Problèmes sur les parallélogrammes et les translations

Reconnaître un quadrilatère

Dans chaque cas, tracer le quadrilatère en joignant les extrémités des diagonales, puis donner sa nature la plus précise et citer la propriété utilisée.

1. Les diagonales de \(ABCD\) se coupent en leur milieu.

   Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme.

   $$ ABCD \text{ est un parallélogramme} $$

2. Les diagonales de \(EFGH\) se coupent en leur milieu et ont la même longueur.

   Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu et sont de même longueur est un rectangle.

   $$ EFGH \text{ est un rectangle} $$

3. \(IJKL\) est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.

   Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.

   $$ IJKL \text{ est un losange} $$

Un motif qui se répète

Dans le repère ci-dessous, on considère le triangle \(ABC\) de sommets \(A(1 \ ; \ 1)\), \(B(4 \ ; \ 2)\) et \(C(2 \ ; \ 4)\). On lui applique la translation qui transforme \(A\) en \(A'(6 \ ; \ 1)\).

1. Décrire le déplacement de cette translation : de combien vers la droite, de combien vers le haut ?

   \(A\) passe de l'abscisse \(1\) à l'abscisse \(6\), et son ordonnée reste \(1\).

   $$ 5 \ \text{carreaux vers la droite} \quad \text{et} \quad 0 \ \text{vers le haut} $$
2. Placer sur la figure les points \(B'\) et \(C'\), images de \(B\) et \(C\), tracer le triangle \(A'B'C'\), puis donner les coordonnées de \(B'\) et \(C'\).

   Chaque point glisse du même déplacement : on ajoute \(5\) à l'abscisse, l'ordonnée ne change pas.

   $$ B'(9 \ ; \ 2) \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} C'(7 \ ; \ 4) $$
3. Sans calculer d'aire, comparer les aires des triangles \(ABC\) et \(A'B'C'\). Justifier.

   Le triangle \(A'B'C'\) est l'image de \(ABC\) par une translation, qui conserve les aires.

   $$ \text{les deux triangles ont la même aire} $$

Démontrer avec une translation

\(ABCD\) est un parallélogramme. On appelle \(E\) l'image du point \(C\) par la translation qui transforme \(A\) en \(B\).

1. Placer le point \(E\) sur la figure, puis justifier que le quadrilatère \(ABEC\) est un parallélogramme.

   \(E\) se place en faisant glisser \(C\) du même déplacement que de \(A\) à \(B\) : vers la droite, de la longueur \(AB\).

   La translation transforme \(A\) en \(B\) et \(C\) en \(E\). D'après le lien entre translation et parallélogramme :

   $$ ABEC \text{ est un parallélogramme} $$
2. En déduire que les points \(D\), \(C\) et \(E\) sont alignés.

   Étape 1 : Justifier que \((DC)\) est parallèle à \((AB)\).

   Étape 2 : Justifier que \((CE)\) est parallèle à \((AB)\).

   Étape 3 : Montrer que les droites \((DC)\) et \((CE)\) sont parallèles entre elles.

   Conclure :

   Étape 1 : \(ABCD\) est un parallélogramme, donc \((DC)\) est parallèle à \((AB)\).

   Étape 2 : \(ABEC\) est un parallélogramme, donc \((CE)\) est parallèle à \((AB)\).

   Étape 3 : les droites \((DC)\) et \((CE)\) sont parallèles à la même droite \((AB)\) : elles sont parallèles entre elles.

   Conclusion : comme elles ont en plus le point \(C\) en commun, elles sont confondues.

   $$ D, \ C \ \text{et} \ E \ \text{sont alignés} $$
3. Comparer les longueurs \(DC\) et \(CE\).

   Étape 1 : Comparer les longueurs \(DC\) et \(AB\).

   Étape 2 : Comparer les longueurs \(CE\) et \(AB\).

   Conclure :

   Étape 1 : dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur : \(DC = AB\) dans \(ABCD\).

   Étape 2 : de même, \(CE = AB\) dans \(ABEC\).

   Conclusion : les longueurs \(DC\) et \(CE\) sont toutes les deux égales à \(AB\).

   $$ DC = CE $$

   \(C\) est donc le milieu de \(\bigl[DE\bigr]\).

Une propriété mal citée

Noa affirme : « Les diagonales de mon quadrilatère ont la même longueur, donc c'est un rectangle. » Il a tracé le trapèze \(RSTU\) et ses diagonales.

1. Reporter au compas la longueur de la diagonale \(\bigl[RT\bigr]\) sur \(\bigl[SU\bigr]\) : que constate-t-on ? Placer ensuite à la règle le milieu de chaque diagonale : est-ce leur point d'intersection ?

   Le compas reporte \(RT\) exactement sur \(\bigl[SU\bigr]\) : \(RT = SU\). Le point d'intersection se trouve aux trois quarts de chaque diagonale en partant de \(R\) ou de \(S\), et non en son milieu.

   \(RSTU\) a deux diagonales de même longueur, mais ce n'est pas un rectangle : il n'a aucun angle droit.

2. Compléter la phrase de Noa pour qu'elle devienne une propriété juste.

   Il manque la condition sur le milieu :

   Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu et ont la même longueur, alors c'est un rectangle.

3. On change de quadrilatère. Lina affirme : « Mon quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur, donc c'est un carré. » Corriger sa conclusion.

   Un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur est un losange. Pour conclure à un carré, il faudrait en plus un angle droit.

   $$ \text{le quadrilatère de Lina est un losange} $$

L'étagère à bras articulés

Une étagère se fixe au mur par deux points \(A\) et \(D\), placés l'un au-dessus de l'autre à \(40 \ \text{cm}\) d'écart. Deux bras articulés \(\bigl[AB\bigr]\) et \(\bigl[DC\bigr]\) mesurent chacun \(60 \ \text{cm}\), et la barre \(\bigl[BC\bigr]\) mesure \(40 \ \text{cm}\). Le plateau est fixé sur la barre \(\bigl[BC\bigr]\), perpendiculairement à elle. Quand on abaisse ou relève les bras, la figure \(ABCD\) se déforme.

1. Justifier que \(ABCD\) reste un parallélogramme, quelle que soit la position des bras.

   Dans toutes les positions, \(AB = DC = 60 \ \text{cm}\) et \(AD = BC = 40 \ \text{cm}\).

   Un quadrilatère non croisé dont les côtés opposés sont deux à deux de même longueur est un parallélogramme.

   $$ ABCD \text{ est un parallélogramme} $$
2. En déduire que le plateau reste horizontal.

   Étape 1 : Justifier que \((BC)\) est parallèle à \((AD)\).

   Étape 2 : Déterminer la direction de la droite \((BC)\).

   Conclure :

   Étape 1 : dans le parallélogramme \(ABCD\), les côtés opposés \((BC)\) et \((AD)\) sont parallèles.

   Étape 2 : la droite \((AD)\) est celle du mur, verticale : \((BC)\) reste donc verticale.

   Conclusion : le plateau est perpendiculaire à une droite verticale :

   $$ \text{le plateau reste horizontal} $$
3. Par quelle transformation passe-t-on de la barre \(\bigl[AD\bigr]\) à la barre \(\bigl[BC\bigr]\) ? Justifier.

   Considérons la translation qui transforme \(A\) en \(B\). Comme \(ABCD\) est un parallélogramme, elle transforme \(D\) en \(C\).

   $$ \bigl[BC\bigr] \text{ est l'image de } \bigl[AD\bigr] \text{ par la translation qui transforme } A \text{ en } B $$
4. À quelle distance du mur la barre \(\bigl[BC\bigr]\) peut-elle s'éloigner au plus ? Dans quelle position des bras ? Trancher en justifiant.

   Étape 1 : Justifier que la distance de la barre \(\bigl[BC\bigr]\) au mur est celle du point \(B\).

   Étape 2 : Comparer cette distance à la longueur \(AB\).

   Étape 3 : Trouver la position des bras pour laquelle cette distance vaut \(AB\).

   Conclure :

   Étape 1 : la barre \(\bigl[BC\bigr]\) est parallèle au mur : sa distance au mur est celle du point \(B\).

   Étape 2 : cette distance est la longueur du plus court chemin de \(B\) à la droite \((AD)\) : elle ne dépasse jamais \(AB = 60 \ \text{cm}\).

   Étape 3 : elle l'atteint quand \(\bigl[AB\bigr]\) est perpendiculaire au mur.

   Conclusion : la barre s'éloigne au plus de \(60 \ \text{cm}\) du mur, quand les bras sont perpendiculaires au mur, donc horizontaux :

   $$ 60 \ \text{cm, bras horizontaux} $$

La passerelle sur le canal

Un canal de \(20 \ \text{m}\) de large sépare la maison \(A\) de l'école \(B\) ; un carreau représente \(10 \ \text{m}\). La commune veut construire une passerelle \(\bigl[MN\bigr]\) perpendiculaire aux berges, avec \(M\) sur la berge de la maison et \(N\) sur celle de l'école.

1. Calculer la longueur \(AM + MN + NB\) du trajet lorsque la passerelle est placée juste en face de la maison, puis lorsqu'elle est à mi-chemin, \(60 \ \text{m}\) plus à droite.

   En face de la maison : \(AM = 30 \ \text{m}\) et \(MN = 20 \ \text{m}\). Le segment \(\bigl[NB\bigr]\) est l'hypoténuse d'un triangle rectangle tracé le long du quadrillage, de côtés \(120 \ \text{m}\) et \(60 \ \text{m}\). D'après le théorème de Pythagore :

   $$ NB^2 = 120^2 + 60^2 = 14 \ 400 + 3 \ 600 = 18 \ 000 $$

   $$ NB = \sqrt{18 \ 000} \approx 134.2 \ \text{m} $$

   $$ AM + MN + NB \approx 30 + 20 + 134.2 = 184.2 \ \text{m} $$

   À mi-chemin : de la même façon, d'après le théorème de Pythagore :

   $$ AM^2 = 60^2 + 30^2 = 4 \ 500 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} AM = \sqrt{4 \ 500} \approx 67.08 \ \text{m} $$

   $$ NB^2 = 60^2 + 60^2 = 7 \ 200 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} NB = \sqrt{7 \ 200} \approx 84.85 \ \text{m} $$

   $$ AM + MN + NB \approx 67.08 + 20 + 84.85 \approx 171.9 \ \text{m} $$
2. On note \(A'\) l'image de \(A\) par la translation qui transforme \(M\) en \(N\). Placer \(A'\), puis démontrer que \(AM = A'N\), quel que soit l'emplacement de la passerelle.

   Étape 1 : Justifier que le point \(A'\) est le même, où que soit la passerelle.

   Étape 2 : Comparer \(AM\) et \(A'N\) lorsque la passerelle n'est pas en face de la maison, à l'aide du quadrilatère \(AMNA'\).

   Étape 3 : Comparer \(AM\) et \(A'N\) lorsque la passerelle est en face de la maison.

   Conclure :

   Étape 1 : la translation qui transforme \(M\) en \(N\) fait descendre de \(20 \ \text{m}\), perpendiculairement aux berges, où que soit la passerelle : \(A'\) est toujours le même point, \(2\) carreaux sous \(A\).

   Étape 2 : si la passerelle n'est pas en face de la maison, \(A'\) est l'image de \(A\) par la translation qui transforme \(M\) en \(N\), donc \(AMNA'\) est un parallélogramme. Ses côtés opposés \(\bigl[AM\bigr]\) et \(\bigl[A'N\bigr]\) ont la même longueur.

   Étape 3 : si la passerelle est en face de la maison, les quatre points sont alignés et on lit \(AM = A'N = 30 \ \text{m}\).

   Conclusion : dans les deux cas, où que soit la passerelle :

   $$ AM = A'N $$
3. En déduire où placer la passerelle pour que le trajet soit le plus court. Justifier, puis calculer la longueur de ce trajet.

   Étape 1 : Exprimer la longueur du trajet à l'aide de \(A'N\) et de \(NB\).

   Étape 2 : Trouver où doit se trouver \(N\) pour que \(A'N + NB\) soit le plus petit possible.

   Étape 3 : Calculer la longueur \(A'B\).

   Étape 4 : Repérer le point où le segment \(\bigl[A'B\bigr]\) coupe la berge de l'école.

   Conclure :

   Étape 1 : d'après la question 2, le trajet mesure \(A'N + NB + 20\).

   Étape 2 : le chemin le plus court de \(A'\) à \(B\) est la ligne droite :

   $$ A'N + NB \geqslant A'B $$

   avec égalité quand \(N\) est sur le segment \(\bigl[A'B\bigr]\).

   Étape 3 : ce segment est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés \(120 \ \text{m}\) et \(90 \ \text{m}\). D'après le théorème de Pythagore :

   $$ A'B^2 = 120^2 + 90^2 = 14 \ 400 + 8 \ 100 = 22 \ 500 $$

   $$ A'B = \sqrt{22 \ 500} = 150 \ \text{m} $$

   Étape 4 : le segment \(\bigl[A'B\bigr]\) coupe la berge de l'école au nœud situé \(4\) carreaux à droite de \(A'\). Vérification, avec \(N\) en ce nœud :

   $$ A'N = \sqrt{40^2 + 30^2} = 50 \ \text{m} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} NB = \sqrt{80^2 + 60^2} = 100 \ \text{m} $$

   La somme vaut bien \(A'B = 150 \ \text{m}\) : \(N\) est sur \(\bigl[A'B\bigr]\).

   Conclusion : c'est en ce point que le trajet est le plus court.

   La passerelle se place \(40 \ \text{m}\) à droite de la maison.

   Le trajet le plus court mesure alors :

   $$ AM + MN + NB = 150 + 20 = 170 \ \text{m} $$

   La passerelle à mi-chemin ne faisait perdre que \(1.9 \ \text{m}\).

4. Malik affirme : « Le trajet est le plus court exactement quand les droites \((AM)\) et \((NB)\) sont parallèles. » Démontrer qu'il a raison, dans les deux sens.

   Étape 1 : Démontrer que, si le trajet est le plus court, alors \((AM) \parallel (NB)\).

   Étape 2 : Montrer que, si \((AM) \parallel (NB)\), la passerelle n'est pas en face de la maison.

   Étape 3 : En déduire que, dans ce cas, \(N\) est sur le segment \(\bigl[A'B\bigr]\).

   Conclure :

   Étape 1 : si le trajet est le plus court, d'après la question 3, \(N\) est sur \(\bigl[A'B\bigr]\), et la droite \((NB)\) est la droite \((A'N)\). La passerelle n'est pas en face de la maison, donc \(AMNA'\) est un parallélogramme : \((AM) \parallel (A'N)\). Ainsi \((AM) \parallel (NB)\).

   Étape 2 : si \((AM) \parallel (NB)\), la passerelle n'est pas en face de la maison, sinon \((NB)\) serait perpendiculaire aux berges, et \(B\) serait en face de \(A\), ce qui est faux.

   Étape 3 : donc \(AMNA'\) est un parallélogramme et \((AM) \parallel (A'N)\). Les droites \((A'N)\) et \((NB)\) sont parallèles à la même droite \((AM)\), donc parallèles entre elles ; elles ont le point \(N\) en commun, donc elles sont confondues. Comme \(N\) est entre la hauteur de \(A'\) et celle de \(B\), il est sur le segment \(\bigl[A'B\bigr]\) : le trajet est le plus court.

   Conclusion : l'affirmation est vraie dans les deux sens.

   Malik a raison.

   À mi-chemin, le trajet est plus long que \(170 \ \text{m}\) : les droites \((AM)\) et \((NB)\) n'y sont donc pas parallèles.

Le jeu du portrait

Anna choisit en secret l'un des cinq quadrilatères ci-dessous. Pour le retrouver, Hugo lui pose des questions tirées du tableau des propriétés du cours, et Anna répond par oui ou par non.

1. Coder sur la figure, à l'équerre et au compas, les angles droits et les côtés de même longueur de chacun des cinq quadrilatères, puis donner leur nature.

   Au compas, on compare les côtés ; à l'équerre, on cherche les angles droits. Le \(1\) a quatre côtés de même longueur et aucun angle droit. Le \(2\) a ses côtés opposés de longueurs différentes : ce n'est pas un parallélogramme. Le \(3\), posé sur une pointe, a quatre côtés de même longueur et quatre angles droits. Le \(4\) a ses côtés opposés de même longueur, sans angle droit ni quatre côtés égaux. Le \(5\) a quatre angles droits et deux longueurs de côtés différentes.

   \(1\) losange ; \(2\) quelconque ; \(3\) carré ; \(4\) parallélogramme ; \(5\) rectangle.

2. Hugo pose d'abord ses questions d'avance, sans attendre les réponses. Compléter le tableau des réponses d'Anna, puis trouver trois questions qui permettent toujours de retrouver le quadrilatère.

   Question	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
   \(1\) - Ses côtés opposés sont-ils parallèles ?		non	oui
   \(2\) - Ses côtés opposés sont-ils de même longueur ?		non	oui
   \(3\) - Ses quatre côtés sont-ils de même longueur ?		non	oui
   \(4\) - Ses diagonales se coupent-elles en leur milieu ?		non	oui
   \(5\) - Ses diagonales se coupent-elles en leur milieu et ont-elles la même longueur ?		non	oui
   \(6\) - Ses diagonales se coupent-elles perpendiculairement ?		non	oui
   \(7\) - A-t-il un angle droit sur chaque sommet ?		non	oui

   Chaque colonne reprend celle du cours pour la nature trouvée ; le quadrilatère quelconque n'a aucune de ces propriétés.

   Question	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
   \(1\) - Ses côtés opposés sont-ils parallèles ?	oui	non	oui	oui	oui
   \(2\) - Ses côtés opposés sont-ils de même longueur ?	oui	non	oui	oui	oui
   \(3\) - Ses quatre côtés sont-ils de même longueur ?	oui	non	oui	non	non
   \(4\) - Ses diagonales se coupent-elles en leur milieu ?	oui	non	oui	oui	oui
   \(5\) - Ses diagonales se coupent-elles en leur milieu et ont-elles la même longueur ?	non	non	oui	non	oui
   \(6\) - Ses diagonales se coupent-elles perpendiculairement ?	oui	non	oui	non	non
   \(7\) - A-t-il un angle droit sur chaque sommet ?	non	non	oui	non	oui

   Avec les questions \(4\), \(3\) et \(7\), dans cet ordre, les cinq quadrilatères donnent cinq suites de réponses différentes :

   $$ 1 : \text{oui-oui-non} \hspace{2em} 2 : \text{non-non-non} \hspace{2em} 3 : \text{oui-oui-oui} $$

   $$ 4 : \text{oui-non-non} \hspace{2em} 5 : \text{oui-non-oui} $$

   Les questions \(4\), \(3\) et \(7\) suffisent.

3. Hugo choisit maintenant chaque question d'après les réponses déjà reçues. Prouver qu'avec deux questions seulement, il ne peut pas toujours retrouver le quadrilatère.

   Étape 1 : Compter les suites de réponses différentes que peuvent produire deux questions.

   Étape 2 : Comparer ce nombre au nombre de quadrilatères.

   Conclure :

   Étape 1 : la première question est la même pour les cinq quadrilatères. Deux quadrilatères qui donnent la même première réponse reçoivent la même seconde question. Deux questions ne produisent donc que quatre suites de réponses :

   $$ \text{oui-oui} \hspace{2em} \text{oui-non} \hspace{2em} \text{non-oui} \hspace{2em} \text{non-non} $$

   Étape 2 : pour cinq quadrilatères, deux au moins donnent la même suite.

   Conclusion : Hugo ne peut pas distinguer ces deux quadrilatères.

   Deux questions ne suffisent pas toujours, quelle que soit la stratégie.

4. On revient aux questions posées d'avance. Trouver tous les choix de trois questions, sans tenir compte de l'ordre, qui permettent toujours de retrouver le quadrilatère, et prouver qu'il n'y en a pas d'autre.

   Étape 1 : Repérer, pour le parallélogramme \(4\) et chacun des autres quadrilatères, les questions qui les distinguent.

   Étape 2 : Montrer qu'un bon choix prend exactement une question dans chacun de ces groupes.

   Étape 3 : Compter ces choix.

   Étape 4 : Vérifier que chacun de ces choix permet bien de retrouver le quadrilatère.

   Conclure :

   Étape 1 : un bon choix doit séparer le parallélogramme \(4\) de chacun des autres. D'après le tableau :

   • \(4\) et \(2\) ne reçoivent des réponses différentes qu'aux questions \(1\), \(2\) et \(4\) ;
   • \(4\) et \(1\) ne reçoivent des réponses différentes qu'aux questions \(3\) et \(6\) ;
   • \(4\) et \(5\) ne reçoivent des réponses différentes qu'aux questions \(5\) et \(7\).

   Étape 2 : ces trois groupes n'ont aucune question en commun : un bon choix de trois questions en prend exactement une dans chaque groupe.

   Étape 3 : il y a \(3\) possibilités dans le premier groupe, \(2\) dans le deuxième et \(2\) dans le troisième :

   $$ 3 \times 2 \times 2 = 12 $$

   Étape 4 : réciproquement, dans le tableau, les questions d'un même groupe reçoivent les mêmes réponses pour les cinq quadrilatères. Chacun de ces choix donne donc les cinq suites différentes des questions \(4\), \(3\) et \(7\).

   Conclusion : ces choix sont les seuls, et ils conviennent tous :

   $$ 12 \ \text{choix} $$