Exercices de type problème sur les parallélogrammes et les translations

Reconnaître un quadrilatère

Dans chaque cas, donner la nature la plus précise du quadrilatère et citer la propriété utilisée.

1. Les diagonales de \(ABCD\) se coupent en leur milieu.
2. Les diagonales de \(EFGH\) se coupent en leur milieu et ont la même longueur.
3. \(IJKL\) est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.

Un motif qui se répète

Dans un repère orthogonal, on considère le triangle \(ABC\) de sommets \(A(1 \ ; \ 1)\), \(B(4 \ ; \ 2)\) et \(C(2 \ ; \ 4)\). On lui applique la translation qui transforme \(A\) en \(A'(6 \ ; \ 1)\).

1. Décrire le déplacement de cette translation : de combien vers la droite, de combien vers le haut ?
2. Donner les coordonnées des points \(B'\) et \(C'\), images de \(B\) et \(C\).
3. Sans calculer d'aire, comparer les aires des triangles \(ABC\) et \(A'B'C'\). Justifier.

Démontrer avec une translation

\(ABCD\) est un parallélogramme. On appelle \(E\) l'image du point \(C\) par la translation qui transforme \(A\) en \(B\).

1. Justifier que le quadrilatère \(ABEC\) est un parallélogramme.
2. En déduire que les points \(D\), \(C\) et \(E\) sont alignés.
3. Comparer les longueurs \(DC\) et \(CE\).