La représentation de l'espace

La pyramide

Une pyramide

Une pyramide est un solide dont une face, appelée la base , est un polygone, et dont toutes les autres faces sont des triangles se rejoignant en un même point : le sommet .

On nomme une pyramide d'après la forme de sa base : pyramide à base carrée, à base triangulaire, à base rectangulaire.

La hauteur d'une pyramide

La hauteur est le segment qui joint le sommet à la base perpendiculairement à celle-ci. Son pied est noté $O$ sur la figure.

Une pyramide est dite régulière lorsque sa base est un polygone régulier et que le pied de sa hauteur est le centre de cette base. Ses faces latérales sont alors des triangles isocèles superposables .

Le cône de révolution

Un cône de révolution

Un cône de révolution s'obtient en faisant tourner un triangle rectangle autour de l'un des côtés de son angle droit. Sa base est un disque , et sa hauteur joint le sommet au centre de ce disque.

Le cône est à la pyramide ce que le cylindre est au prisme : même construction, mais avec un disque à la place d'un polygone. On dessine d'ailleurs sa base par une ellipse , car un cercle vu de biais paraît aplati.

Dessiner en perspective cavalière

La perspective cavalière est un code de dessin : elle ne reproduit pas ce que l'œil voit, mais suit des règles fixes .

Ce qui est conservé	Ce qui ne l'est pas
le parallélisme	les angles droits sur les fuyantes
les milieux et l'alignement	la longueur des fuyantes
les longueurs des faces de face	la forme des cercles, dessinés en ellipses

Les arêtes cachées se dessinent en pointillés : c'est ce qui permet de lire un solide en volume à partir d'un dessin plat.

Volume d'une pyramide et d'un cône

Les deux solides suivent la même formule : leur volume vaut le tiers de celui du prisme ou du cylindre de même base et de même hauteur.

$$ V = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h \qquad \bigl[\text{unité de volume}\bigr] $$

$$ \text{avec } \enspace \left\{ \begin{gather*} \mathcal{B} : \text{aire de la base} \\ h : \text{hauteur du solide} \end{gather*} \right\} $$

Pour un cône, l'aire de la base est celle d'un disque , ce qui donne :

$$ V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h $$

Calculons le volume d'une pyramide à base carrée de $6\ \text{cm}$ de côté et de $10\ \text{cm}$ de hauteur. L'aire de la base vaut :

$$ \mathcal{B} = 6 \times 6 = 36\ \text{cm}^2 $$

d'où le volume :

$$ V = \frac{1}{3} \times 36 \times 10 = 120\ \text{cm}^3 $$

La hauteur à utiliser est bien celle du solide, perpendiculaire à la base, et non la longueur d'une arête latérale ou d'une génératrice.