La représentation de l'espace en quatrième

Pyramides et cônes : les reconnaître, les dessiner sur une feuille plate et calculer ce qu'ils contiennent.

Reconnaître une pyramide et nommer sa base, son sommet et sa hauteur
Reconnaître un cône de révolution
Dessiner un solide en perspective cavalière
Calculer le volume d'une pyramide et d'un cône

Une annonce immobilière montre le plan vu de dessus et une photo prise de face.

Le plan ne dit pas la hauteur sous plafond, la photo ne dit pas la surface.

Une seule vue ne décrit pas un volume : il en faut plusieurs, ou un patron.

La pyramide

Une pyramide

Une pyramide est un solide dont une face, la base, est un polygone, et dont les autres faces sont des triangles réunis en un point : le sommet.

On nomme une pyramide d'après la forme de sa base : pyramide à base carrée, triangulaire….

La hauteur d'une pyramide

La hauteur est le segment qui joint le sommet à la base perpendiculairement à celle-ci, de pied $O$.

Une pyramide est régulière si sa base est un polygone régulier et que sa hauteur tombe en son centre ; ses faces latérales sont des triangles isocèles superposables.

Le cône de révolution

Un cône de révolution

Un cône de révolution s'obtient en faisant tourner un triangle rectangle autour d'un côté de son angle droit. Sa base est un disque, et sa hauteur joint le sommet au centre de ce disque.

On dessine sa base par une ellipse.

Dessiner en perspective cavalière

La perspective cavalière est un code de dessin qui suit des règles fixes.

Ce qui est conservé	Ce qui ne l'est pas
le parallélisme	les angles droits sur les fuyantes
les milieux et l'alignement	la longueur des fuyantes
les longueurs des faces de face	la forme des cercles, dessinés en ellipses

Les arêtes cachées se dessinent en pointillés.

Volume d'une pyramide et d'un cône

Le volume de ces deux solides vaut le tiers de celui du prisme ou du cylindre de même base et de même hauteur.

$$ V = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h \hspace{2em} \bigl[\text{unité de volume}\bigr] $$

$$ \text{avec } \enspace \left\{ \begin{gather*} \mathcal{B} : \text{aire de la base} \\ h : \text{hauteur du solide} \end{gather*} \right\} $$

Pour un cône, la base est un disque :

$$ V = \frac{1}{3} \times \pi \times R^2 \times h $$

Calculons le volume d'une pyramide à base carrée de $6\ \text{cm}$ de côté et de $10\ \text{cm}$ de hauteur. L'aire de la base vaut:

$$ \mathcal{B} = 6 \times 6 = 36\ \text{cm}^2 $$

d'où le volume :

$$ V = \frac{1}{3} \times 36 \times 10 $$

$$ V = 120\ \text{cm}^3 $$

La hauteur est celle du solide, et non une arête latérale ou une génératrice.