \text{ est l'image de } B \text{ par } t \end{cases} \iff ABB'A' \text{ est un parallélogramme} $$

Les diagonales $\bigl[AB'\bigr]$ et $\bigl[A'B\bigr]$ se coupent en leur milieu.

Il faut les deux images : une seule flèche ne dit rien du quadrilatère, qui a besoin de ses quatre sommets.

Ce qu'une translation conserve

L'image d'une figure par une translation lui est superposable.

Élément	Image par la translation
Un segment	un segment parallèle de même longueur
Une droite	une droite parallèle
Un angle	un angle de même mesure
Une figure	une figure de même aire et de même périmètre
Trois points alignés	trois points alignés

Contrairement à la symétrie axiale, une translation conserve le sens de parcours d'une figure.